Serie trigonométrica - Trigonometric series

En matemáticas, una serie trigonométrica es una serie de la forma:

${\ Displaystyle {\ frac {A_ {0}} {2}} + \ Displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} (A_ {n} \ cos {nx} + B_ {n} \ sin { nx}).}$

Se llama serie de Fourier si los términos y tienen la forma: ${\ Displaystyle A_ {n}}$${\ Displaystyle B_ {n}}$

${\ Displaystyle A_ {n} = {\ frac {1} {\ pi}} \ Displaystyle \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \! f (x) \ cos {nx} \, dx \ qquad ( n = 0,1,2,3 \ puntos)}$

${\ Displaystyle B_ {n} = {\ frac {1} {\ pi}} \ Displaystyle \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \! f (x) \ sin {nx} \, dx \ qquad ( n = 1,2,3, \ puntos)}$

donde es una función integrable . ${\ Displaystyle f}$

Los ceros de una serie trigonométrica

La singularidad y los ceros de las series trigonométricas fue un área activa de investigación en la Europa del siglo XIX. Primero, Georg Cantor demostró que si una serie trigonométrica es convergente a una función en el intervalo , que es idénticamente cero, o más generalmente, es diferente de cero en como máximo un número finito de puntos, entonces los coeficientes de la serie son todos cero. ${\ Displaystyle f (x)}$${\ Displaystyle [0,2 \ pi]}$

Más tarde, Cantor demostró que incluso si el conjunto S en el que es distinto de cero es infinito, pero el conjunto derivado S ' de S es finito, entonces los coeficientes son todos cero. De hecho, demostró un resultado más general. Sea S ₀ = S y sea S _{k + 1} el conjunto derivado de S _k . Si hay un número finito n para el cual S _n es finito, entonces todos los coeficientes son cero. Más tarde, Lebesgue demostró que si hay un α ordinal numerablemente infinito tal que S _α es finito, entonces los coeficientes de la serie son todos cero. El trabajo de Cantor sobre el problema de la unicidad lo llevó a inventar números ordinales transfinitos , que aparecían como los subíndices α en S _α . ${\ Displaystyle f}$

Referencias