Método de matriz de transferencia (óptica) - Transfer-matrix method (optics)
El método de matriz de transferencia es un método utilizado en óptica y acústica para analizar la propagación de ondas electromagnéticas o acústicas a través de un medio estratificado . Esto es relevante, por ejemplo, para el diseño de revestimientos antirreflectantes y espejos dieléctricos .
La reflexión de la luz desde una única interfaz entre dos medios se describe mediante las ecuaciones de Fresnel . Sin embargo, cuando hay múltiples interfaces , como en la figura, los reflejos en sí mismos también se transmiten parcialmente y luego se reflejan parcialmente. Dependiendo de la longitud exacta de la trayectoria, estos reflejos pueden interferir de forma destructiva o constructiva. El reflejo general de una estructura de capas es la suma de un número infinito de reflejos.
El método de la matriz de transferencia se basa en el hecho de que, según las ecuaciones de Maxwell , existen condiciones de continuidad simples para el campo eléctrico a través de los límites de un medio al siguiente. Si el campo se conoce al comienzo de una capa, el campo al final de la capa se puede derivar de una operación matricial simple . Luego, una pila de capas se puede representar como una matriz de sistema, que es el producto de las matrices de capas individuales. El paso final del método implica convertir la matriz del sistema nuevamente en coeficientes de reflexión y transmisión .
Formalismo de ondas electromagnéticas
A continuación se describe cómo se aplica la matriz de transferencia a ondas electromagnéticas (por ejemplo, luz) de una frecuencia determinada que se propagan a través de una pila de capas con incidencia normal . Se puede generalizar para tratar la incidencia en ángulo, medios absorbentes y medios con propiedades magnéticas . Suponemos que las capas de la pila son normales al eje y que el campo dentro de una capa se puede representar como la superposición de una onda que se desplaza hacia la izquierda y la derecha con un número de onda ,
- .
Debido a que de la ecuación de Maxwell se sigue que y debe ser continuo a través de un límite, es conveniente representar el campo como el vector , donde
- .
Dado que hay dos ecuaciones que se relacionan con y con y , estas dos representaciones son equivalentes. En la nueva representación, la propagación a lo largo de una distancia en la dirección positiva se describe mediante la matriz unimodular
y
Tal matriz puede representar la propagación a través de una capa si es el número de onda en el medio y el grosor de la capa: Para un sistema con capas, cada capa tiene una matriz de transferencia , donde aumenta hacia valores más altos. La matriz de transferencia del sistema es entonces
Normalmente, a uno le gustaría conocer la reflectancia y la transmitancia de la estructura de la capa. Si la pila de capas comienza en , entonces para negativo , el campo se describe como
donde es la amplitud de la onda entrante, el número de onda en el medio izquierdo, y es la amplitud (¡no la intensidad!) el coeficiente de reflectancia de la estructura de la capa. En el otro lado de la estructura de capas, el campo consta de un campo transmitido que se propaga a la derecha
donde es la transmitancia de amplitud, es el número de onda en el medio más a la derecha y es el espesor total. Si y , entonces podemos resolver
en términos de los elementos de la matriz del sistema y obtener
y
- .
La transmitancia y la reflectancia (es decir, las fracciones de la intensidad incidente transmitida y reflejada por la capa) son a menudo de uso más práctico y están dadas por y , respectivamente (a incidencia normal).
Ejemplo
Como ilustración, considere una sola capa de vidrio con un índice de refracción n y un espesor d suspendida en el aire en un número de onda k (en el aire). En vidrio, el número de onda es . La matriz de transferencia es
- .
El coeficiente de reflexión de amplitud se puede simplificar a
- .
Esta configuración describe eficazmente un interferómetro o etalón de Fabry-Pérot : porque la reflexión se desvanece.
Ondas acústicas
Es posible aplicar el método de matriz de transferencia a ondas sonoras. En lugar del campo eléctrico E y su derivada F , deben usarse el desplazamiento uy la tensión , donde está el módulo de la onda p .
Formalismo matricial de Abeles
El método de la matriz de Abeles es una forma computacionalmente rápida y fácil de calcular la reflectividad especular a partir de una interfaz estratificada, en función de la transferencia de momento perpendicular , Q z :
donde θ es el ángulo de incidencia / reflexión de la radiación incidente y λ es la longitud de onda de la radiación. La reflectividad medida depende de la variación en el perfil de densidad de longitud de dispersión (SLD), ρ ( z ), perpendicular a la interfaz. Aunque el perfil de densidad de longitud de dispersión es normalmente una función que varía continuamente, la estructura interfacial a menudo se puede aproximar bien mediante un modelo de losa en el que las capas de espesor ( d n ), densidad de longitud de dispersión ( ρ n ) y rugosidad (σ n, n + 1 ) están intercalados entre las superfases y subfases. Luego, se utiliza un procedimiento de refinamiento para minimizar las diferencias entre las curvas de reflectividad teórica y medida, cambiando los parámetros que describen cada capa.
En esta descripción, la interfaz se divide en n capas. Dado que el haz de neutrones incidente es refractado por cada una de las capas, el vector de onda, k , en la capa n , viene dado por:
El coeficiente de reflexión de Fresnel entre la capa n y n + 1 viene dado por:
Dado que es poco probable que la interfaz entre cada capa sea perfectamente uniforme, la rugosidad / difusión de cada interfaz modifica el coeficiente de Fresnel y se explica por una función de error , como lo describen Nevot y Croce (1980) .
Se introduce un factor de fase, β , que da cuenta del espesor de cada capa.
donde . A continuación, se calcula una matriz característica, c n , para cada capa.
La matriz resultante se define como el producto de estas matrices características
a partir del cual la reflectividad se calcula como:
Ver también
Referencias
- ^ Nacido, M .; Wolf, E., Principios de óptica: teoría electromagnética de propagación, interferencia y difracción de la luz . Oxford, Pergamon Press, 1964.
- ^ OS Cielos. Propiedades ópticas de películas delgadas . Butterworth, Londres (1955).
- ↑ L. Nevot, P. Croce, Revue de physique appliquée , 15 , 761 (1980).
- ↑ F. Abelès , Le Journal de Physique et le Radium , "La théorie générale des couches minces", 11 , 307-310 (1950).
Otras lecturas
- Reflectividad multicapa : derivación de los primeros principios de las probabilidades de transmisión y reflexión de una multicapa con índices de refracción complejos.
- Materiales en capas y diagramas de bandas fotónicas (Clase 23) en el curso abierto del MIT Propiedades electrónicas, ópticas y magnéticas de los materiales .
- Propagación de ondas EM a través de películas delgadas y multicapas (lección 13) en procesos de transporte de nano a macro de curso abierto del MIT . Incluye ondas acústicas de discusión breve.
enlaces externos
Hay varios programas de computadora que implementan este cálculo:
- FreeSnell es un programa informático independiente que implementa el método de matriz de transferencia, que incluye aspectos más avanzados como películas granulares.
- Thinfilm es una interfaz web que implementa el método de matriz de transferencia, generando coeficientes de reflexión y transmisión, y también parámetros elipsométricos Psi y Delta.
- Luxpop.com es otra interfaz web que implementa el método de matriz de transferencia.
- Programas de cálculo de matrices de transferencia en Python y en Mathematica .
- Software EMPy ("Python electromagnético") .
- motofit es un programa para analizar datos de reflectometría de rayos X y neutrones.
- OpenFilters es un programa para diseñar filtros ópticos.
- Py_matrix es un código Python de código abierto que implementa el método de matriz de transferencia para multicapas con tensores dieléctricos arbitrarios. Fue creado especialmente para cálculos plasmónicos y magnetoplasmónicos.
- Calculadora en el navegador y ajustador Calculadora de reflectividad interactiva Javascript que usa el método de matriz y la aproximación de rugosidad de Nevot-Croce (núcleo de cálculo convertido de C a través de Emscripten )