Residual (análisis numérico) - Residual (numerical analysis)

Hablando libremente, un residuo es el error en un resultado. Para ser precisos, suponga que queremos encontrar x tal que

${\ Displaystyle f (x) = b. \,}$

Dada una aproximación x ₀ de x , el residuo es

${\ displaystyle bf (x_ {0}) \,}$

es decir, "lo que queda del lado derecho" después de restar f ( x ₀ ) "(por lo tanto, el nombre" residual ": lo que queda, el resto). Por otro lado, el error es

${\ Displaystyle x-x_ {0} \,}$

Si no se conoce el valor exacto de x , se puede calcular el residuo, mientras que el error no.

Residual de la aproximación de una función

Se utiliza una terminología similar para tratar las ecuaciones diferenciales , integrales y funcionales . Para la aproximación de la solución de la ecuación ${\ Displaystyle ~ f _ {\ rm {a}} ~}$${\ Displaystyle ~ f ~}$

${\ Displaystyle T (f) (x) = g (x)}$ ,

el residual puede ser la función

${\ Displaystyle ~ g (x) ~ - ~ T (f _ {\ rm {a}}) (x)}$

o se puede decir que es el máximo de la norma de esta diferencia

${\ Displaystyle \ max _ {x \ in {\ mathcal {X}}} | g (x) -T (f _ {\ rm {a}}) (x) |}$

sobre el dominio , donde se espera que la función se aproxime a la solución , o alguna integral de una función de la diferencia, por ejemplo: ${\ Displaystyle {\ mathcal {X}}}$${\ Displaystyle ~ f _ {\ rm {a}} ~}$${\ Displaystyle ~ f ~}$

${\ Displaystyle ~ \ int _ {\ mathcal {X}} | g (x) -T (f _ {\ rm {a}}) (x) | ^ {2} ~ {\ rm {d}} x.}$

En muchos casos, la pequeñez del residual significa que la aproximación está cerca de la solución, es decir,

${\ Displaystyle ~ \ left | {\ frac {f _ {\ rm {a}} (x) -f (x)} {f (x)}} \ right | \ ll 1. ~}$

En estos casos, la ecuación inicial se considera bien planteada ; y el residual se puede considerar como una medida de desviación de la aproximación de la solución exacta.

Uso de residuos

Cuando no se conoce la solución exacta, se puede buscar la aproximación con un pequeño residuo.

Los residuos aparecen en muchas áreas de las matemáticas, incluidos los solucionadores iterativos como el método de residuo mínimo generalizado , que busca soluciones a las ecuaciones minimizando sistemáticamente el residuo.

Referencias