Ecuación de Steinhart-Hart - Steinhart–Hart equation

La ecuación de Steinhart-Hart es un modelo de la resistencia de un semiconductor a diferentes temperaturas . La ecuación es

${\ Displaystyle {\ frac {1} {T}} = A + B \ ln R + C (\ ln R) ^ {3},}$

donde

${\ Displaystyle T}$es la temperatura (en kelvins ),

${\ Displaystyle R}$es la resistencia en (en ohmios),${\ Displaystyle T}$

${\ Displaystyle A}$, Y son los coeficientes Steinhart-Hart , que varían dependiendo del tipo y modelo de termistor y el rango de temperatura de interés.${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle C}$

Usos de la ecuación

La ecuación se usa a menudo para derivar una temperatura precisa de un termistor, ya que proporciona una aproximación más cercana a la temperatura real que las ecuaciones más simples, y es útil en todo el rango de temperatura de trabajo del sensor. Los coeficientes de Steinhart-Hart suelen ser publicados por los fabricantes de termistores.

Cuando no se dispone de coeficientes de Steinhart-Hart, se pueden derivar. Se toman tres medidas precisas de resistencia a temperaturas precisas, luego los coeficientes se derivan resolviendo tres ecuaciones simultáneas .

Inversa de la ecuación

Para encontrar la resistencia de un semiconductor a una temperatura dada, se debe usar la inversa de la ecuación de Steinhart-Hart. Consulte la nota de aplicación , "Coeficientes A, B, C para la ecuación de Steinhart-Hart".

${\ Displaystyle R = \ exp \ left ({\ sqrt [{3}] {yx / 2}} - {\ sqrt [{3}] {y + x / 2}} \ right),}$

donde

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} x & = {\ frac {1} {C}} \ left (A - {\ frac {1} {T}} \ right), \\ y & = {\ sqrt {\ left ({\ frac {B} {3C}} \ right) ^ {3} + {\ frac {x ^ {2}} {4}}}}. \ end {alineado}}}$

Coeficientes de Steinhart-Hart

Para encontrar los coeficientes de Steinhart-Hart, necesitamos conocer al menos tres puntos operativos. Para ello, utilizamos tres valores de datos de resistencia para tres temperaturas conocidas.

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & \ ln R_ {1} & \ ln ^ {3} R_ {1} \\ 1 & \ ln R_ {2} & \ ln ^ {3} R_ {2} \\ 1 & \ ln R_ {3} & \ ln ^ {3} R_ {3} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} A \\ B \\ C \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} { \ frac {1} {T_ {1}}} \\ {\ frac {1} {T_ {2}}} \\ {\ frac {1} {T_ {3}}} \ end {bmatrix}}}$

Con , y valores de resistencia a las temperaturas , y , se puede expresar , y (todos los cálculos): ${\ Displaystyle R_ {1}}$${\ Displaystyle R_ {2}}$${\ Displaystyle R_ {3}}$${\ Displaystyle T_ {1}}$${\ Displaystyle T_ {2}}$${\ Displaystyle T_ {3}}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle C}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} L_ {1} & = \ ln R_ {1}, \ quad L_ {2} = \ ln R_ {2}, \ quad L_ {3} = \ ln R_ {3} \ \ Y_ {1} & = {\ frac {1} {T_ {1}}}, \ quad Y_ {2} = {\ frac {1} {T_ {2}}}, \ quad Y_ {3} = { \ frac {1} {T_ {3}}} \\\ gamma _ {2} & = {\ frac {Y_ {2} -Y_ {1}} {L_ {2} -L_ {1}}}, \ quad \ gamma _ {3} = {\ frac {Y_ {3} -Y_ {1}} {L_ {3} -L_ {1}}} \\\ Rightarrow C & = \ left ({\ frac {\ gamma _ {3} - \ gamma _ {2}} {L_ {3} -L_ {2}}} \ derecha) \ izquierda (L_ {1} + L_ {2} + L_ {3} \ derecha) ^ {- 1 } \\\ Flecha derecha B & = \ gamma _ {2} -C \ izquierda (L_ {1} ^ {2} + L_ {1} L_ {2} + L_ {2} ^ {2} \ derecha) \\\ Flecha derecha A & = Y_ {1} - \ izquierda (B + L_ {1} ^ {2} C \ derecha) L_ {1} \ end {alineado}}}$

Desarrolladores de la ecuación

La ecuación lleva el nombre de John S. Steinhart y Stanley R. Hart, quienes publicaron por primera vez la relación en 1968. El profesor Steinhart (1929-2003), miembro de la Unión Geofísica Estadounidense y de la Asociación Estadounidense para el Avance de la Ciencia , fue un miembro de la facultad de la Universidad de Wisconsin-Madison de 1969 a 1991. Dr. Hart, científico principal de la Institución Oceanográfica Woods Hole desde 1989 y miembro de la Sociedad Geológica de América , la Unión Geofísica Estadounidense, la Sociedad Geoquímica y la Asociación Europea de Geoquímica , se asoció con el profesor Steinhart en la Carnegie Institution de Washington cuando se desarrolló la ecuación.

Derivación y alternativas

La forma más general de la ecuación se puede derivar de extender la ecuación del parámetro B a una serie infinita:

${\ displaystyle R = R_ {0} e ^ {B \ left ({\ frac {1} {T}} - {\ frac {1} {T_ {0}}} \ right)}}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {T}} = {\ frac {1} {T_ {0}}} + {\ frac {1} {B}} \ left (\ ln {\ frac {R} { R_ {0}}} \ right) = a_ {0} + a_ {1} \ ln {\ frac {R} {R_ {0}}}}$

${\ Displaystyle {\ frac {1} {T}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} \ left (\ ln {\ frac {R} {R_ {0}}} \ derecha) ^ {n}}$

${\ Displaystyle R_ {0}}$es un valor de resistencia de referencia (estándar). La ecuación de Steinhart-Hart supone que es de 1 ohmio. El ajuste de la curva es mucho menos preciso cuando se asume y se usa un valor diferente de 1 kΩ. Sin embargo, el uso del conjunto completo de coeficientes evita este problema, ya que simplemente da como resultado un cambio de parámetros. ${\ Displaystyle R_ {0}}$${\ Displaystyle a_ {2} = 0}$${\ Displaystyle R_ {0}}$

En el artículo original, Steinhart y Hart comentan que permitir degradó el ajuste. Esto es sorprendente, ya que permitir más libertad normalmente mejoraría el ajuste. Puede ser porque los autores encajaron en lugar de y, por lo tanto, el error aumentó debido a la libertad adicional. Los artículos posteriores han encontrado un gran beneficio al permitir . ${\ Displaystyle a_ {2} \ neq 0}$${\ Displaystyle 1 / T}$${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle a_ {2} \ neq 0}$

La ecuación se desarrolló mediante pruebas de prueba y error de numerosas ecuaciones y se seleccionó debido a su forma simple y buen ajuste. Sin embargo, en su forma original, la ecuación de Steinhart-Hart no es lo suficientemente precisa para las mediciones científicas modernas. Para la interpolación usando un pequeño número de mediciones, se ha encontrado que la expansión en serie con es precisa dentro de 1 mK sobre el rango calibrado. Algunos autores recomiendan usar . Si hay muchos puntos de datos, la regresión polinomial estándar también puede generar ajustes de curva precisos. Algunos fabricantes han comenzado a proporcionar coeficientes de regresión como alternativa a los coeficientes de Steinhart-Hart. ${\ Displaystyle n = 4}$${\ Displaystyle n = 5}$

Referencias

enlaces externos

• Calculadora de coeficientes Steinhart-Hart en línea
• Calculadora de coeficientes Steinhart-Hart Java