Eliminación del cuantificador - Quantifier elimination

La eliminación de cuantificadores es un concepto de simplificación utilizado en lógica matemática , teoría de modelos e informática teórica . De manera informal, un enunciado cuantificado " tal que " puede verse como una pregunta "¿Cuándo existe un tal que ?", Y el enunciado sin cuantificadores puede verse como la respuesta a esa pregunta.

Una forma de clasificar fórmulas es por la cantidad de cuantificación . Las fórmulas con menos profundidad de alternancia de cuantificadores se consideran más simples, y las fórmulas sin cuantificadores son las más simples. Una teoría tiene eliminación de cuantificadores si para cada fórmula existe otra fórmula sin cuantificadores que sea equivalente a ella ( módulo esta teoría).

Ejemplos de

Un ejemplo de matemáticas de la escuela secundaria dice que un polinomio cuadrático de una sola variable tiene una raíz real si y solo si su discriminante no es negativo:

Aquí, la oración del lado izquierdo implica un cuantificador , mientras que la oración equivalente de la derecha no.

Ejemplos de teorías que han demostrado ser decidibles usando la eliminación de cuantificadores son la aritmética de Presburger , campos algebraicamente cerrados , campos cerrados reales , álgebras booleanas sin átomos , álgebras de términos , órdenes lineales densos , grupos abelianos , gráficos aleatorios , así como muchas de sus combinaciones como booleanas. álgebra con aritmética de Presburger y álgebras de términos con colas .

El eliminador del cuantificador para la teoría de los números reales como grupo aditivo ordenado es la eliminación de Fourier-Motzkin ; para la teoría del campo de los números reales es el teorema de Tarski-Seidenberg .

La eliminación del cuantificador también se puede utilizar para mostrar que la "combinación" de teorías decidibles conduce a nuevas teorías decidibles.

Algoritmos y decidibilidad

Si una teoría tiene eliminación de cuantificadores, entonces se puede abordar una pregunta específica: ¿Existe un método de determinación para cada uno ? Si existe tal método, lo llamamos algoritmo de eliminación de cuantificador . Si existe tal algoritmo, entonces la decidibilidad de la teoría se reduce a decidir la verdad de las oraciones libres de cuantificadores . Las oraciones sin cuantificadores no tienen variables, por lo que su validez en una teoría dada a menudo se puede calcular, lo que permite el uso de algoritmos de eliminación de cuantificadores para decidir la validez de las oraciones.

Conceptos relacionados

Varias ideas de la teoría de modelos están relacionadas con la eliminación de cuantificadores y existen varias condiciones equivalentes.

Toda teoría de primer orden con eliminación de cuantificadores es un modelo completo . Por el contrario, una teoría de modelo completo, cuya teoría de las consecuencias universales tiene la propiedad de amalgama , tiene eliminación de cuantificador.

Los modelos de la teoría de las consecuencias universales de una teoría son precisamente las subestructuras de los modelos de . La teoría de los órdenes lineales no tiene eliminación de cuantificadores. Sin embargo, la teoría de sus consecuencias universales tiene la propiedad de fusión.

Ideas basicas

Para mostrar constructivamente que una teoría tiene eliminación de cuantificadores, basta con mostrar que podemos eliminar un cuantificador existencial aplicado a una conjunción de literales , es decir, mostrar que cada fórmula de la forma:

donde cada uno es un literal, es equivalente a una fórmula sin cuantificadores. De hecho, supongamos que sabemos cómo eliminar los cuantificadores de las conjunciones de literales, entonces, si es una fórmula libre de cuantificadores, podemos escribirla en forma normal disyuntiva.

y utilizar el hecho de que

es equivalente a

Finalmente, para eliminar un cuantificador universal

donde no tiene cuantificador, lo transformamos en forma normal disyuntiva, y usamos el hecho de que es equivalente a

Relación con la decidibilidad

En la teoría de modelos temprana, la eliminación de cuantificadores se utilizó para demostrar que varias teorías poseen propiedades como decidibilidad y completitud . Una técnica común fue mostrar primero que una teoría admite la eliminación de cuantificadores y luego probar la decidibilidad o la completitud considerando solo las fórmulas libres de cuantificadores. Esta técnica se puede utilizar para demostrar que la aritmética de Presburger es decidible.

Las teorías podrían ser decidibles pero no admitir la eliminación del cuantificador. Estrictamente hablando, la teoría de los números naturales aditivos no admitía la eliminación del cuantificador, pero fue una expansión de los números naturales aditivos la que demostró ser decidible. Siempre que una teoría es decidible, y el lenguaje de sus fórmulas válidas es contable , es posible extender la teoría con muchas relaciones contables para tener la eliminación del cuantificador (por ejemplo, se puede introducir, para cada fórmula de la teoría, un símbolo de relación que relaciona las variables libres de la fórmula).

Ejemplo: Nullstellensatz para campos algebraicamente cerrados y para campos diferencialmente cerrados .

Ver también

Notas

Referencias