Constante Omega - Omega constant

La constante omega es una constante matemática definida como el número real único que satisface la ecuación

${\ Displaystyle \ Omega e ^ {\ Omega} = 1.}$

Es el valor de W (1) , donde W es la función W de Lambert . El nombre se deriva del nombre alternativo de la función W de Lambert , la función omega . El valor numérico de Ω viene dado por

Ω = 0,56714 32904 09783 87299 99686 62210 ... (secuencia A030178 en la OEIS ).

1 / Ω = 1,76322 28343 51896 71022 52017 76951 ... (secuencia A030797 en la OEIS ).

Propiedades

Representación de punto fijo

La identidad definitoria se puede expresar, por ejemplo, como

${\ Displaystyle \ ln ({\ tfrac {1} {\ Omega}}) = \ Omega.}$

o

${\ Displaystyle - \ ln (\ Omega) = \ Omega}$

o

${\ Displaystyle e ^ {- \ Omega} = \ Omega.}$

Cálculo

Se puede calcular Ω iterativamente , comenzando con una suposición inicial Ω ₀ , y considerando la secuencia

${\ Displaystyle \ Omega _ {n + 1} = e ^ {- \ Omega _ {n}}.}$

Esta secuencia convergerá a Ω cuando n se acerque al infinito. Esto se debe a que Ω es un punto fijo atractivo de la función e ^{- x} .

Es mucho más eficiente usar la iteración

${\ Displaystyle \ Omega _ {n + 1} = {\ frac {1+ \ Omega _ {n}} {1 + e ^ {\ Omega _ {n}}}},}$

porque la función

${\ Displaystyle f (x) = {\ frac {1 + x} {1 + e ^ {x}}},}$

además de tener el mismo punto fijo, también tiene una derivada que se desvanece allí. Esto garantiza la convergencia cuadrática; es decir, el número de dígitos correctos se duplica aproximadamente con cada iteración.

Usando el método de Halley , Ω se puede aproximar con convergencia cúbica (el número de dígitos correctos se triplica aproximadamente con cada iteración): (vea también la función Lambert W § Evaluación numérica ).

${\ Displaystyle \ Omega _ {j + 1} = \ Omega _ {j} - {\ frac {\ Omega _ {j} e ^ {\ Omega _ {j}} - 1} {e ^ {\ Omega _ { j}} (\ Omega _ {j} +1) - {\ frac {(\ Omega _ {j} +2) (\ Omega _ {j} e ^ {\ Omega _ {j}} - 1)} { 2 \ Omega _ {j} +2}}}}.}$

Representaciones integrales

Una identidad debida a Victor Adamchik viene dada por la relación

${\ Displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {dt} {(e ^ {t} -t) ^ {2} + \ pi ^ {2}}} = {\ frac { 1} {1+ \ Omega}}.}$

Otras relaciones debidas a I. Mező son

${\ Displaystyle \ Omega = {\ frac {1} {\ pi}} \ operatorname {Re} \ int _ {0} ^ {\ pi} \ log \ left ({\ frac {e ^ {e ^ {it}) } -e ^ {- it}} {e ^ {e ^ {it}} - e ^ {it}}} \ right) dt,}$

${\ Displaystyle \ Omega = {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {\ pi} \ log \ left (1 + {\ frac {\ sin t} {t}} e ^ { t \ cot t} \ right) dt.}$

Las dos últimas identidades se pueden extender a otros valores de la función W (ver también Función W de Lambert § Representaciones ).

Trascendencia

La constante Ω es trascendental . Esto puede verse como una consecuencia directa del teorema de Lindemann-Weierstrass . Para una contradicción, suponga que Ω es algebraico. Según el teorema, e ^−Ω es trascendental, pero Ω = e ^−Ω , lo cual es una contradicción. Por tanto, debe ser trascendental.

Referencias

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Omega constante" . MathWorld .
• "Omega constante (1.000.000 dígitos)" , grupo de comunicación Darkside (en Japón) , consultado el 25 de diciembre de 2017