Grupo de automorfismo externo - Outer automorphism group

En matemáticas , el grupo de automorfismos externos de un grupo , G , es el cociente , Aut ( G ) / Inn ( G ) , donde Aut ( G ) es el grupo de automorfismos de G e Inn ( G ) es el subgrupo que consiste en automorfismos internos. . El grupo de automorfismo externo generalmente se denota Out ( G ) . Si Out ( G ) es trivial y G tiene un centro trivial , entonces se dice que G es completo .

Un automorfismo de un grupo que no es interno se llama automorfismo externo . Las clases laterales de Inn ( G ) con respecto a los automorfismos externos son entonces los elementos de Out ( G ) ; este es un ejemplo del hecho de que los cocientes de grupos no son, en general, (isomorfos a) subgrupos. Si el grupo de automorfismo interno es trivial (cuando un grupo es abeliano), el grupo de automorfismo y el grupo de automorfismo externo se identifican naturalmente; es decir, el grupo de automorfismo externo actúa sobre el grupo.

Por ejemplo, para el grupo alterno , A n , el grupo de automorfismo externo suele ser el grupo de orden 2, con las excepciones que se indican a continuación. Considerando A n como un subgrupo del grupo simétrico , S n , la conjugación por cualquier permutación impar es un automorfismo externo de A n o más precisamente "representa la clase del automorfismo externo (no trivial) de A n ", pero el el automorfismo no corresponde a la conjugación por ningún elemento impar en particular , y todas las conjugaciones por elementos impares son equivalentes hasta la conjugación por un elemento par.

Estructura

La conjetura de Schreier afirma que Out ( G ) es siempre un grupo solucionable cuando G es un grupo simple finito . Ahora se sabe que este resultado es cierto como corolario de la clasificación de grupos simples finitos , aunque no se conoce una prueba más simple.

Como dual del centro

El grupo de automorfismo externo es dual con el centro en el siguiente sentido: la conjugación por un elemento de G es un automorfismo, produciendo un mapa σ : G → Aut ( G ) . El núcleo del mapa de conjugación es el centro, mientras que el cokernel es el grupo de automorfismo externo (y la imagen es el grupo de automorfismo interno ). Esto se puede resumir en la secuencia exacta :

Z ( G ) ↪ G σ Aut ( G ) ↠ Fuera ( G ) .

Aplicaciones

El grupo de automorfismo externo de un grupo actúa sobre las clases de conjugación y, en consecuencia, sobre la tabla de caracteres . Ver detalles en la tabla de caracteres: automorfismos externos .

Topología de superficies

El grupo de automorfismo externo es importante en la topología de superficies porque existe una conexión proporcionada por el teorema de Dehn-Nielsen : el grupo de clases de mapeo extendido de la superficie es el grupo de automorfismo externo de su grupo fundamental .

En grupos finitos

Para los grupos de automorfismos externos de todos los grupos simples finitos, consulte la lista de grupos simples finitos . Los grupos simples esporádicos y los grupos alternos (distintos del grupo alterno, A 6 ; ver más abajo) tienen todos grupos de automorfismos externos de orden 1 o 2. El grupo de automorfismos externos de un grupo simple finito de tipo Lie es una extensión de un grupo de " automorfismos diagonales "(cíclicos excepto D n ( q ) , cuando tiene orden 4), un grupo de" automorfismos de campo "(siempre cíclicos), y un grupo de" automorfismos de grafos "(de orden 1 o 2 excepto D 4 ( q ) , cuando es el grupo simétrico en 3 puntos). Estas ampliaciones no siempre son productos semidirectos , como muestra el caso del grupo alterno A 6 ; En 2003 se dio un criterio preciso para que esto suceda.

Grupo Parámetro Fuera ( G ) | Fuera ( G ) |
Z C 2 2 : la identidad y el automorfismo externo x ↦ - x
C n n > 2 (ℤ / n ℤ) × φ ( n ) = ; uno correspondiente a la multiplicación por un elemento invertible en elanilloℤ / n.
Z p n p primo, n > 1 GL n ( p ) ( p n - 1) ( p n - p ) ( p n - p 2 ) ... ( p n - p n −1 )
S n n ≠ 6 C 1 1
S 6   C 2 (ver más abajo) 2
A n n ≠ 6 C 2 2
A 6   C 2 × C 2 (ver más abajo) 4
PSL 2 ( p ) p > 3 primo C 2 2
PSL 2 (2 n ) n > 1 C n norte
PSL 3 (4) = M 21   Dih 6 12
M n n ∈ {11, 23, 24} C 1 1
M n n ∈ {12, 22} C 2 2
Co n n ∈ {1, 2, 3} C 1 1

En grupos simétricos y alternos

El grupo de automorfismo externo de un grupo simple finito en alguna familia infinita de grupos simples finitos casi siempre se puede dar mediante una fórmula uniforme que funcione para todos los elementos de la familia. Hay solo una excepción a esto: el grupo alterno A 6 tiene un grupo de automorfismo externo de orden 4, en lugar de 2 como lo hacen los otros grupos alternos simples (dado por conjugación por una permutación impar ). De manera equivalente, el grupo simétrico S 6 es el único grupo simétrico con un grupo de automorfismo externo no trivial.

Tenga en cuenta que, en el caso de G = A 6 = PSL (2, 9) , la secuencia 1 ⟶ G ⟶ Aut ( G ) ⟶ Out ( G ) ⟶ 1 no se divide. Un resultado similar es válido para cualquier PSL (2, q 2 ) , q impar.

En grupos algebraicos reductivos

Las simetrías del diagrama de Dynkin , D 4 , corresponden a los automorfismos externos de Spin (8) en trialidad.

Sea ahora G un grupo reductor conectado sobre un campo algebraicamente cerrado . Entonces cualesquiera dos subgrupos de Borel se conjugan por un automorfismo interno, por lo que para estudiar los automorfismos externos es suficiente considerar los automorfismos que fijan un subgrupo de Borel dado. Asociado al subgrupo de Borel hay un conjunto de raíces simples , y el automorfismo externo puede permutarlas, al tiempo que conserva la estructura del diagrama de Dynkin asociado . De esta forma se puede identificar el grupo de automorfismos del diagrama de Dynkin de G con un subgrupo de Out ( G ) .

D 4 tiene un diagrama de Dynkin muy simétrico, que produce un gran grupo de automorfismos externos de Spin (8) , a saber, Out (Spin (8)) = S 3 ; esto se llama trialidad .

En álgebras de Lie simples complejas y reales

La interpretación anterior de los automorfismos externos como simetrías de un diagrama de Dynkin se deriva del hecho general de que para un álgebra de Lie compleja o real simple, 𝔤 , el grupo de automorfismos Aut ( 𝔤 ) es un producto semidirecto de Inn ( 𝔤 ) y Out ( 𝔤 ) ; es decir, la breve secuencia exacta

1 ⟶ Posada ( 𝔤 ) ⟶ Aut ( 𝔤 ) ⟶ Fuera ( 𝔤 ) ⟶ 1

divisiones. En el caso simple complejo, este es un resultado clásico, mientras que para las álgebras de Lie simples reales, este hecho ha sido probado tan recientemente como 2010.

Juego de palabras

El término automorfismo externo se presta al juego de palabras : el término morfismo externo se usa a veces para el automorfismo externo , y una geometría particular en la que actúa Out ( F n ) se llama espacio exterior .

Ver también

Referencias

enlaces externos

  • ATLAS of Finite Group Representations-V3 , contiene mucha información sobre varias clases de grupos finitos (en particular, grupos simples esporádicos), incluido el orden de Out ( G ) para cada grupo enumerado.