Funciones de prueba para optimización - Test functions for optimization

En matemáticas aplicadas, las funciones de prueba , conocidas como paisajes artificiales , son útiles para evaluar características de algoritmos de optimización, tales como:

Tasa de convergencia.
Precisión.
Robustez.
Rendimiento general.

Aquí se presentan algunas funciones de prueba con el objetivo de dar una idea de las diferentes situaciones a las que se enfrentan los algoritmos de optimización a la hora de afrontar este tipo de problemas. En la primera parte, se presentan algunas funciones objetivas para casos de optimización de un solo objetivo. En la segunda parte, se dan funciones de prueba con sus respectivos frentes de Pareto para problemas de optimización multiobjetivo (MOP).

Los paisajes artificiales presentados aquí para problemas de optimización de un solo objetivo se han tomado de Bäck, Haupt et al. y del software Rody Oldenhuis. Dado el número de problemas (55 en total), aquí se presentan solo algunos.

Las funciones de prueba utilizadas para evaluar los algoritmos de MOP se tomaron de Deb, Binh et al. y Binh. Puede descargar el software desarrollado por Deb, que implementa el procedimiento NSGA-II con GA, o el programa publicado en Internet, que implementa el procedimiento NSGA-II con ES.

Aquí solo se da una forma general de la ecuación, un gráfico de la función objetivo, los límites de las variables del objeto y las coordenadas de los mínimos globales.

Funciones de prueba para la optimización de un solo objetivo

Nombre	Fórmula	Mínimo global	Dominio de búsqueda
Función rastrigin	${\ Displaystyle f (\ mathbf {x}) = An + \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left [x_ {i} ^ {2} -A \ cos (2 \ pi x_ {i}) \ derecho]}$ ${\ displaystyle {\ text {donde:}} A = 10}$	${\ Displaystyle f (0, \ dots, 0) = 0}$	${\ Displaystyle -5.12 \ leq x_ {i} \ leq 5.12}$
Función Ackley	${\ Displaystyle f (x, y) = - 20 \ exp \ left [-0.2 {\ sqrt {0.5 \ left (x ^ {2} + y ^ {2} \ right)}} \ right]}$ ${\ Displaystyle - \ exp \ left [0.5 \ left (\ cos 2 \ pi x + \ cos 2 \ pi y \ right) \ right] + e + 20}$	${\ Displaystyle f (0,0) = 0}$	${\ Displaystyle -5 \ leq x, y \ leq 5}$
Función esfera	${\ Displaystyle f ({\ boldsymbol {x}}) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {2}}$	${\ Displaystyle f (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = f (0, \ dots, 0) = 0}$	${\ Displaystyle - \ infty \ leq x_ {i} \ leq \ infty}$ , ${\ Displaystyle 1 \ leq i \ leq n}$
Función Rosenbrock	${\ Displaystyle f ({\ boldsymbol {x}}) = \ sum _ {i = 1} ^ {n-1} \ left [100 \ left (x_ {i + 1} -x_ {i} ^ {2} \ right) ^ {2} + \ left (1-x_ {i} \ right) ^ {2} \ right]}$	${\ displaystyle {\ text {Min}} = {\ begin {cases} n = 2 & \ rightarrow \ quad f (1,1) = 0, \\ n = 3 & \ rightarrow \ quad f (1,1,1) = 0, \\ n> 3 & \ rightarrow \ quad f (\ underbrace {1, \ dots, 1} _ {n {\ text {times}}}) = 0 \\\ end {cases}}}$	${\ Displaystyle - \ infty \ leq x_ {i} \ leq \ infty}$ , ${\ Displaystyle 1 \ leq i \ leq n}$
Función Beale	${\ displaystyle f (x, y) = \ left (1.5-x + xy \ right) ^ {2} + \ left (2.25-x + xy ^ {2} \ right) ^ {2}}$ ${\ Displaystyle + \ left (2.625-x + xy ^ {3} \ right) ^ {2}}$	${\ displaystyle f (3,0,5) = 0}$	${\ Displaystyle -4.5 \ leq x, y \ leq 4.5}$
Función Goldstein-Price	${\ displaystyle f (x, y) = \ left [1+ \ left (x + y + 1 \ right) ^ {2} \ left (19-14x + 3x ^ {2} -14y + 6xy + 3y ^ { 2} \ derecha) \ derecha]}$ ${\ Displaystyle \ left [30+ \ left (2x-3y \ right) ^ {2} \ left (18-32x + 12x ^ {2} + 48y-36xy + 27y ^ {2} \ right) \ right]}$	${\ displaystyle f (0, -1) = 3}$	${\ Displaystyle -2 \ leq x, y \ leq 2}$
Función de cabina	${\ displaystyle f (x, y) = \ left (x + 2y-7 \ right) ^ {2} + \ left (2x + y-5 \ right) ^ {2}}$	${\ Displaystyle f (1,3) = 0}$	${\ Displaystyle -10 \ leq x, y \ leq 10}$
Función Bukin N.6	${\ Displaystyle f (x, y) = 100 {\ sqrt {\ left \| y-0.01x ^ {2} \ right \|}} + 0.01 \ left \| x + 10 \ right \|. \ quad}$	${\ Displaystyle f (-10,1) = 0}$	${\ Displaystyle -15 \ leq x \ leq -5}$ , ${\ Displaystyle -3 \ leq y \ leq 3}$
Función Matyas	${\ displaystyle f (x, y) = 0.26 \ left (x ^ {2} + y ^ {2} \ right) -0.48xy}$	${\ Displaystyle f (0,0) = 0}$	${\ Displaystyle -10 \ leq x, y \ leq 10}$
Función Lévi N.13	${\ Displaystyle f (x, y) = \ sin ^ {2} 3 \ pi x + \ left (x-1 \ right) ^ {2} \ left (1+ \ sin ^ {2} 3 \ pi y \ right )}$ ${\ Displaystyle + \ left (y-1 \ right) ^ {2} \ left (1+ \ sin ^ {2} 2 \ pi y \ right)}$	${\ Displaystyle f (1,1) = 0}$	${\ Displaystyle -10 \ leq x, y \ leq 10}$
Función de Himmelblau	${\ displaystyle f (x, y) = (x ^ {2} + y-11) ^ {2} + (x + y ^ {2} -7) ^ {2}. \ quad}$	${\ displaystyle {\ text {Min}} = {\ begin {cases} f \ left (3.0,2.0 \ right) & = 0.0 \\ f \ left (-2.805118,3.131312 \ right) & = 0.0 \\ f \ izquierda (-3.779310, -3.283186 \ right) & = 0.0 \\ f \ left (3.584428, -1.848126 \ right) & = 0.0 \\\ end {cases}}}$	${\ Displaystyle -5 \ leq x, y \ leq 5}$
Función de camello de tres jorobas	${\ Displaystyle f (x, y) = 2x ^ {2} -1.05x ^ {4} + {\ frac {x ^ {6}} {6}} + xy + y ^ {2}}$	${\ Displaystyle f (0,0) = 0}$	${\ Displaystyle -5 \ leq x, y \ leq 5}$
Función easom	${\ Displaystyle f (x, y) = - \ cos \ left (x \ right) \ cos \ left (y \ right) \ exp \ left (- \ left (\ left (x- \ pi \ right) ^ { 2} + \ left (y- \ pi \ right) ^ {2} \ right) \ right)}$	${\ Displaystyle f (\ pi, \ pi) = - 1}$	${\ Displaystyle -100 \ leq x, y \ leq 100}$
Función de bandeja cruzada	${\ displaystyle f (x, y) = - 0,0001 \ left [\ left \| \ sin x \ sin y \ exp \ left (\ left \| 100 - {\ frac {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ { 2}}} {\ pi}} \ right \| \ right) \ right \| +1 \ right] ^ {0.1}}$	${\ displaystyle {\ text {Min}} = {\ begin {cases} f \ left (1.34941, -1.34941 \ right) & = - 2.06261 \\ f \ left (1.34941,1.34941 \ right) & = - 2.06261 \\ f \ left (-1.34941,1.34941 \ right) & = - 2.06261 \\ f \ left (-1.34941, -1.34941 \ right) & = - 2.06261 \\\ end {cases}}}$	${\ Displaystyle -10 \ leq x, y \ leq 10}$
Función Eggholder	${\ Displaystyle f (x, y) = - \ left (y + 47 \ right) \ sin {\ sqrt {\ left \| {\ frac {x} {2}} + \ left (y + 47 \ right) \ derecha \|}} - x \ sin {\ sqrt {\ izquierda \| x- \ izquierda (y + 47 \ derecha) \ derecha \|}}}$	${\ displaystyle f (512,404.2319) = - 959.6407}$	${\ Displaystyle -512 \ leq x, y \ leq 512}$
Función de tabla de Hölder	${\ Displaystyle f (x, y) = - \ left \| \ sin x \ cos y \ exp \ left (\ left \| 1 - {\ frac {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} {\ pi}} \ derecha \| \ derecha) \ derecha \|}$	${\ displaystyle {\ text {Min}} = {\ begin {cases} f \ left (8.05502,9.66459 \ right) & = - 19.2085 \\ f \ left (-8.05502,9.66459 \ right) & = - 19.2085 \\ f \ left (8.05502, -9.66459 \ right) & = - 19.2085 \\ f \ left (-8.05502, -9.66459 \ right) & = - 19.2085 \ end {cases}}}$	${\ Displaystyle -10 \ leq x, y \ leq 10}$
Función McCormick	${\ Displaystyle f (x, y) = \ sin \ left (x + y \ right) + \ left (xy \ right) ^ {2} -1.5x + 2.5y + 1}$	${\ displaystyle f (-0,54719, -1,54719) = - 1,9133}$	${\ Displaystyle -1,5 \ leq x \ leq 4}$ , ${\ Displaystyle -3 \ leq y \ leq 4}$
Función Schaffer N.2	${\ Displaystyle f (x, y) = 0.5 + {\ frac {\ sin ^ {2} \ left (x ^ {2} -y ^ {2} \ right) -0.5} {\ left [1 + 0.001 \ izquierda (x ^ {2} + y ^ {2} \ right) \ right] ^ {2}}}}$	${\ Displaystyle f (0,0) = 0}$	${\ Displaystyle -100 \ leq x, y \ leq 100}$
Función Schaffer N 4	${\ Displaystyle f (x, y) = 0.5 + {\ frac {\ cos ^ {2} \ left [\ sin \ left (\ left \| x ^ {2} -y ^ {2} \ right \| \ right) \ right] -0.5} {\ left [1 + 0.001 \ left (x ^ {2} + y ^ {2} \ right) \ right] ^ {2}}}}$	${\ displaystyle {\ text {Min}} = {\ begin {cases} f \ left (0,1.25313 \ right) & = 0.292579 \\ f \ left (0, -1.25313 \ right) & = 0.292579 \ end {cases }}}$	${\ Displaystyle -100 \ leq x, y \ leq 100}$
Función Styblinski – Tang	${\ Displaystyle f ({\ boldsymbol {x}}) = {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {4} -16x_ {i} ^ {2} + 5x_ { i}} {2}}}$	${\ displaystyle -39.16617n <f (\ underbrace {-2.903534, \ ldots, -2.903534} _ {n {\ text {times}}}) <- 39.16616n}$	${\ Displaystyle -5 \ leq x_ {i} \ leq 5}$ , .. ${\ Displaystyle 1 \ leq i \ leq n}$

Funciones de prueba para optimización restringida

Nombre	Fórmula	Mínimo global	Dominio de búsqueda
Función de Rosenbrock restringida con un cúbico y una línea	${\ Displaystyle f (x, y) = (1-x) ^ {2} +100 (yx ^ {2}) ^ {2}}$ , sometido a: ${\ displaystyle (x-1) ^ {3} -y + 1 \ leq 0 {\ text {y}} x + y-2 \ leq 0}$	${\ Displaystyle f (1.0,1.0) = 0}$	${\ Displaystyle -1,5 \ leq x \ leq 1,5}$ , ${\ Displaystyle -0,5 \ leq y \ leq 2,5}$
Función de Rosenbrock restringida a un disco	${\ Displaystyle f (x, y) = (1-x) ^ {2} +100 (yx ^ {2}) ^ {2}}$ , sometido a: ${\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} \ leq 2}$	${\ Displaystyle f (1.0,1.0) = 0}$	${\ Displaystyle -1,5 \ leq x \ leq 1,5}$ , ${\ Displaystyle -1,5 \ leq y \ leq 1,5}$
Función de pájaro de Mishra: restringida	${\ displaystyle f (x, y) = \ sin (y) e ^ {\ left [(1- \ cos x) ^ {2} \ right]} + \ cos (x) e ^ {\ left [(1 - \ sin y) ^ {2} \ right]} + (xy) ^ {2}}$ , sometido a: ${\ displaystyle (x + 5) ^ {2} + (y + 5) ^ {2} <25}$	${\ displaystyle f (-3.1302468, -1.5821422) = - 106.7645367}$	${\ Displaystyle -10 \ leq x \ leq 0}$ , ${\ Displaystyle -6,5 \ leq y \ leq 0}$
Función Townsend (modificada)	${\ Displaystyle f (x, y) = - [\ cos ((x-0.1) y)] ^ {2} -x \ sin (3x + y)}$ , sometido a: donde: $t$ $= Atan2 (x, y)$ ${\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} <\ left [2 \ cos t - {\ frac {1} {2}} \ cos 2t - {\ frac {1} {4}} \ cos 3t - {\ frac {1} {8}} \ cos 4t \ right] ^ {2} + [2 \ sin t] ^ {2}}$	${\ displaystyle f (2.0052938,1.1944509) = - 2.0239884}$	${\ Displaystyle -2.25 \ leq x \ leq 2.25}$ , ${\ Displaystyle -2,5 \ leq y \ leq 1,75}$
Función Gomez y Levy (modificada)	${\ Displaystyle f (x, y) = 4x ^ {2} -2,1x ^ {4} + {\ frac {1} {3}} x ^ {6} + xy-4y ^ {2} + 4y ^ { 4}}$ , sometido a: ${\ Displaystyle - \ sin (4 \ pi x) +2 \ sin ^ {2} (2 \ pi y) \ leq 1.5}$	${\ displaystyle f (0.08984201, -0.7126564) = - 1.031628453}$	${\ Displaystyle -1 \ leq x \ leq 0,75}$ , ${\ Displaystyle -1 \ leq y \ leq 1}$
Función Simionescu	${\ Displaystyle f (x, y) = 0.1xy}$ , sometido a: ${\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} \ leq \ left [r_ {T} + r_ {S} \ cos \ left (n \ arctan {\ frac {x} {y}} \ right) \ derecha] ^ {2}}$ ${\ Displaystyle {\ text {donde:}} r_ {T} = 1, r_ {S} = 0.2 {\ text {y}} n = 8}$	${\ Displaystyle f (\ pm 0.84852813, \ mp 0.84852813) = - 0.072}$	${\ Displaystyle -1.25 \ leq x, y \ leq 1.25}$

Funciones de prueba para optimización multiobjetivo

Nombre	Funciones	Restricciones	Dominio de búsqueda
Función Binh y Korn :	${\ Displaystyle {\ text {Minimizar}} = {\ begin {cases} f_ {1} \ left (x, y \ right) = 4x ^ {2} + 4y ^ {2} \\ f_ {2} \ left (x, y \ right) = \ left (x-5 \ right) ^ {2} + \ left (y-5 \ right) ^ {2} \\\ end {cases}}}$	${\ Displaystyle {\ text {st}} = {\ begin {cases} g_ {1} \ left (x, y \ right) = \ left (x-5 \ right) ^ {2} + y ^ {2} \ leq 25 \\ g_ {2} \ left (x, y \ right) = \ left (x-8 \ right) ^ {2} + \ left (y + 3 \ right) ^ {2} \ geq 7.7 \ \\ end {cases}}}$	${\ Displaystyle 0 \ leq x \ leq 5}$ , ${\ Displaystyle 0 \ leq y \ leq 3}$
Función de Chankong y Haimes :	${\ displaystyle {\ text {Minimizar}} = {\ begin {cases} f_ {1} \ left (x, y \ right) = 2 + \ left (x-2 \ right) ^ {2} + \ left ( y-1 \ right) ^ {2} \\ f_ {2} \ left (x, y \ right) = 9x- \ left (y-1 \ right) ^ {2} \\\ end {cases}}}$	${\ displaystyle {\ text {st}} = {\ begin {cases} g_ {1} \ left (x, y \ right) = x ^ {2} + y ^ {2} \ leq 225 \\ g_ {2 } \ left (x, y \ right) = x-3y + 10 \ leq 0 \\\ end {cases}}}$	${\ Displaystyle -20 \ leq x, y \ leq 20}$
Función Fonseca-Fleming :	${\ Displaystyle {\ text {Minimizar}} = {\ begin {cases} f_ {1} \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right) = 1- \ exp \ left [- \ sum _ {i = 1 } ^ {n} \ left (x_ {i} - {\ frac {1} {\ sqrt {n}}} \ right) ^ {2} \ right] \\ f_ {2} \ left ({\ boldsymbol { x}} \ right) = 1- \ exp \ left [- \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left (x_ {i} + {\ frac {1} {\ sqrt {n}}} \ derecha) ^ {2} \ right] \\\ end {cases}}}$		${\ Displaystyle -4 \ leq x_ {i} \ leq 4}$ , ${\ Displaystyle 1 \ leq i \ leq n}$
Función de prueba 4:	${\ Displaystyle {\ text {Minimizar}} = {\ begin {cases} f_ {1} \ left (x, y \ right) = x ^ {2} -y \\ f_ {2} \ left (x, y \ right) = - 0.5xy-1 \\\ end {cases}}}$	${\ Displaystyle {\ text {st}} = {\ begin {cases} g_ {1} \ left (x, y \ right) = 6.5 - {\ frac {x} {6}} - y \ geq 0 \\ g_ {2} \ left (x, y \ right) = 7.5-0.5xy \ geq 0 \\ g_ {3} \ left (x, y \ right) = 30-5x-y \ geq 0 \\\ end { casos}}}$	${\ Displaystyle -7 \ leq x, y \ leq 4}$
Función Kursawe :	${\ Displaystyle {\ text {Minimizar}} = {\ begin {cases} f_ {1} \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right) = \ sum _ {i = 1} ^ {2} \ left [ -10 \ exp \ left (-0.2 {\ sqrt {x_ {i} ^ {2} + x_ {i + 1} ^ {2}}} \ right) \ right] \\ & \\ f_ {2} \ izquierda ({\ boldsymbol {x}} \ right) = \ sum _ {i = 1} ^ {3} \ left [\ left \| x_ {i} \ right \| ^ {0.8} +5 \ sin \ left (x_ {i} ^ {3} \ right) \ right] \\\ end {cases}}}$		${\ Displaystyle -5 \ leq x_ {i} \ leq 5}$ , . ${\ Displaystyle 1 \ leq i \ leq 3}$
Función Schaffer N.1:	${\ Displaystyle {\ text {Minimizar}} = {\ begin {cases} f_ {1} \ left (x \ right) = x ^ {2} \\ f_ {2} \ left (x \ right) = \ left (x-2 \ right) ^ {2} \\\ end {cases}}}$		${\ Displaystyle -A \ leq x \ leq A}$ . Los valores de desde hasta se han utilizado correctamente. Los valores más altos de aumentan la dificultad del problema. ${\ Displaystyle A}$ ${\ Displaystyle 10}$ ${\ Displaystyle 10 ^ {5}}$ ${\ Displaystyle A}$
Función Schaffer N.2:	${\ displaystyle {\ text {Minimizar}} = {\ begin {cases} f_ {1} \ left (x \ right) = {\ begin {cases} -x, & {\ text {if}} x \ leq 1 \\ x-2, & {\ text {if}} 1 <x \ leq 3 \\ 4-x, & {\ text {if}} 3 <x \ leq 4 \\ x-4, & {\ text {if}} x> 4 \\\ end {cases}} \\ f_ {2} \ left (x \ right) = \ left (x-5 \ right) ^ {2} \\\ end {cases}} }$		${\ Displaystyle -5 \ leq x \ leq 10}$ .
Las dos funciones objetivas de Poloni:	${\ Displaystyle {\ text {Minimizar}} = {\ begin {cases} f_ {1} \ left (x, y \ right) = \ left [1+ \ left (A_ {1} -B_ {1} \ left (x, y \ right) \ right) ^ {2} + \ left (A_ {2} -B_ {2} \ left (x, y \ right) \ right) ^ {2} \ right] \\ f_ { 2} \ left (x, y \ right) = \ left (x + 3 \ right) ^ {2} + \ left (y + 1 \ right) ^ {2} \\\ end {cases}}}$ ${\ Displaystyle {\ text {donde}} = {\ begin {cases} A_ {1} = 0.5 \ sin \ left (1 \ right) -2 \ cos \ left (1 \ right) + \ sin \ left (2 \ right) -1.5 \ cos \ left (2 \ right) \\ A_ {2} = 1.5 \ sin \ left (1 \ right) - \ cos \ left (1 \ right) +2 \ sin \ left (2 \ derecha) -0.5 \ cos \ left (2 \ right) \\ B_ {1} \ left (x, y \ right) = 0.5 \ sin \ left (x \ right) -2 \ cos \ left (x \ right) + \ sin \ left (y \ right) -1.5 \ cos \ left (y \ right) \\ B_ {2} \ left (x, y \ right) = 1.5 \ sin \ left (x \ right) - \ cos \ left (x \ right) +2 \ sin \ left (y \ right) -0.5 \ cos \ left (y \ right) \ end {cases}}}$		${\ Displaystyle - \ pi \ leq x, y \ leq \ pi}$
Función N.1 de Zitzler – Deb – Thiele:	${\ Displaystyle {\ text {Minimizar}} = {\ begin {cases} f_ {1} \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right) = x_ {1} \\ f_ {2} \ left ({\ símbolo en negrita {x}} \ right) = g \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right) h \ left (f_ {1} \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right), g \ left ({ \ boldsymbol {x}} \ right) \ right) \\ g \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right) = 1 + {\ frac {9} {29}} \ sum _ {i = 2} ^ {30} x_ {i} \\ h \ left (f_ {1} \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right), g \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right) \ right) = 1 - {\ sqrt {\ frac {f_ {1} \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right)} {g \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right)}}} \\\ end {casos }}}$		${\ Displaystyle 0 \ leq x_ {i} \ leq 1}$ , . ${\ Displaystyle 1 \ leq i \ leq 30}$
Función N.2 de Zitzler – Deb – Thiele:	${\ Displaystyle {\ text {Minimizar}} = {\ begin {cases} f_ {1} \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right) = x_ {1} \\ f_ {2} \ left ({\ símbolo en negrita {x}} \ right) = g \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right) h \ left (f_ {1} \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right), g \ left ({ \ boldsymbol {x}} \ right) \ right) \\ g \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right) = 1 + {\ frac {9} {29}} \ sum _ {i = 2} ^ {30} x_ {i} \\ h \ left (f_ {1} \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right), g \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right) \ right) = 1 - \ left ({\ frac {f_ {1} \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right)} {g \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right)}} \ right) ^ {2} \\\ end {cases}}}$		${\ Displaystyle 0 \ leq x_ {i} \ leq 1}$ , . ${\ Displaystyle 1 \ leq i \ leq 30}$
Función N ° 3 de Zitzler – Deb – Thiele:	${\ Displaystyle {\ text {Minimizar}} = {\ begin {cases} f_ {1} \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right) = x_ {1} \\ f_ {2} \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right) = g \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right) h \ left (f_ {1} \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right), g \ left ({ \ boldsymbol {x}} \ right) \ right) \\ g \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right) = 1 + {\ frac {9} {29}} \ sum _ {i = 2} ^ {30} x_ {i} \\ h \ left (f_ {1} \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right), g \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right) \ right) = 1 - {\ sqrt {\ frac {f_ {1} \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right)} {g \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right)}}} - \ left ({\ frac {f_ {1} \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right)} {g \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right)}} \ right) \ sin \ left (10 \ pi f_ { 1} \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right) \ right) \ end {cases}}}$		${\ Displaystyle 0 \ leq x_ {i} \ leq 1}$ , . ${\ Displaystyle 1 \ leq i \ leq 30}$
Función N ° 4 de Zitzler-Deb-Thiele:	${\ Displaystyle {\ text {Minimizar}} = {\ begin {cases} f_ {1} \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right) = x_ {1} \\ f_ {2} \ left ({\ símbolo en negrita {x}} \ right) = g \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right) h \ left (f_ {1} \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right), g \ left ({ \ boldsymbol {x}} \ right) \ right) \\ g \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right) = 91 + \ sum _ {i = 2} ^ {10} \ left (x_ {i} ^ {2} -10 \ cos \ left (4 \ pi x_ {i} \ right) \ right) \\ h \ left (f_ {1} \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right), g \ izquierda ({\ boldsymbol {x}} \ right) \ right) = 1 - {\ sqrt {\ frac {f_ {1} \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right)} {g \ left ({\ símbolo en negrita {x}} \ right)}}} \ end {cases}}}$		${\ Displaystyle 0 \ leq x_ {1} \ leq 1}$ , , ${\ Displaystyle -5 \ leq x_ {i} \ leq 5}$ ${\ Displaystyle 2 \ leq i \ leq 10}$
Función N ° 6 de Zitzler-Deb-Thiele:	${\ displaystyle {\ text {Minimizar}} = {\ begin {cases} f_ {1} \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right) = 1- \ exp \ left (-4x_ {1} \ right) \ sin ^ {6} \ left (6 \ pi x_ {1} \ right) \\ f_ {2} \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right) = g \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right) h \ left (f_ {1} \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right), g \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right) \ right) \\ g \ left ({\ símbolo en negrita {x}} \ right) = 1 + 9 \ left [{\ frac {\ sum _ {i = 2} ^ {10} x_ {i}} {9}} \ right] ^ {0.25} \\ h \ left (f_ {1} \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right), g \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right) \ right) = 1- \ left ({\ frac {f_ { 1} \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right)} {g \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right)}} \ right) ^ {2} \\\ end {cases}}}$		${\ Displaystyle 0 \ leq x_ {i} \ leq 1}$ , . ${\ Displaystyle 1 \ leq i \ leq 10}$
Función de Osyczka y Kundu:	${\ displaystyle {\ text {Minimizar}} = {\ begin {cases} f_ {1} \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right) = - 25 \ left (x_ {1} -2 \ right) ^ {2} - \ left (x_ {2} -2 \ right) ^ {2} - \ left (x_ {3} -1 \ right) ^ {2} - \ left (x_ {4} -4 \ right) ^ {2} - \ left (x_ {5} -1 \ right) ^ {2} \\ f_ {2} \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right) = \ sum _ {i = 1} ^ {6} x_ {i} ^ {2} \\\ end {cases}}}$	${\ displaystyle {\ text {st}} = {\ begin {cases} g_ {1} \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right) = x_ {1} + x_ {2} -2 \ geq 0 \ \ g_ {2} \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right) = 6-x_ {1} -x_ {2} \ geq 0 \\ g_ {3} \ left ({\ boldsymbol {x}} \ derecha) = 2-x_ {2} + x_ {1} \ geq 0 \\ g_ {4} \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right) = 2-x_ {1} + 3x_ {2} \ geq 0 \\ g_ {5} \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right) = 4- \ left (x_ {3} -3 \ right) ^ {2} -x_ {4} \ geq 0 \\ g_ {6} \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right) = \ left (x_ {5} -3 \ right) ^ {2} + x_ {6} -4 \ geq 0 \ end {cases}}}$	${\ Displaystyle 0 \ leq x_ {1}, x_ {2}, x_ {6} \ leq 10}$ , , . ${\ Displaystyle 1 \ leq x_ {3}, x_ {5} \ leq 5}$ ${\ Displaystyle 0 \ leq x_ {4} \ leq 6}$
Función CTP1 (2 variables):	${\ Displaystyle {\ text {Minimizar}} = {\ begin {cases} f_ {1} \ left (x, y \ right) = x \\ f_ {2} \ left (x, y \ right) = \ left (1 + y \ right) \ exp \ left (- {\ frac {x} {1 + y}} \ right) \ end {cases}}}$	${\ displaystyle {\ text {st}} = {\ begin {cases} g_ {1} \ left (x, y \ right) = {\ frac {f_ {2} \ left (x, y \ right)} { 0.858 \ exp \ left (-0.541f_ {1} \ left (x, y \ right) \ right)}} \ geq 1 \\ g_ {2} \ left (x, y \ right) = {\ frac {f_ {2} \ left (x, y \ right)} {0,728 \ exp \ left (-0,295f_ {1} \ left (x, y \ right) \ right)}} \ geq 1 \ end {cases}}}$	${\ Displaystyle 0 \ leq x, y \ leq 1}$ .
Problema de Constr-Ex:	${\ Displaystyle {\ text {Minimizar}} = {\ begin {cases} f_ {1} \ left (x, y \ right) = x \\ f_ {2} \ left (x, y \ right) = {\ frac {1 + y} {x}} \\\ end {cases}}}$	${\ Displaystyle {\ text {st}} = {\ begin {cases} g_ {1} \ left (x, y \ right) = y + 9x \ geq 6 \\ g_ {2} \ left (x, y \ derecha) = - y + 9x \ geq 1 \\\ end {cases}}}$	${\ Displaystyle 0.1 \ leq x \ leq 1}$ , ${\ Displaystyle 0 \ leq y \ leq 5}$
Función Viennet:	${\ displaystyle {\ text {Minimizar}} = {\ begin {cases} f_ {1} \ left (x, y \ right) = 0.5 \ left (x ^ {2} + y ^ {2} \ right) + \ sin \ left (x ^ {2} + y ^ {2} \ right) \\ f_ {2} \ left (x, y \ right) = {\ frac {\ left (3x-2y + 4 \ right) ^ {2}} {8}} + {\ frac {\ left (x-y + 1 \ right) ^ {2}} {27}} + 15 \\ f_ {3} \ left (x, y \ right ) = {\ frac {1} {x ^ {2} + y ^ {2} +1}} - 1.1 \ exp \ left (- \ left (x ^ {2} + y ^ {2} \ right) \ derecha) \\\ end {cases}}}$		${\ Displaystyle -3 \ leq x, y \ leq 3}$ .

Ver también

Referencias

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