Espacio cociente (álgebra lineal) - Quotient space (linear algebra)

Este artículo trata sobre cocientes de espacios vectoriales. Para conocer los cocientes de espacios topológicos, consulte Espacio de cociente (topología) .

En álgebra lineal , el cociente de un espacio vectorial V por un subespacio N es un espacio vectorial obtenido "colapsando" N a cero. El espacio obtenido se llama espacio de cociente y se denota V / N (lea V mod N o V por N ).

Definición

Formalmente, la construcción es la siguiente. Deje que V sea un espacio vectorial sobre un campo K , y dejar que N sea un subespacio de V . Definimos una relación de equivalencia ~ en V al afirmar que x ~ y si x - y ∈ N . Es decir, x se relaciona con y si uno se puede obtener de la otra mediante la adición de un elemento de N . De esta definición, se puede deducir que cualquier elemento de N está relacionado con el vector cero; más precisamente, todos los vectores en N se mapean en la clase de equivalencia del vector cero.

La clase de equivalencia (o, en este caso, la clase lateral ) de x a menudo se denota

[ x ] = x + N

ya que está dado por

[ x ] = { x + n  : n ∈ N }.

El espacio del cociente V / N se define entonces como V / ~, el conjunto de todas las clases de equivalencia sobre V por ~. La multiplicación y la suma escalares se definen en las clases de equivalencia por

  • α [ x ] = [α x ] para todo α ∈ K , y
  • [ x ] + [ y ] = [ x + y ].

No es difícil comprobar que estas operaciones están bien definidas (es decir, no dependen de la elección del representante ). Estas operaciones convierten el espacio del cociente V / N en un espacio vectorial sobre K, siendo N la clase cero, [0].

El mapeo que asocia a v ∈ V la clase de equivalencia [ v ] se conoce como mapa de cocientes .

Alternativamente su enunciado, el espacio cociente es el conjunto de todos los afines subconjuntos de que son paralelos a .

Ejemplos de

Deje que X = R 2 es el plano cartesiano estándar, y dejar que Y sea una línea a través del origen en X . A continuación, el espacio cociente X / Y se puede identificar con el espacio de todas las líneas en X que son paralelas a Y . Es decir que, los elementos del conjunto X / Y son líneas en X paralelo a Y . Tenga en cuenta que los puntos a lo largo de cualquier línea de uno de tales satisfarán la relación de equivalencia porque sus vectores de diferencia pertenecen a Y . Esto proporciona una forma de visualizar geométricamente los espacios de cociente. (Al volver a parametrizar estas líneas, el espacio del cociente se puede representar de manera más convencional como el espacio de todos los puntos a lo largo de una línea que pasa por el origen que no es paralelo a Y. De manera similar, el espacio del cociente para R 3 por una línea que pasa por el origen puede de nuevo se representará como el conjunto de todas las líneas co-paralelas, o alternativamente se representará como el espacio vectorial que consiste en un plano que solo interseca la línea en el origen).

Otro ejemplo es el cociente de R n por el subespacio generado por los primeros m vectores de base estándar. El espacio R n consta de todas las n tuplas de números reales ( x 1 ,…, x n ) . El subespacio, identificado con R m , consta de todas las n tuplas de modo que las últimas n - m entradas son cero: ( x 1 ,…, x m , 0, 0,…, 0) . Dos vectores de R n están en la misma clase de congruencia módulo el subespacio si y solo si son idénticos en las últimas n - m coordenadas. El espacio del cociente R n / R m es isomorfo a R n - m de una manera obvia.

De manera más general, si V es una suma directa (interna) de los subespacios U y W,

entonces el espacio cociente V / U es naturalmente isomorfo a W .

Un ejemplo importante de un espacio de cociente funcional es un espacio L p .

Propiedades

Hay un epimorfismo natural de V al espacio cociente V / U dado al enviar x a su clase de equivalencia [ x ]. El kernel (o espacio nulo) de esta epimorfismo es el subespacio U . Esta relación está perfectamente resumida por la breve secuencia exacta

Si U es un subespacio de V , la dimensión de V / T se llama el codimensión de U en V . Dado que una base de V puede construirse a partir de una base A de U y una base B de V / U agregando un representante de cada elemento de B a A , la dimensión de V es la suma de las dimensiones de U y V / U . Si V es de dimensión finita , se deduce que la codimensión de U en V es la diferencia entre las dimensiones de V y U :

Sea T  : V → W un operador lineal . El núcleo de T , ker denotado ( T ), es el conjunto de todos los x ∈ V tal que Tx = 0. El núcleo es un subespacio de V . El primer teorema de isomorfismo del álgebra lineal dice que el espacio cociente V / ker ( T ) es isomorfo a la imagen de V en W . Un corolario inmediato, para espacios de dimensión finita, es el teorema de rango-nulidad : la dimensión de V es igual a la dimensión del núcleo (la nulidad de T ) más la dimensión de la imagen (el rango de T ).

El cokernel de un operador lineal T  : V → W se define como el espacio del cociente W / im ( T ).

Cociente de un espacio de Banach por un subespacio

Si X es un espacio de Banach y M es un subespacio cerrado de X , entonces el cociente X / M es nuevamente un espacio de Banach. El espacio del cociente ya está dotado de una estructura de espacio vectorial por la construcción de la sección anterior. Definimos una norma en X / M por

Cuando X está completo, entonces el espacio del cociente X / M está completo con respecto a la norma y, por lo tanto, un espacio de Banach.

Ejemplos de

Sea C [0,1] el espacio de Banach de funciones continuas de valor real en el intervalo [0,1] con la norma sup . Denotar el subespacio de todas las funciones f ∈ C [0,1] con f (0) = 0 por M . A continuación, la clase de equivalencia de alguna función g se determina por su valor en 0, y el espacio cociente C [0,1] /  M es isomorfo a R .

Si X es un espacio de Hilbert , entonces el espacio cociente X / M es isomorfo al complemento ortogonal de M .

Generalización a espacios localmente convexos

El cociente de un espacio localmente convexo por un subespacio cerrado es de nuevo localmente convexo. De hecho, suponga que X es localmente convexo, de modo que la topología de X es generada por una familia de seminormas { p α  | α ∈  A } donde A es un conjunto de índices. Sea M un subespacio cerrado, y defina seminormas q α en X / M por

Entonces X / M es un espacio localmente convexo, y la topología en él es la topología del cociente .

Si, además, X es metrizable , entonces también lo es X / M . Si X es un espacio de Fréchet , entonces también lo es X / M .

Ver también

Referencias

  1. ^ Halmos (1974) págs. 33-34 §§ 21-22
  2. ^ Katznelson y Katznelson (2008) p. 9 § 1.2.4
  3. ^ Roman (2005) p. 75-76, cap. 3
  4. ^ Axler (2015) p. 95, párrafo 3.83
  5. ^ Halmos (1974) p. 34, § 22, Teorema 1
  6. ^ Axler (2015) p. 97, párrafo 3.89
  7. ^ Halmos (1974) p. 34, § 22, Teorema 2
  8. ^ Dieudonné (1976) p. 65, párrafo 12.14.8
  9. ^ Dieudonné (1976) p. 54, párrafo 12.11.3

Fuentes

  • Axler, Sheldon (2015). Álgebra lineal bien hecha . Textos de Licenciatura en Matemáticas (3ª ed.). Springer . ISBN 978-3-319-11079-0.
  • Dieudonné, Jean (1976), Tratado de análisis , 2 , Academic Press , ISBN 978-0122155024
  • Halmos, Paul Richard (1974) [1958]. Espacios vectoriales de dimensión finita . Textos de Licenciatura en Matemáticas (2ª ed.). Springer . ISBN 0-387-90093-4.
  • Katznelson, Yitzhak ; Katznelson, Yonatan R. (2008). Una (concisa) introducción al álgebra lineal . Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-0-8218-4419-9.
  • Roman, Steven (2005). Álgebra lineal avanzada . Textos de Posgrado en Matemáticas (2ª ed.). Springer . ISBN 0-387-24766-1.