Función de pieza estándar - Standard part function

En el análisis no estándar , la función de parte estándar es una función de los números hiperreales limitados (finitos) a los números reales. Brevemente, la función de parte estándar "redondea" un hiperreal finito al real más cercano. Asocia a cada uno de esos hiperreal lo real único infinitamente cercano a él, es decir, es infinitesimal . Como tal, es una aplicación matemática del concepto histórico de adequality introducido por Pierre de Fermat , así como Leibniz 's ley trascendental de homogeneidad . ${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle x_ {0}}$${\ Displaystyle x-x_ {0}}$

La función de la parte estándar fue definida por primera vez por Abraham Robinson, quien usó la notación para la parte estándar de un hiperreal (ver Robinson 1974). Este concepto juega un papel clave en la definición de los conceptos del cálculo, como la continuidad, la derivada y la integral, en el análisis no estándar . La última teoría es una formalización rigurosa de cálculos con infinitesimales . La parte estándar de x a veces se denomina su sombra . ${\ Displaystyle {} ^ {\ circ} x}$${\ Displaystyle x}$

Definición

La función de parte estándar "redondea" un hiperreal finito al número real más cercano. El "microscopio infinitesimal" se utiliza para ver una vecindad infinitesimal de un real estándar.

El análisis no estándar se ocupa principalmente del par , donde los hiperrealistas son una extensión de campo ordenada de los reales y contienen infinitesimales, además de los reales. En la línea hiperreal, cada número real tiene una colección de números (llamada mónada o halo ) de hiperrealistas infinitamente cercanos a él. La función de parte estándar se asocia a un x hiperreal finito , el número real estándar único x ₀ que está infinitamente cerca de él. La relación se expresa simbólicamente escribiendo ${\ Displaystyle \ mathbb {R} \ subseteq {} ^ {*} \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle {} ^ {*} \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

${\ Displaystyle \ operatorname {st} (x) = x_ {0}.}$

La parte estándar de cualquier infinitesimal es 0. Por lo tanto, si N es un hipernatural infinito , entonces 1 / N es infinitesimal y st (1 / N ) = 0.

Si un hiperreal está representado por una secuencia de Cauchy en la construcción de ultrapotencia , entonces ${\ Displaystyle u}$${\ Displaystyle \ langle u_ {n}: n \ in \ mathbb {N} \ rangle}$

${\ Displaystyle \ operatorname {st} (u) = \ lim _ {n \ to \ infty} u_ {n}.}$

De manera más general, cada finito define un corte de Dedekind en el subconjunto (a través del orden total en ) y el número real correspondiente es la parte estándar de u . ${\ Displaystyle u \ in {} ^ {*} \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} \ subseteq {} ^ {*} \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle {} ^ {\ ast} \ mathbb {R}}$

No interno

La función de pieza estándar "st" no está definida por un conjunto interno . Hay varias formas de explicar esto. Quizás el más simple es que su dominio L, que es la colección de hiperreal limitado (es decir, finito), no es un conjunto interno. Es decir, dado que L está limitado (por cualquier infinito hipernatural, por ejemplo), L tendría que tener un límite superior mínimo si L fuera interno, pero L no tiene un límite superior mínimo. Alternativamente, el rango de "st" es , que no es interno; de hecho, todo conjunto interno que sea un subconjunto de es necesariamente finito , ver (Goldblatt, 1998). ${\ Displaystyle \ mathbb {R} \ subseteq {} ^ {*} \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle {} ^ {*} \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Aplicaciones

Todas las nociones tradicionales de cálculo se pueden expresar en términos de la función de parte estándar, como sigue.

Derivado

La función de parte estándar se utiliza para definir la derivada de una función f . Si f es una función real y h es infinitesimal, y si f ′ ( x ) existe, entonces

${\ Displaystyle f '(x) = \ operatorname {st} \ left ({\ frac {f (x + h) -f (x)} {h}} \ right).}$

Alternativamente, si se toma un incremento infinitesimal y se calcula el correspondiente . Uno forma la proporción . La derivada se define entonces como la parte estándar de la relación: ${\ Displaystyle y = f (x)}$${\ Displaystyle \ Delta x}$${\ Displaystyle \ Delta y = f (x + \ Delta x) -f (x)}$${\ textstyle {\ frac {\ Delta y} {\ Delta x}}}$

${\ Displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = \ operatorname {st} \ left ({\ frac {\ Delta y} {\ Delta x}} \ right).}$

Integral

Dada una función en , se define la integral como la parte estándar de una suma infinita de Riemann cuando el valor de se toma como infinitesimal, explotando una partición hiperfinita del intervalo [ a , b ]. ${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle [a, b]}$${\ textstyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx}$${\ Displaystyle S (f, a, b, \ Delta x)}$${\ Displaystyle \ Delta x}$

Límite

Dada una secuencia , su límite está definido por donde es un índice infinito. Aquí se dice que existe el límite si la parte estándar es la misma independientemente del índice infinito elegido. ${\ Displaystyle (u_ {n})}$${\ textstyle \ lim _ {n \ to \ infty} u_ {n} = \ operatorname {st} (u_ {H})}$${\ Displaystyle H \ in {} ^ {*} \ mathbb {N} \ setminus \ mathbb {N}}$

Continuidad

Una función real es continua en un punto real si y solo si la composición es constante en el halo de . Consulte microcontinuidad para obtener más detalles. ${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle \ operatorname {st} \ circ f}$${\ Displaystyle x}$

Ver también

• Adecuación
• Cálculo no estándar

Notas

Referencias

• H. Jerome Keisler . Cálculo elemental: un enfoque infinitesimal . Primera edición 1976; 2ª edición 1986. (Este libro está agotado. El editor ha revertido los derechos de autor al autor, que ha puesto a disposición la 2ª edición en formato .pdf para su descarga en http://www.math.wisc.edu/ ~ keisler / calc.html .)
• Goldblatt, Robert . Conferencias sobre los hiperrealistas . Introducción al análisis no estándar. Textos de posgrado en matemáticas , 188. Springer-Verlag, Nueva York, 1998.
• Abraham Robinson . Análisis no estándar. Reimpresión de la segunda edición (1974). Con prólogo de Wilhelmus AJ Luxemburg . Hitos de Princeton en matemáticas. Princeton University Press, Princeton, Nueva Jersey, 1996. xx + 293 págs. ISBN   0-691-04490-2