Grupo de rotación 3D - 3D rotation group

En mecánica y geometría , el grupo de rotación 3D , a menudo denominado SO (3) , es el grupo de todas las rotaciones sobre el origen del espacio euclidiano tridimensional bajo la operación de composición . Por definición, una rotación sobre el origen es una transformación que conserva el origen, la distancia euclidiana (por lo que es una isometría ) y la orientación (es decir, la destreza del espacio). Cada rotación no trivial está determinada por su eje de rotación (una línea que pasa por el origen) y su ángulo de rotación. La composición de dos rotaciones da como resultado otra rotación; cada rotación tiene una rotación inversa única ; y el mapa de identidad satisface la definición de rotación. Debido a las propiedades anteriores (junto con la propiedad asociativa de las rotaciones compuestas ), el conjunto de todas las rotaciones es un grupo en composición. Las rotaciones no son conmutativas (por ejemplo, girar R 90 ° en el plano xy seguido de S 90 ° en el plano yz no es lo mismo que S seguido de R ), lo que lo convierte en un grupo no beliano . Además, el grupo de rotación tiene una estructura natural como un colector para el cual las operaciones del grupo son fácilmente diferenciables ; por lo que de hecho es un grupo de Lie . Es compacto y tiene dimensión 3.

Las rotaciones son transformaciones lineales de y, por lo tanto, pueden representarse mediante matrices una vez que se ha elegido una base de . Específicamente, si elegimos una base ortonormal de , cada rotación se describe mediante una matriz ortogonal de 3 × 3 (es decir, una matriz de 3 × 3 con entradas reales que, cuando se multiplica por su transposición , da como resultado la matriz identidad ) con el determinante 1. La Por lo tanto, el grupo SO (3) se puede identificar con el grupo de estas matrices bajo la multiplicación de matrices . Estas matrices se conocen como "matrices ortogonales especiales", lo que explica la notación SO (3).

El grupo SO (3) se utiliza para describir las posibles simetrías rotacionales de un objeto, así como las posibles orientaciones de un objeto en el espacio. Sus representaciones son importantes en física, donde dan lugar a las partículas elementales de espín entero .

Longitud y ángulo

Además de preservar la longitud, las rotaciones también preservan los ángulos entre los vectores. Esto se deduce del hecho de que la norma de producto escalar entre dos vectores u y v se puede escribir únicamente en términos de longitud:

De ello se deduce que toda transformación lineal que conserva la longitud conserva el producto escalar y, por tanto, el ángulo entre los vectores. Las rotaciones a menudo se definen como transformaciones lineales que conservan el producto interno , lo que equivale a requerir que conserven la longitud. Ver grupo clásico para un tratamiento de este enfoque más general, donde SO (3) aparece como un caso especial.

Matrices ortogonales y de rotación

Cada rotación asigna una base ortonormal de a otra base ortonormal. Como cualquier transformación lineal de espacios vectoriales de dimensión finita, una rotación siempre se puede representar mediante una matriz . Sea R una rotación dada. Con respecto a la base estándar e 1 , e 2 , e 3 de las columnas de R están dadas por ( R e 1 , R e 2 , R e 3 ) . Dado que la base estándar es ortonormal, y dado que R conserva los ángulos y la longitud, las columnas de R forman otra base ortonormal. Esta condición de ortonormalidad se puede expresar en la forma

donde R T denota la transpuesta de R e I es la matriz identidad de 3 × 3 . Las matrices para las que se cumple esta propiedad se denominan matrices ortogonales . El grupo de todas las matrices ortogonales de 3 × 3 se denomina O (3) y consta de todas las rotaciones propias e impropias.

Además de preservar la longitud, las rotaciones adecuadas también deben preservar la orientación. Una matriz conservará o revertirá la orientación según que el determinante de la matriz sea positivo o negativo. Para una matriz ortogonal R , tenga en cuenta que det R T = det R implica (det R ) 2 = 1 , de modo que det R = ± 1 . El subgrupo de matrices ortogonales con determinante +1 se denomina grupo ortogonal especial , denotado SO (3) .

Por tanto, cada rotación se puede representar de forma única mediante una matriz ortogonal con determinante unitario. Además, dado que la composición de las rotaciones corresponde a la multiplicación de matrices , el grupo de rotación es isomorfo al grupo ortogonal especial SO (3) .

Las rotaciones impropias corresponden a matrices ortogonales con determinante -1 , y no forman un grupo porque el producto de dos rotaciones impropias es una rotación propia.

Estructura de grupo

El grupo de rotación es un grupo bajo composición de función (o equivalentemente el producto de transformaciones lineales ). Es un subgrupo del grupo lineal general que consta de todas las transformaciones lineales invertibles del espacio tridimensional real .

Además, el grupo de rotación no es beliano . Es decir, el orden en el que se componen las rotaciones marca la diferencia. Por ejemplo, un cuarto de vuelta alrededor del eje x positivo seguido de un cuarto de vuelta alrededor del eje y positivo es una rotación diferente a la que se obtiene al girar primero alrededor de y y luego x .

El grupo ortogonal, que consta de todas las rotaciones propias e impropias, se genera mediante reflexiones. Cada rotación adecuada es la composición de dos reflexiones, un caso especial del teorema de Cartan-Dieudonné .

Eje de rotación

Cada rotación propia no trivial en 3 dimensiones fija un subespacio lineal unidimensional único del cual se llama eje de rotación (este es el teorema de rotación de Euler ). Cada una de estas rotaciones actúa como una rotación bidimensional ordinaria en el plano ortogonal a este eje. Dado que cada rotación bidimensional se puede representar mediante un ángulo φ , se puede especificar una rotación tridimensional arbitraria mediante un eje de rotación junto con un ángulo de rotación alrededor de este eje. (Técnicamente, es necesario especificar una orientación para el eje y si la rotación se toma en sentido horario o antihorario con respecto a esta orientación).

Por ejemplo, la rotación en sentido antihorario alrededor del eje z positivo por el ángulo φ viene dada por

Dado un vector unitario n en y un ángulo φ , sea R ( φ ,  n ) una rotación en sentido antihorario alrededor del eje a través de n (con orientación determinada por n ). Luego

  • R (0, n ) es la transformación de identidad para cualquier n
  • R ( φ , n ) = R (- φ , - n )
  • R ( π  +  φ , norte ) = R ( π  -  φ , - norte ).

Usando estas propiedades se puede demostrar que cualquier rotación puede ser representada por un ángulo único φ en el rango 0 ≤ φ ≤ π y un vector unitario n tal que

  • n es arbitrario si φ = 0
  • n es único si 0 < φ < π
  • n es único hasta un signo si φ = π (es decir, las rotaciones R ( π , ± n ) son idénticas).

En la siguiente sección, esta representación de rotaciones se utiliza para identificar SO (3) topológicamente con el espacio proyectivo real tridimensional.

Topología

El grupo de Lie SO (3) es difeomorfo al espacio proyectivo real

Considere la bola sólida de radio π (es decir, todos los puntos de distancia π o menos desde el origen). Dado lo anterior, para cada punto de esta bola hay una rotación, con eje que pasa por el punto y el origen, y un ángulo de rotación igual a la distancia del punto al origen. La rotación de identidad corresponde al punto en el centro de la bola. La rotación a través de ángulos entre 0 y - π corresponde al punto en el mismo eje y distancia del origen pero en el lado opuesto del origen. El único problema que queda es que las dos rotaciones a través de π y a través de - π son iguales. Entonces identificamos (o "pegamos") puntos antípodas en la superficie de la pelota. Tras esta identificación, llegamos a un espacio topológico homeomorfo al grupo de rotación.

De hecho, la bola con puntos de superficie antípoda identificados es una variedad suave , y esta variedad es difeomorfa al grupo de rotación. También es difeomórfico al espacio proyectivo tridimensional real, por lo que este último también puede servir como modelo topológico para el grupo de rotación.

Estas identificaciones ilustran que SO (3) está conectado pero no simplemente conectado . En cuanto a este último, en la bola con puntos de superficie antípoda identificados, considere el camino que va desde el "polo norte" directamente a través del interior hasta el polo sur. Este es un circuito cerrado, ya que se identifican el polo norte y el polo sur. Este bucle no se puede reducir a un punto, ya que no importa cómo se deforme el bucle, el punto inicial y final deben permanecer en antípoda, o de lo contrario el bucle se "abrirá". En términos de rotaciones, este bucle representa una secuencia continua de rotaciones sobre el eje z que comienza (por ejemplo) en la identidad (centro de la bola), pasa por el polo sur, salta al polo norte y termina de nuevo en la rotación de identidad (es decir, una serie de rotación en un ángulo φ donde φ va de 0 a 2 π ).

Sorprendentemente, si recorre el camino dos veces, es decir, corre desde el polo norte hacia el polo sur, salte de regreso al polo norte (utilizando el hecho de que los polos norte y sur están identificados) y luego vuelva a correr desde el polo norte hacia el sur. polo, de modo que φ va de 0 a 4 π , se obtiene un bucle cerrado que se puede reducir a un solo punto: primero mueva los caminos continuamente hacia la superficie de la bola, aún conectando el polo norte con el polo sur dos veces. El segundo camino puede luego reflejarse en el lado antípoda sin cambiar el camino en absoluto. Ahora tenemos un circuito cerrado ordinario en la superficie de la bola, que conecta el polo norte consigo mismo a lo largo de un gran círculo. Este círculo se puede reducir al polo norte sin problemas. El truco del plato y trucos similares lo demuestran prácticamente.

El mismo argumento se puede realizar en general, y muestra que el grupo fundamental de SO (3) es el grupo cíclico de orden 2 (un grupo fundamental con dos elementos). En las aplicaciones de la física , la no trivialidad (más de un elemento) del grupo fundamental permite la existencia de objetos conocidos como espinores y es una herramienta importante en el desarrollo del teorema de estadística de espín .

La cobertura universal de SO (3) es un grupo de Lie llamado Spin (3) . El grupo Spin (3) es isomorfo al grupo unitario especial SU (2); también es difeomórfico a la unidad 3-esfera S 3 y puede entenderse como el grupo de versores ( cuaterniones con valor absoluto 1). La conexión entre cuaterniones y rotaciones, comúnmente explotada en gráficos por computadora , se explica en cuaterniones y rotaciones espaciales . El mapa de S 3 a SO (3) que identifica los puntos antípodas de S 3 es un homomorfismo sobreyectivo de grupos de Lie, con kernel {± 1}. Topológicamente, este mapa es un mapa de cobertura de dos a uno . (Vea el truco del plato ).

Conexión entre SO (3) y SU (2)

En esta sección, damos dos construcciones diferentes de un homomorfismo de dos a uno y sobreyectivo de SU (2) sobre SO (3).

Usando cuaterniones de norma unitaria

El grupo SU (2) es isomorfo a los cuaterniones de la norma unitaria a través de un mapa dado por

restringido a donde y , .

Identifiquémonos ahora con el lapso de . Entonces se puede verificar que si está en y es un cuaternión de unidad, entonces

Además, el mapa es una rotación de Además, es el mismo que . Esto significa que hay un homomorfismo 2: 1 desde los cuaterniones de norma unitaria hasta el grupo de rotación 3D SO (3) .

Se puede trabajar este homomorfismo explícitamente: el cuaternión unitario, q , con

se asigna a la matriz de rotación

Esta es una rotación alrededor del vector ( x , y , z ) en un ángulo 2 θ , donde cos θ = w y | sin θ | = || ( x , y , z ) || . El signo apropiado para sin θ está implícito, una vez que se fijan los signos de los componentes del eje. El 2: 1 -Naturaleza es evidente ya que tanto q y - q mapa para el mismo Q .

Usando transformaciones de Möbius

Proyección estereográfica desde la esfera de radio 1/2desde el polo norte ( x , y , z ) = (0, 0,1/2) sobre el plano M dado por z = -1/2coordinado por ( ξ , η ) , aquí se muestra en sección transversal.

La referencia general para esta sección es Gelfand, Minlos & Shapiro (1963) . Los puntos P en la esfera

puede, salvo el polo norte N , ponerse en biyección uno a uno con los puntos S ( P ) = P ´ en el plano M definido por z = -1/2, ver figura. El mapa S se llama proyección estereográfica .

Deje que las coordenadas de M sean ( ξ , η ) . La línea L que pasa por N y P se puede parametrizar como

Exigiendo que la coordenada z de iguales -1/2uno encuentra

Tenemos De ahí el mapa

donde, para mayor conveniencia, el plano M se identifica con el plano complejo

Para la inversa, escriba L como

y demanda x 2 + y 2 + z 2 =1/4para encontrar s =1/1 + ξ 2 + η 2 y por lo tanto

Si g ∈ SO (3) es una rotación, entonces tomará puntos en S a puntos en S por su acción estándar Π s ( g ) en el espacio de incrustación Al componer esta acción con S se obtiene una transformación S ∘ Π s ( g ) ∘ S −1 de M ,

Así, Π u ( g ) es una transformación de asociada a la transformación Π s ( g ) de .

Resulta que g ∈ SO (3) representado de esta manera por Π u ( g ) se puede expresar como una matriz Π u ( g ) ∈ SU (2) (donde la notación se recicla para usar el mismo nombre para la matriz en cuanto a la transformación de lo que representa). Para identificar esta matriz, considere primero una rotación g φ sobre el eje z a través de un ángulo φ ,

Por eso

que, como era de esperar, es una rotación en el plano complejo. De manera análoga, si g θ es una rotación sobre el eje x a través y el ángulo θ , entonces

que, después de un poco de álgebra, se convierte en

Estas dos rotaciones, por tanto , corresponden a transformaciones bilineales de R 2CM , es decir, son ejemplos de transformaciones de Möbius .

Una transformación general de Möbius viene dada por

Las rotaciones generan todo SO (3) y las reglas de composición de las transformaciones de Möbius muestran que cualquier composición de se traduce en la composición correspondiente de las transformaciones de Möbius. Las transformaciones de Möbius se pueden representar mediante matrices

ya que un factor común de α , β , γ , δ se cancela.

Por la misma razón, la matriz no está definida de forma única ya que la multiplicación por - I no tiene ningún efecto ni en el determinante ni en la transformación de Möbius. La ley de composición de las transformaciones de Möbius sigue la de las matrices correspondientes. La conclusión es que cada transformación de Möbius corresponde a dos matrices g , - g ∈ SL (2, C ) .

Usando esta correspondencia uno puede escribir

Estas matrices son unitarias y, por tanto, Π u (SO (3)) ⊂ SU (2) ⊂ SL (2, C ) . En términos de ángulos de Euler, uno encuentra para una rotación general

 

 

 

 

( 1 )

uno tiene

 

 

 

 

( 2 )

Para lo contrario, considere una matriz general

Haz las sustituciones

Con las sustituciones, Π ( g α , β ) asume la forma del lado derecho ( RHS ) de ( 2 ), que corresponde bajo Π u a una matriz en la forma del RHS de ( 1 ) con el mismo φ , θ , ψ . En términos de los parámetros complejos α , β ,

Para verificar esto, sustituya α . β los elementos de la matriz en el lado derecho de ( 2 ). Después de alguna manipulación, la matriz asume la forma del RHS de ( 1 ).

Se desprende de la forma explícita en términos de ángulos de Euler que el mapa

que se acaba de describir es un homomorfismo de grupo suave, 2: 1 y sobreyectivo . Por tanto, es una descripción explícita del mapa de cobertura universal de SO (3) del grupo de cobertura universal SU (2) .

Álgebra de mentiras

Asociado con cada grupo de Lie está su álgebra de Lie , un espacio lineal de la misma dimensión que el grupo de Lie, cerrado bajo un producto alterno bilineal llamado corchete de Lie . El álgebra de Lie de SO (3) se denota y consta de todas las matrices asimétricas de 3 × 3 . Esto se puede ver diferenciando la condición de ortogonalidad , A T A = I , A ∈ SO (3) . El corchete de Lie de dos elementos de es, como para el álgebra de Lie de cada grupo de matrices, dado por el conmutador de matriz , [ A 1 , A 2 ] = A 1 A 2 - A 2 A 1 , que de nuevo es un sesgo-simétrico matriz. El corchete de álgebra de Lie captura la esencia del producto del grupo Lie en un sentido precisado por la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff .

Los elementos de son los "generadores infinitesimales" de rotaciones, es decir, son los elementos del espacio tangente de la variedad SO (3) en el elemento de identidad. Si denota una rotación en sentido antihorario con un ángulo φ alrededor del eje especificado por el vector unitario, entonces

Esto se puede usar para mostrar que el álgebra de Lie (con conmutador) es isomórfico al álgebra de Lie (con producto cruzado ). Bajo este isomorfismo, un vector de Euler corresponde al mapa lineal definido por

En más detalle, una base más a menudo conveniente para como 3 -dimensional espacio vectorial es

Las relaciones de conmutación de estos elementos básicos son,

que concuerdan con las relaciones de los tres vectores unitarios estándar de bajo el producto cruzado.

Como se anunció anteriormente, se puede identificar cualquier matriz en este álgebra de Lie con un vector de Euler

Esta identificación a veces se denomina mapa de sombreros . Bajo esta identificación, el corchete corresponde al producto cruzado ,

La matriz identificada con un vector tiene la propiedad de que

donde en el lado izquierdo tenemos la multiplicación de matrices ordinaria. Esto implica que está en el espacio nulo de la matriz simétrica sesgada con la que se identifica, porque

Una nota sobre las álgebras de Lie

En las representaciones de álgebra de Lie , el grupo SO (3) es compacto y simple de rango 1, por lo que tiene un solo elemento Casimir independiente , una función cuadrática invariante de los tres generadores que conmuta con todos ellos. La forma de Killing para el grupo de rotación es solo el delta de Kronecker , por lo que este invariante de Casimir es simplemente la suma de los cuadrados de los generadores, del álgebra

Es decir, el invariante de Casimir está dado por

Para representaciones unitarias irreductibles D j , los valores propios de este invariante son reales y discretos, y caracterizan cada representación, que es de dimensión finita, de dimensionalidad . Es decir, los valores propios de este operador de Casimir son

donde es un número entero o medio entero, y se denomina giro o momento angular .

Entonces, los generadores L de 3 × 3 mostrados arriba actúan sobre la representación del triplete (espín 1), mientras que los generadores de 2 × 2 debajo, t , actúan sobre la representación del doblete ( espín-½ ). Al tomar los productos de Kronecker de D 1/2 consigo mismo repetidamente, se pueden construir todas las representaciones irreductibles superiores D j . Es decir, los generadores resultantes para sistemas de espín más alto en tres dimensiones espaciales, para j arbitrariamente grande , se pueden calcular utilizando estos operadores de espín y operadores de escalera .

Para cada representación unitaria irreductible D j hay una equivalente, D - j −1 . Todas las representaciones irreductibles de dimensión infinita deben ser no unitarias, ya que el grupo es compacto.

En mecánica cuántica , el invariante de Casimir es el operador de "momento angular al cuadrado"; los valores enteros de espín j caracterizan las representaciones bosónicas , mientras que los valores semi enteros las representaciones fermiónicas . Las matrices antihermitianas utilizadas anteriormente se utilizan como operadores de espín , después de multiplicarse por i , por lo que ahora son hermitianas (como las matrices de Pauli). Así, en este idioma,

y por lo tanto

Las expresiones explícitas para estos D j son,

donde es arbitrario y

Por ejemplo, las matrices de espín resultantes para el espín 1 ( ) son:

Tenga en cuenta, sin embargo, cómo estos tienen una base equivalente, pero diferente, la base esférica , que la anterior en la base cartesiana.

Para girar 3/2( ):

Para girar 5/2( ):

Isomorfismo con 𝖘𝖚 (2)

Las álgebras de Lie y son isomorfas. Una base para viene dada por

Estos están relacionados con las matrices de Pauli por

Las matrices de Pauli cumplen con la convención de los físicos para álgebras de Lie. En esa convención, los elementos del álgebra de Lie se multiplican por i , el mapa exponencial (abajo) se define con un factor extra de i en el exponente y las constantes de estructura permanecen iguales, pero la definición de ellas adquiere un factor de i . Asimismo, las relaciones de conmutación adquieren un factor de i . Las relaciones de conmutación para el son

donde ε ijk es el símbolo totalmente antisimétrico con ε 123 = 1 . El isomorfismo entre y se puede configurar de varias formas. Para mayor conveniencia, y se identifican mediante mapeo

y extendiéndose por linealidad.

Mapa exponencial

El mapa exponencial para SO (3) , es, dado que SO (3) es un grupo de Lie de matriz, definido usando la serie exponencial de matriz estándar ,

Para cualquier matriz asimétrica A ∈ 𝖘𝖔 (3) , e A siempre está en SO (3) . La demostración usa las propiedades elementales de la matriz exponencial.

dado que las matrices A y A T se conmutan, esto puede demostrarse fácilmente con la condición de matriz asimétrica. Esto no es suficiente para demostrar que 𝖘𝖔 (3) es el álgebra de Lie correspondiente para SO (3) , y se probará por separado.

El nivel de dificultad de la demostración depende de cómo se defina el álgebra de Lie de un grupo de matrices. Hall (2003) define el álgebra de Lie como el conjunto de matrices

en cuyo caso es trivial. Rossmann (2002) utiliza para una definición derivadas de segmentos de curva suave en SO (3) a través de la identidad tomada en la identidad, en cuyo caso es más difícil.

Para un A ≠ 0 fijo , e tA , −∞ < t <∞ es un subgrupo de un parámetro a lo largo de una geodésica en SO (3) . Que esto dé un subgrupo de un parámetro se deduce directamente de las propiedades del mapa exponencial.

El mapa exponencial proporciona un difeomorfismo entre una vecindad del origen en el 𝖘𝖔 (3) y una vecindad de la identidad en el SO (3) . Para obtener una demostración, consulte el teorema del subgrupo cerrado .

El mapa exponencial es sobreyectivo . Esto se deriva del hecho de que cada R ∈ SO (3) , dado que cada rotación deja un eje fijo ( teorema de rotación de Euler ), y se conjuga a una matriz diagonal de bloque de la forma

tal que A = BDB −1 , y que

junto con el hecho de que 𝖘𝖔 (3) está cerrado bajo la acción adjunta de SO (3) , lo que significa que BθL z B −1 ∈ 𝖘𝖔 (3) .

Así, por ejemplo, es fácil comprobar la identidad popular

Como se muestra arriba, cada elemento A ∈ 𝖘𝖔 (3) está asociado con un vector ω = θ u , donde u = ( x , y , z ) es un vector de magnitud unitaria. Dado que u está en el espacio nulo de A , si ahora se rota a una nueva base, a través de alguna otra matriz ortogonal O , con u como eje z , la columna y fila finales de la matriz de rotación en la nueva base será cero.

Por lo tanto, sabemos de antemano por la fórmula del exponencial que exp ( OAO T ) debe dejar u fijo. Es matemáticamente imposible proporcionar una fórmula sencilla para tal base en función de u , porque su existencia violaría el teorema de la bola peluda ; pero la exponenciación directa es posible, y produce

donde y . Esto se reconoce como una matriz para una rotación alrededor del eje u por el ángulo θ : cf. Fórmula de rotación de Rodrigues .

Mapa de logaritmos

Dado R ∈ SO (3) , denotemos la parte antisimétrica y sea Entonces, el logaritmo de A está dado por

Esto se manifiesta al inspeccionar la forma de simetría mixta de la fórmula de Rodrigues,

donde el primer y último término del lado derecho son simétricos.

Fórmula de Baker – Campbell – Hausdorff

Suponga que se dan X e Y en el álgebra de Lie. Sus exponenciales, exp ( X ) y exp ( Y ) , son matrices de rotación que se pueden multiplicar. Dado que el mapa exponencial es una sobreyección, para algunos Z en el álgebra de Lie, exp ( Z ) = exp ( X ) exp ( Y ) , y uno puede escribir tentativamente

para C alguna expresión en X y Y . Cuando exp ( X ) y exp ( Y ) conmutan, entonces Z = X + Y , imitando el comportamiento de exponenciación compleja.

El caso general viene dado por la fórmula BCH más elaborada , una expansión en serie de paréntesis de Lie anidados. Para las matrices, el corchete de Lie es la misma operación que el conmutador , que monitorea la falta de conmutatividad en la multiplicación. Esta expansión general se desarrolla de la siguiente manera,

La expansión infinita en la fórmula BCH para SO (3) se reduce a una forma compacta,

para coeficientes de función trigonométrica adecuados ( α , β , γ ) .

Los coeficientes trigonométricos

Los ( α , β , γ ) están dados por

dónde

por

El producto interno es el producto interno de Hilbert-Schmidt y la norma es la norma asociada. Bajo el sombrero-isomorfismo,

que explica los factores para θ y φ . Esto desaparece en la expresión del ángulo.

Vale la pena escribir este generador de rotación compuesto como

para enfatizar que esta es una identidad de álgebra de Lie .

La identidad anterior es válida para todas las representaciones fieles de 𝖘𝖔 (3) . El núcleo de un homomorfismo del álgebra de Lie es un ideal , pero 𝖘𝖔 (3) , al ser simple , no tiene ideales no triviales y, por lo tanto, todas las representaciones no triviales son fieles. Se mantiene en particular en la representación de doblete o espinor. La misma fórmula explícita se sigue así de una manera más simple a través de matrices de Pauli, cf. la derivación 2 × 2 para SU (2) .

El caso SU (2)

La versión del vector de Pauli de la misma fórmula BCH es la ley de composición de grupo algo más simple de SU (2),

dónde

la ley esférica de los cosenos . (Tenga en cuenta que a ', b', c ' son ángulos, no a , b , c anteriores).

Evidentemente, tiene el mismo formato que el anterior,

con

así que eso

Para una normalización uniforme de los generadores en el álgebra de Lie involucrada, exprese las matrices de Pauli en términos de t -matrices, σ → 2 i t , de modo que

Para verificar que estos son los mismos coeficientes que arriba, calcule las razones de los coeficientes,

Finalmente, γ = γ ' dada la identidad d = sen 2 c' .

Para el caso general n × n , se podría usar la Ref.

El caso del cuaternión

El cuaternión formulación de la composición de dos rotaciones R B y R A también produce directamente el eje de rotación y el ángulo de la rotación compuesto R C = R B R A .

Supongamos que el cuaternión asociado con una rotación espacial R se construye a partir de su eje de rotación S y el ángulo de rotación φ este eje. El cuaternión asociado viene dado por,

Entonces la composición de la rotación R R con R A es la rotación R C = R B R A con eje de rotación y ángulo definido por el producto de los cuaterniones

es decir

Expanda este producto para obtener

Divida ambos lados de esta ecuación por la identidad, que es la ley de los cosenos en una esfera ,

y calcular

Esta es la fórmula de Rodrigues para el eje de una rotación compuesta definida en términos de los ejes de las dos rotaciones. Derivó esta fórmula en 1840 (véase la página 408).

Los tres ejes de rotación A , B y C forman un triángulo esférico y los ángulos diedros entre los planos formados por los lados de este triángulo están definidos por los ángulos de rotación.

Rotaciones infinitesimales

Las matrices del álgebra de Lie no son en sí mismas rotaciones; las matrices simétricas sesgadas son derivadas. Una "rotación diferencial" real o matriz de rotación infinitesimal tiene la forma

donde es muy pequeño y A ∈ 𝖘𝖔 (3) .

Estas matrices no satisfacen todas las mismas propiedades que las matrices de rotación finita ordinarias bajo el tratamiento habitual de infinitesimales. Para comprender lo que esto significa, considere

En primer lugar, comprobar la condición de ortogonalidad, Q t Q = I . El producto es

diferir de una matriz de identidad por infinitesimales de segundo orden, descartados aquí. Entonces, de primer orden, una matriz de rotación infinitesimal es una matriz ortogonal.

A continuación, examine el cuadrado de la matriz,

De nuevo, descartando los efectos de segundo orden, observe que el ángulo simplemente se duplica. Esto insinúa la diferencia más esencial en el comportamiento, que podemos exhibir con la ayuda de una segunda rotación infinitesimal,

Compare los productos dA x  dA y con dA y dA x ,

Como es de segundo orden, lo descartamos: así, a primer orden, la multiplicación de matrices de rotación infinitesimales es conmutativa . De hecho,

de nuevo a primer orden. En otras palabras, el orden en el que se aplican las rotaciones infinitesimales es irrelevante .

Este hecho útil hace, por ejemplo, la derivación de la rotación de un cuerpo rígido relativamente simple. Pero siempre hay que tener cuidado de distinguir (el tratamiento de primer orden de) estas matrices de rotación infinitesimales tanto de las matrices de rotación finitas como de los elementos del álgebra de Lie. Al contrastar el comportamiento de las matrices de rotación finitas en la fórmula BCH anterior con el de las matrices de rotación infinitesimales, donde todos los términos del conmutador serán infinitesimales de segundo orden, uno encuentra un espacio vectorial de buena fe. Técnicamente, este rechazo de cualquier término de segundo orden equivale a una contracción del Grupo .

Realizaciones de rotaciones

Hemos visto que hay una variedad de formas de representar rotaciones:

Armónicos esféricos

El grupo SO (3) de rotaciones euclidianas tridimensionales tiene una representación de dimensión infinita en el espacio de Hilbert.

donde están los armónicos esféricos . Sus elementos son funciones cuadradas integrables de valores complejos en la esfera. El producto interior en este espacio viene dado por

 

 

 

 

( H1 )

Si f es una función integrable cuadrada arbitraria definida en la esfera unitaria S 2 , entonces se puede expresar como

 

 

 

 

( H2 )

donde los coeficientes de expansión están dados por

 

 

 

 

( H3 )

La acción del grupo Lorentz se limita a la de SO (3) y se expresa como

 

 

 

 

( H4 )

Esta acción es unitaria, lo que significa que

 

 

 

 

( H5 )

La D ( ) se puede obtener de la D ( m ,  n ) anterior utilizando la descomposición de Clebsch-Gordan , pero se expresan más fácilmente directamente como una exponencial de una representación su (2) de dimensión impar (la representación tridimensional uno es exactamente 𝖘𝖔 (3) ). En este caso, el espacio L 2 ( S 2 ) se descompone limpiamente en una suma directa infinita de representaciones irreductibles impares de dimensión finita V 2 i + 1 , i = 0, 1,… según

 

 

 

 

( H6 )

Esto es característico de las representaciones unitarias de dimensión infinita de SO (3) . Si Π es una representación unitaria de dimensión infinita en un espacio de Hilbert separable , entonces se descompone como una suma directa de representaciones unitarias de dimensión finita. Por tanto, tal representación nunca es irreductible. Todas las representaciones de dimensión finita irreductibles (Π, V ) pueden hacerse unitarias mediante una elección adecuada del producto interno,

donde la integral es la única integral invariante sobre SO (3) normalizada a 1 , aquí expresada usando la parametrización de ángulos de Euler . El producto interior dentro de la integral es cualquier producto interno en V .

Generalizaciones

El grupo de rotación se generaliza de forma bastante natural al espacio euclidiano n- dimensional , con su estructura euclidiana estándar. El grupo de todas las rotaciones propias e impropias en n dimensiones se denomina grupo ortogonal O ( n ), y el subgrupo de rotaciones propias se denomina grupo ortogonal especial SO ( n ), que es un grupo de Lie de dimensión n ( n - 1 ) / 2 .

En la relatividad especial , se trabaja en un espacio vectorial de 4 dimensiones, conocido como espacio de Minkowski en lugar de espacio euclidiano tridimensional. A diferencia del espacio euclidiano, el espacio de Minkowski tiene un producto interior con una firma indefinida . Sin embargo, todavía se pueden definir rotaciones generalizadas que preserven este producto interno. Estas rotaciones generalizadas se conocen como transformaciones de Lorentz y el grupo de todas esas transformaciones se denomina grupo de Lorentz .

El grupo de rotación SO (3) puede describirse como un subgrupo de E + (3) , el grupo euclidiano de isometrías directas de euclidiana Este grupo más grande es el grupo de todos los movimientos de un cuerpo rígido : cada uno de estos es una combinación de un rotación alrededor de un eje arbitrario y una traslación, o dicho de otra manera, una combinación de un elemento de SO (3) y una traslación arbitraria.

En general, el grupo de rotación de un objeto es el grupo de simetría dentro del grupo de isometrías directas; en otras palabras, la intersección del grupo de simetría completo y el grupo de isometrías directas. Para los objetos quirales , es lo mismo que el grupo de simetría completo.

Ver también

Notas al pie

Referencias

Bibliografía

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