Teorema de Skolem-Noether - Skolem–Noether theorem

En la teoría de anillos , una rama de las matemáticas, el teorema de Skolem-Noether caracteriza los automorfismos de anillos simples . Es un resultado fundamental en la teoría de álgebras simples centrales .

El teorema fue publicado por primera vez por Thoralf Skolem en 1927 en su artículo Zur Theorie der assoziativen Zahlensysteme ( alemán : Sobre la teoría de los sistemas numéricos asociativos ) y luego redescubierto por Emmy Noether .

Declaración

En una formulación general, permiten A y B sean anillos unitarios simples, y dejar que k sea el centro de B . El centro k es un campo dado que, dado que x es distinto de cero en k , la simplicidad de B implica que el ideal de dos lados distinto de cero BxB = (x) es la totalidad de B y, por tanto, que x es una unidad . Si la dimensión de B sobre k es finita, es decir, si B es un álgebra central simple de dimensión finita, y A es también un k -álgebra, entonces se dan homomorfismos de k -álgebra

f , g  : A → B ,

existe una unidad b en B tal que para todo a en A

g ( a ) = b · f ( a ) · b ⁻¹ .

En particular, todo automorfismo de un álgebra k simple central es un automorfismo interno .

Prueba

Primero suponga . Entonces f y g definir las acciones de A en ; dejar que denotan la A -modules así obtenido. Dado que el mapa f es inyectivo por la simplicidad de A , entonces A también es de dimensión finita. Por lo tanto, dos módulos A simples son isomórficos y son sumas directas finitas de módulos A simples. Debido a que tienen la misma dimensión, se sigue que no es un isomorfismo de A -modules . Pero tal b debe ser un elemento de . Para el caso general, es un álgebra matricial y eso es simple. Por la primera parte aplicada a los mapas , existe tal que ${\ Displaystyle B = \ operatorname {M} _ {n} (k) = \ operatorname {End} _ {k} (k ^ {n})}$${\ Displaystyle k ^ {n}}$${\ Displaystyle V_ {f}, V_ {g}}$${\ Displaystyle f (1) = 1 \ neq 0}$${\ Displaystyle V_ {f}, V_ {g}}$${\ Displaystyle b: V_ {g} \ to V_ {f}}$${\ Displaystyle \ operatorname {M} _ {n} (k) = B}$${\ Displaystyle B \ otimes _ {k} B ^ {\ text {op}}}$${\ Displaystyle A \ otimes _ {k} B ^ {\ text {op}}}$${\ Displaystyle f \ otimes 1, g \ otimes 1: A \ otimes _ {k} B ^ {\ text {op}} \ to B \ otimes _ {k} B ^ {\ text {op}}}$${\ Displaystyle b \ in B \ otimes _ {k} B ^ {\ text {op}}}$

${\ Displaystyle (f \ otimes 1) (a \ otimes z) = b (g \ otimes 1) (a \ otimes z) b ^ {- 1}}$

para todos y . Tomando , encontramos ${\ Displaystyle a \ in A}$${\ Displaystyle z \ in B ^ {\ text {op}}}$${\ Displaystyle a = 1}$

${\ Displaystyle 1 \ otimes z = b (1 \ otimes z) b ^ {- 1}}$

para todo z . Es decir, b está adentro y entonces podemos escribir . Tomando este tiempo encontramos ${\ Displaystyle Z_ {B \ otimes B ^ {\ text {op}}} (k \ otimes B ^ {\ text {op}}) = B \ otimes k}$${\ Displaystyle b = b '\ otimes 1}$${\ Displaystyle z = 1}$

${\ Displaystyle f (a) = b'g (a) {b '^ {- 1}}}$,

que es lo que se buscaba.

Notas

Referencias

• Skolem, Thoralf (1927). "Zur Theorie der assoziativen Zahlensysteme". Skrifter Oslo (en alemán) (12): 50. JFM  54.0154.02 .
• Una discusión en el Capítulo IV de Milne , teoría de campos de clases [1]
• Gille, Philippe; Szamuely, Tamás (2006). Álgebras simples centrales y cohomología de Galois . Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas. 101 . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-86103-9. Zbl  1137.12001 .
• Lorenz, Falko (2008). Álgebra. Volumen II: Campos con Estructura, Álgebras y Temas Avanzados . Saltador. ISBN 978-0-387-72487-4. Zbl  1130.12001 .