Conjetura de Polignac - Polignac's conjecture

En teoría de números , la conjetura de Polignac fue hecha por Alphonse de Polignac en 1849 y establece:

Para cualquier número par positivo n , hay infinitos espacios primos de tamaño n . En otras palabras: hay infinitos casos de dos números primos consecutivos con diferencia n .

Aunque la conjetura aún no ha sido probada o refutada para un valor dado de n , en 2013 Zhang Yitang hizo un avance importante, quien demostró que hay infinitas brechas primarias de tamaño n para un valor de n <70.000.000. Más tarde ese año, James Maynard anunció un avance relacionado que demostró que hay infinitas brechas primarias de algún tamaño menor o igual a 600. Al 14 de abril de 2014, un año después del anuncio de Zhang, según la wiki del proyecto Polymath , n se ha reducido a 246. Además, asumiendo la conjetura de Elliott-Halberstam y su forma generalizada, la wiki del proyecto Polymath establece que n se ha reducido a 12 y 6, respectivamente.

Para n = 2, es la conjetura de los primos gemelos . Para n = 4, dice que hay infinitos primos primos ( p ,  p  + 4). Para n  = 6, dice que hay infinitos números primos sexys ( p ,  p  + 6) sin primos entre p y  p  + 6.

La conjetura de Dickson generaliza la conjetura de Polignac para cubrir todas las constelaciones principales.

Densidad conjeturada

Sea par n el número de espacios primos de tamaño n por debajo de x . ${\ Displaystyle \ pi _ {n} (x)}$

La primera conjetura de Hardy-Littlewood dice que la densidad asintótica es de forma

${\ Displaystyle \ pi _ {n} (x) \ sim 2C_ {n} {\ frac {x} {(\ ln x) ^ {2}}} \ sim 2C_ {n} \ int _ {2} ^ { x} {dt \ over (\ ln t) ^ {2}}}$

donde C _n es una función de n , y significa que el cociente de dos expresiones tiende a 1 cuando x se acerca al infinito. ${\ Displaystyle \ sim}$

C ₂ es la constante prima gemela

${\ displaystyle C_ {2} = \ prod _ {p \ geq 3} {\ frac {p (p-2)} {(p-1) ^ {2}}} \ approx 0.660161815846869573927812110014 \ dots}$

donde el producto se extiende sobre todos los números primos p ≥ 3.

C _n es C ₂ multiplicado por un número que depende de los factores primos impares q de n :

${\ Displaystyle C_ {n} = C_ {2} \ prod _ {q | n} {\ frac {q-1} {q-2}}.}$

Por ejemplo, C ₄ = C ₂ y C ₆ = 2 C ₂ . Los primos gemelos tienen la misma densidad conjeturada que los primos primos, y la mitad de la de los primos sexys.

Tenga en cuenta que cada factor primo impar q de n aumenta la densidad conjeturada en comparación con los primos gemelos en un factor de . Un argumento heurístico sigue. Se basa en algunas suposiciones no probadas, por lo que la conclusión sigue siendo una conjetura. La probabilidad de que un primo impar aleatorio q divida a o a + 2 en un par primo gemelo "potencial" aleatorio es , ya que q divide 1 de los q números de a a a  +  q  - 1. Ahora suponga que q divide ny considere un par primo potencial ( a ,  a  +  n ). q  divide a  +  n si y solo si q divide a , y la probabilidad de que sea así . La probabilidad de que ( a ,  a  +  n ) esté libre del factor q , dividida por la probabilidad de que ( a , a  +  2 ) esté libre de q , luego se divide entre . Esto es igual a lo que se transfiere a la densidad prima conjeturada. En el caso de n  = 6, el argumento se simplifica a: Si a es un número aleatorio, entonces 3 tiene una probabilidad de 2/3 de dividir a o a  + 2, pero solo una probabilidad de 1/3 de dividir a y a  + 6, por lo que el se conjetura que el último par tiene el doble de probabilidades de que ambos sean primos. ${\ Displaystyle {\ tfrac {q-1} {q-2}}}$${\ Displaystyle {\ tfrac {2} {q}}}$${\ Displaystyle {\ tfrac {1} {q}}}$${\ Displaystyle {\ tfrac {q-1} {q}}}$${\ Displaystyle {\ tfrac {q-2} {q}}}$${\ Displaystyle {\ tfrac {q-1} {q-2}}}$

Notas

Referencias

• Alphonse de Polignac, Recherches nouvelles sur les nombres premiers . Comptes Rendus des Séances de l'Académie des Sciences (1849)
• Weisstein, Eric W. "Conjetura de Polignac" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Conjetura de k-Tuple" . MathWorld .