Métodos numéricos para ecuaciones diferenciales parciales - Numerical methods for partial differential equations

Los métodos numéricos para ecuaciones diferenciales parciales es la rama del análisis numérico que estudia la solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales (PDE).

Métodos

Método de diferencias finitas

En este método, las funciones se representan por sus valores en ciertos puntos de la cuadrícula y las derivadas se aproximan a través de diferencias en estos valores.

Método de líneas

El método de líneas (MOL, NMOL, NUMOL) es una técnica para resolver ecuaciones diferenciales parciales (PDE) en la que todas las dimensiones menos una están discretizadas. MOL permite utilizar métodos y software estándar de propósito general, desarrollados para la integración numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias (ODE) y ecuaciones algebraicas diferenciales (DAE). Se ha desarrollado una gran cantidad de rutinas de integración a lo largo de los años en muchos lenguajes de programación diferentes, y algunas se han publicado como recursos de código abierto .

El método de líneas se refiere más a menudo a la construcción o análisis de métodos numéricos para ecuaciones diferenciales parciales que procede primero discretizando las derivadas espaciales solamente y dejando la variable de tiempo continua. Esto conduce a un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias al que se puede aplicar un método numérico para ecuaciones ordinarias de valor inicial. El método de las líneas en este contexto se remonta al menos a principios de la década de 1960.

Método de elementos finitos

El método de elementos finitos (FEM) es una técnica numérica para encontrar soluciones aproximadas a problemas de valores de frontera para ecuaciones diferenciales . Utiliza métodos variacionales (el cálculo de variaciones ) para minimizar una función de error y producir una solución estable. De manera análoga a la idea de que conectar muchas líneas rectas diminutas puede aproximarse a un círculo más grande, FEM abarca todos los métodos para conectar muchas ecuaciones de elementos simples en muchos subdominios pequeños, denominados elementos finitos, para aproximar una ecuación más compleja en un dominio más grande .

Método de discretización de gradiente

El método de discretización de gradiente (GDM) es una técnica numérica que abarca algunos métodos estándar o recientes. Se basa en la aproximación separada de una función y de su gradiente. Las propiedades centrales permiten la convergencia del método para una serie de problemas lineales y no lineales, y por lo tanto todos los métodos que entran en el marco GDM (elemento finito conforme y no conforme, elemento finito mixto, diferencia finita mimética ...) heredan estas propiedades de convergencia.

Método de volumen finito

El método de volumen finito es un método para representar y evaluar ecuaciones diferenciales parciales en forma de ecuaciones algebraicas [LeVeque, 2002; Toro, 1999]. De manera similar al método de diferencias finitas o al método de elementos finitos , los valores se calculan en lugares discretos en una geometría mallada. "Volumen finito" se refiere al pequeño volumen que rodea cada punto de nodo en una malla. En el método de volumen finito, las integrales de volumen en una ecuación diferencial parcial que contienen un término de divergencia se convierten en integrales de superficie , utilizando el teorema de divergencia . Estos términos luego se evalúan como flujos en las superficies de cada volumen finito. Debido a que el flujo que ingresa a un volumen dado es idéntico al que sale del volumen adyacente, estos métodos son conservadores . Otra ventaja del método de volumen finito es que se formula fácilmente para permitir mallas no estructuradas. El método se utiliza en muchos paquetes de dinámica de fluidos computacional .

Método espectral

Los métodos espectrales son técnicas utilizadas en matemáticas aplicadas y computación científica para resolver numéricamente ciertas ecuaciones diferenciales , que a menudo implican el uso de la transformada rápida de Fourier . La idea es escribir la solución de la ecuación diferencial como una suma de ciertas "funciones de base" (por ejemplo, como una serie de Fourier , que es una suma de sinusoides ) y luego elegir los coeficientes en la suma que mejor satisfagan el diferencial. ecuación.

Los métodos espectrales y los métodos de elementos finitos están estrechamente relacionados y se basan en las mismas ideas; la principal diferencia entre ellos es que los métodos espectrales usan funciones de base que son distintas de cero en todo el dominio, mientras que los métodos de elementos finitos usan funciones de base que son distintas de cero solo en subdominios pequeños. En otras palabras, los métodos espectrales adoptan un enfoque global, mientras que los métodos de elementos finitos utilizan un enfoque local . En parte por esta razón, los métodos espectrales tienen excelentes propiedades de error, siendo la llamada "convergencia exponencial" la más rápida posible, cuando la solución es fluida . Sin embargo, no se conocen resultados de captura de choque espectral de dominio único tridimensional . En la comunidad de elementos finitos, un método en el que el grado de los elementos es muy alto o aumenta a medida que el parámetro de cuadrícula h disminuye a cero a veces se denomina método de elementos espectrales .

Métodos sin malla

Los métodos sin malla no requieren una malla que conecte los puntos de datos del dominio de simulación. Los métodos sin malla permiten la simulación de algunos tipos de problemas que de otro modo serían difíciles, a costa de tiempo de cálculo y esfuerzo de programación adicionales.

Métodos de descomposición de dominios

Los métodos de descomposición de dominios resuelven un problema de valor límite dividiéndolo en problemas de valor límite más pequeños en subdominios e iterando para coordinar la solución entre subdominios adyacentes. Se utiliza un problema general con una o pocas incógnitas por subdominio para coordinar aún más la solución entre los subdominios a nivel mundial. Los problemas en los subdominios son independientes, lo que hace que los métodos de descomposición de dominios sean adecuados para la computación en paralelo . Los métodos de descomposición de dominios se utilizan normalmente como preacondicionadores para los métodos iterativos del espacio de Krylov , como el método de gradiente conjugado o GMRES .

En los métodos de descomposición de dominios superpuestos, los subdominios se superponen más que la interfaz. Los métodos de descomposición de dominios superpuestos incluyen el método alterno de Schwarz y el método de Schwarz aditivo . Muchos métodos de descomposición de dominios pueden escribirse y analizarse como un caso especial del método abstracto aditivo de Schwarz .

En los métodos que no se superponen, los subdominios se cruzan solo en su interfaz. En los métodos primarios, como la descomposición de dominio de equilibrio y BDDC , la continuidad de la solución a través de la interfaz del subdominio se refuerza al representar el valor de la solución en todos los subdominios vecinos por la misma incógnita. En métodos duales, como FETI , los multiplicadores de Lagrange imponen la continuidad de la solución a través de la interfaz del subdominio . El método FETI-DP es híbrido entre un método dual y uno primario.

Los métodos de descomposición de dominios no superpuestos también se denominan métodos de subestructuración iterativos .

Los métodos de mortero son métodos de discretización para ecuaciones diferenciales parciales, que utilizan una discretización separada en subdominios que no se superponen. Las mallas de los subdominios no coinciden en la interfaz, y los multiplicadores de Lagrange hacen cumplir la igualdad de la solución, elegidos con criterio para preservar la precisión de la solución. En la práctica de la ingeniería en el método de elementos finitos, la continuidad de las soluciones entre subdominios no coincidentes se implementa mediante restricciones de múltiples puntos .

Las simulaciones de elementos finitos de modelos de tamaño moderado requieren resolver sistemas lineales con millones de incógnitas. Varias horas por paso de tiempo es un tiempo de ejecución secuencial promedio, por lo tanto, la computación en paralelo es una necesidad. Los métodos de descomposición de dominio incorporan un gran potencial para una paralelización de los métodos de elementos finitos y sirven como base para cálculos distribuidos en paralelo.

Métodos de redes múltiples

Los métodos de cuadrícula múltiple (MG) en análisis numérico son un grupo de algoritmos para resolver ecuaciones diferenciales usando una jerarquía de discretizaciones . Son un ejemplo de una clase de técnicas llamadas métodos de resolución múltiple , muy útiles en (pero no limitados a) problemas que exhiben múltiples escalas de comportamiento. Por ejemplo, muchos métodos de relajación básicos exhiben diferentes tasas de convergencia para componentes de longitud de onda corta y larga, lo que sugiere que estas diferentes escalas deben tratarse de manera diferente, como en un enfoque de análisis de Fourier para redes múltiples. Los métodos MG se pueden utilizar como solucionadores y como preacondicionadores .

La idea principal de la red múltiple es acelerar la convergencia de un método iterativo básico mediante la corrección global de vez en cuando, lo que se logra resolviendo un problema burdo . Este principio es similar a la interpolación entre cuadrículas más gruesas y más finas. La aplicación típica de multirredes es la solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales elípticas en dos o más dimensiones.

Los métodos de redes múltiples se pueden aplicar en combinación con cualquiera de las técnicas de discretización comunes. Por ejemplo, el método de elementos finitos puede reformularse como un método de redes múltiples. En estos casos, los métodos de redes múltiples se encuentran entre las técnicas de solución más rápidas que se conocen en la actualidad. A diferencia de otros métodos, los métodos de redes múltiples son generales porque pueden tratar regiones arbitrarias y condiciones de contorno . No dependen de la separabilidad de las ecuaciones ni de otras propiedades especiales de la ecuación. También se han utilizado ampliamente para sistemas de ecuaciones no simétricos y no lineales más complicados, como el sistema de elasticidad de Lamé o las ecuaciones de Navier-Stokes .

Comparación

El método de diferencias finitas a menudo se considera el método más simple de aprender y usar. Los métodos de elementos finitos y volumen finito se utilizan ampliamente en ingeniería y en dinámica de fluidos computacional , y son muy adecuados para problemas en geometrías complicadas. Los métodos espectrales son generalmente los más precisos, siempre que las soluciones sean lo suficientemente suaves.

Ver también

• Lista de temas de análisis numérico # Métodos numéricos para ecuaciones diferenciales parciales
• Métodos numéricos para ecuaciones diferenciales ordinarias

Referencias

• LeVeque, Randall (1990), Métodos numéricos para las leyes de conservación , Serie de Conferencias ETH en Matemáticas, Birkhauser-Verlag.
• Tannehill, John C., et al., (1997), Mecánica de fluidos computacional y transferencia de calor , 2ª edición, Taylor y Francis.

enlaces externos

• Curso de métodos numéricos para ecuaciones diferenciales parciales en MIT OpenCourseWare .
• IMS , el suplemento de código abierto IMTEK Mathematica (IMS)
• Técnicas numéricas PDE para científicos e ingenieros , conferencias de acceso abierto y códigos para PDE numéricas