Número - Number

Un número es un objeto matemático que se utiliza para contar , medir y etiquetar . Los ejemplos originales son los números naturales 1 , 2 , 3 , 4 , etc. Los números se pueden representar en lenguaje con palabras numéricas . De manera más universal, los números individuales se pueden representar mediante símbolos , llamados números ; por ejemplo, "5" es un número que representa el número cinco . Como solo se puede memorizar un número relativamente pequeño de símbolos, los números básicos se organizan comúnmente en un sistema de numeración , que es una forma organizada de representar cualquier número. El sistema numérico más común es el sistema numérico hindú-árabe , que permite la representación de cualquier número utilizando una combinación de diez símbolos numéricos fundamentales, llamados dígitos . Además de su uso para contar y medir, los números se utilizan a menudo para etiquetas (como con los números de teléfono ), para hacer pedidos (como con los números de serie ) y para los códigos (como con los ISBN ). En el uso común, un número no se distingue claramente del número que representa.

En las matemáticas , la noción de un número se ha extendido a través de los siglos para incluir 0 , los números negativos , números racionales como la mitad , números reales tales como la raíz cuadrada de 2 y $π$ , y los números complejos que se extienden los números reales con una raíz cuadrada de $-1$ (y sus combinaciones con números reales sumando o restando sus múltiplos). Los cálculos con números se realizan con operaciones aritméticas , siendo las más conocidas la suma , la resta , la multiplicación , la división y la exponenciación . Su estudio o uso se llama aritmética , un término que también puede referirse a la teoría de números , el estudio de las propiedades de los números. ${\ Displaystyle \ left ({\ tfrac {1} {2}} \ right)}$ ${\ Displaystyle \ left ({\ sqrt {2}} \ right)}$

Además de sus usos prácticos, los números tienen un significado cultural en todo el mundo. Por ejemplo, en la sociedad occidental, el número 13 a menudo se considera de mala suerte , y " un millón " puede significar "mucho" en lugar de una cantidad exacta. Aunque ahora se considera pseudociencia , la creencia en un significado místico de los números, conocido como numerología , impregnaba el pensamiento antiguo y medieval. La numerología influyó mucho en el desarrollo de las matemáticas griegas , estimulando la investigación de muchos problemas de la teoría de números que todavía son de interés en la actualidad.

Durante el siglo XIX, los matemáticos comenzaron a desarrollar muchas abstracciones diferentes que comparten ciertas propiedades de los números y pueden considerarse como una extensión del concepto. Entre los primeros estaban los números hipercomplejos , que consisten en varias extensiones o modificaciones del sistema de números complejos . En las matemáticas modernas, los sistemas numéricos ( conjuntos ) se consideran importantes ejemplos especiales de categorías más generales como anillos y campos , y la aplicación del término "número" es una cuestión de convención, sin importancia fundamental.

Historia

Numerales

Los números deben distinguirse de los números , los símbolos que se utilizan para representar números. Los egipcios inventaron el primer sistema numérico cifrado, y los griegos siguieron mapeando sus números de conteo en los alfabetos jónico y dórico. Los números romanos, un sistema que usaba combinaciones de letras del alfabeto romano, siguió siendo dominante en Europa hasta la difusión del sistema numérico hindú-árabe superior a finales del siglo XIV, y el sistema numérico hindú-árabe sigue siendo el sistema más común para representar números en el mundo de hoy. La clave de la eficacia del sistema fue el símbolo del cero , que fue desarrollado por los antiguos matemáticos indios alrededor del año 500 d. C.

Primer uso de números

Se han descubierto huesos y otros artefactos con marcas que muchos creen que son marcas de conteo . Es posible que estas marcas de conteo se hayan utilizado para contar el tiempo transcurrido, como el número de días, los ciclos lunares o llevar registros de cantidades, como los animales.

Un sistema de conteo no tiene un concepto de valor posicional (como en la notación decimal moderna), lo que limita su representación de números grandes. No obstante, los sistemas de conteo se consideran el primer tipo de sistema numérico abstracto.

El primer sistema conocido con valor posicional fue el sistema mesopotámico de base 60 ( c. 3400 a . C.) y el primer sistema de base 10 conocido data del 3100 a . C. en Egipto .

Cero

El primer uso documentado conocido de cero data del 628 d.C. y apareció en el Brāhmasphuṭasiddhānta , la obra principal del matemático indio Brahmagupta . Trató el 0 como un número y analizó las operaciones que lo implican, incluida la división . En ese momento (el siglo VII), el concepto había llegado claramente a Camboya como números jemer , y la documentación muestra que la idea se extendió más tarde a China y al mundo islámico .

El número 605 en números Khmer , de una inscripción del 683 d.C. Uso temprano del cero como cifra decimal.

El Brāhmasphuṭasiddhānta de Brahmagupta es el primer libro que menciona el cero como número, por lo que generalmente se considera que Brahmagupta es el primero en formular el concepto de cero. Dio reglas para usar cero con números negativos y positivos, como "cero más un número positivo es un número positivo, y un número negativo más cero es el número negativo". El Brahmasphuṭasiddhānta es el primer texto conocido en tratar el cero como un número por derecho propio, en lugar de simplemente un dígito de marcador de posición para representar otro número como lo hicieron los babilonios o como un símbolo de la falta de cantidad como lo hizo Ptolomeo y los romanos.

El uso de 0 como número debe distinguirse de su uso como numeral marcador de posición en los sistemas de valor posicional . Muchos textos antiguos usaban 0. Los textos babilónicos y egipcios lo usaban. Los egipcios usaron la palabra nfr para denotar saldo cero en la contabilidad de partida doble . Textos indios utilizaron un sánscrito palabra Shunye o shunya para referirse al concepto de vacío . En los textos de matemáticas, esta palabra a menudo se refiere al número cero. De manera similar, Pāṇini (siglo V a. C.) usó el operador nulo (cero) en el Ashtadhyayi , un ejemplo temprano de una gramática algebraica para el idioma sánscrito (ver también Pingala ).

Hay otros usos del cero antes de Brahmagupta, aunque la documentación no es tan completa como en el Brāhmasphuṭasiddhānta .

Los registros muestran que los antiguos griegos parecían inseguros sobre el estado del 0 como número: se preguntaban "¿cómo es posible que 'nada' sea algo?" conduciendo a interesantes argumentos filosóficos y, por el período medieval, religiosos sobre la naturaleza y existencia del 0 y el vacío . Las paradojas de Zenón de Elea dependen en parte de la interpretación incierta de 0. (Los antiguos griegos incluso cuestionaron si 1 era un número).

El pueblo olmeca tardío del centro-sur de México comenzó a usar un símbolo para el cero, un glifo de concha , en el Nuevo Mundo, posiblemente hacia el siglo IV a.C. pero ciertamente hacia el 40 a.C., que se convirtió en una parte integral de los números mayas y el calendario maya. . La aritmética maya usaba base 4 y base 5 escrita como base 20. George I. Sánchez en 1961 reportó un ábaco de base 4, base 5 "dedo".

Para el año 130 d.C., Tolomeo , influenciado por Hiparco y los babilonios, estaba usando un símbolo para el 0 (un círculo pequeño con una barra larga) dentro de un sistema numérico sexagesimal que de otra manera usaba números griegos alfabéticos . Debido a que se usó solo, no solo como un marcador de posición, este cero helenístico fue el primer uso documentado de un cero verdadero en el Viejo Mundo. En manuscritos bizantinos posteriores de su Syntaxis Mathematica ( Almagest ), el cero helenístico se había transformado en la letra griega Omicron (que de otro modo significa 70).

Otro cero verdadero se usó en tablas junto con números romanos por 525 (primer uso conocido por Dionysius Exiguus ), pero como palabra, nulla no significa nada , no como símbolo. Cuando la división produjo 0 como resto , se utilizó nihil , que tampoco significa nada . Estos ceros medievales fueron utilizados por todos los futuros computistas medievales (calculadoras de Pascua ). Beda o un colega utilizó un uso aislado de su inicial, N, en una tabla de números romanos alrededor del 725, un verdadero símbolo cero.

Números negativos

El concepto abstracto de números negativos se reconoció desde el año 100 al 50 a. C. en China. Los nueve capítulos sobre el arte matemático contienen métodos para encontrar las áreas de las figuras; Se usaron barras rojas para denotar coeficientes positivos , negras para negativos. La primera referencia en una obra occidental fue en el siglo III d.C. en Grecia. Diofanto se refirió a la ecuación equivalente a 4 x + 20 = 0 (la solución es negativa) en Arithmetica , diciendo que la ecuación dio un resultado absurdo.

Durante los años 600, se utilizaban números negativos en India para representar deudas. La referencia anterior de Diofanto fue discutida más explícitamente por el matemático indio Brahmagupta , en Brāhmasphuṭasiddhānta en 628, quien usó números negativos para producir la fórmula cuadrática de forma general que sigue en uso hoy. Sin embargo, en el siglo XII en la India, Bhaskara da raíces negativas para las ecuaciones cuadráticas pero dice que el valor negativo "en este caso no debe tomarse, porque es inadecuado; la gente no aprueba las raíces negativas".

Los matemáticos europeos, en su mayor parte, resistieron el concepto de números negativos hasta el siglo XVII, aunque Fibonacci permitió soluciones negativas en problemas financieros donde podrían interpretarse como deudas (capítulo 13 de Liber Abaci , 1202) y luego como pérdidas (en Flos ). René Descartes las llamó raíces falsas ya que surgieron en polinomios algebraicos, pero encontró una manera de intercambiar raíces verdaderas y raíces falsas también. Al mismo tiempo, los chinos indicaban números negativos trazando un trazo diagonal a través del dígito distinto de cero situado más a la derecha del número positivo correspondiente. El primer uso de números negativos en una obra europea lo hizo Nicolas Chuquet durante el siglo XV. Los usó como exponentes , pero se refirió a ellos como "números absurdos".

Tan recientemente como en el siglo XVIII, era una práctica común ignorar cualquier resultado negativo devuelto por ecuaciones asumiendo que no tenían sentido.

Numeros racionales

Es probable que el concepto de números fraccionarios se remonta a tiempos prehistóricos . Los antiguos egipcios usaban su notación de fracción egipcia para números racionales en textos matemáticos como el Papiro Matemático Rhind y el Papiro Kahun . Los matemáticos clásicos griegos e indios realizaron estudios de la teoría de los números racionales, como parte del estudio general de la teoría de números . El más conocido de ellos son los Elementos de Euclides , que datan aproximadamente del 300 a. C. De los textos indios, el más relevante es el Sthananga Sutra , que también cubre la teoría de números como parte de un estudio general de las matemáticas.

El concepto de fracciones decimales está estrechamente relacionado con la notación de valor posicional decimal; los dos parecen haberse desarrollado en conjunto. Por ejemplo, es común que el sutra de matemáticas de Jain incluya cálculos de aproximaciones de fracciones decimales a pi o la raíz cuadrada de 2 . De manera similar, los textos matemáticos babilónicos usaban fracciones sexagesimales (base 60) con gran frecuencia.

Numeros irracionales

El primer uso conocido de números irracionales fue en los Sulba Sutras indios compuestos entre 800 y 500 a. C. Las primeras pruebas de existencia de números irracionales generalmente se atribuyen a Pitágoras , más específicamente al pitagórico Hippasus de Metapontum , quien produjo una prueba (muy probablemente geométrica) de la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2 . La historia cuenta que Hippasus descubrió los números irracionales al tratar de representar la raíz cuadrada de 2 como una fracción. Sin embargo, Pitágoras creía en el carácter absoluto de los números y no podía aceptar la existencia de números irracionales. No pudo refutar su existencia a través de la lógica, pero no pudo aceptar números irracionales, por lo que, supuestamente y frecuentemente informado, condenó a Hippasus a muerte por ahogamiento, para impedir la difusión de esta desconcertante noticia.

El siglo XVI trajo consigo la aceptación europea final de los números integrales negativos y fraccionarios . En el siglo XVII, los matemáticos generalmente usaban fracciones decimales con notación moderna. Sin embargo, no fue hasta el siglo XIX cuando los matemáticos separaron los irracionales en partes algebraicas y trascendentales, y una vez más emprendieron el estudio científico de los irracionales. Había permanecido casi inactivo desde Euclides . En 1872, se produjo la publicación de las teorías de Karl Weierstrass (por su alumno E. Kossak), Eduard Heine , Georg Cantor y Richard Dedekind . En 1869, Charles Méray había tomado el mismo punto de partida que Heine, pero la teoría generalmente se refiere al año 1872. El método de Weierstrass fue completamente establecido por Salvatore Pincherle (1880), y el de Dedekind ha recibido prominencia adicional a través del trabajo posterior del autor. (1888) y respaldo de Paul Tannery (1894). Weierstrass, Cantor y Heine basan sus teorías en series infinitas, mientras que Dedekind basa la suya en la idea de un corte (Schnitt) en el sistema de números reales , separando todos los números racionales en dos grupos que tienen ciertas propiedades características. El tema ha recibido contribuciones posteriores de la mano de Weierstrass, Kronecker y Méray.

La búsqueda de raíces de ecuaciones quínticas y de grado superior fue un desarrollo importante, el teorema de Abel-Ruffini ( Ruffini 1799, Abel 1824) mostró que no podían resolverse mediante radicales (fórmulas que involucran solo operaciones aritméticas y raíces). Por lo tanto, fue necesario considerar el conjunto más amplio de números algebraicos (todas las soluciones de ecuaciones polinómicas). Galois (1832) vinculó las ecuaciones polinómicas con la teoría de grupos dando lugar al campo de la teoría de Galois .

Las fracciones continuas , estrechamente relacionadas con los números irracionales (y debidas a Cataldi, 1613), recibieron la atención de Euler y, a principios del siglo XIX , cobraron protagonismo a través de los escritos de Joseph Louis Lagrange . Druckenmüller (1837), Kunze (1857), Lemke (1870) y Günther (1872) han hecho otras contribuciones dignas de mención. Ramus primero conectó el sujeto con determinantes , resultando, con las contribuciones posteriores de Heine, Möbius y Günther, en la teoría de Kettenbruchdeterminanten .

Números trascendentales y reales

La existencia de números trascendentales fue establecida por primera vez por Liouville (1844, 1851). Hermite demostró en 1873 que e es trascendental y Lindemann demostró en 1882 que π es trascendental. Finalmente, Cantor demostró que el conjunto de todos los números reales es incontablemente infinito, pero que el conjunto de todos los números algebraicos es contablemente infinito , por lo que hay un número infinito incontable de números trascendentales.

Infinito e infinitesimales

La concepción más antigua conocida del infinito matemático aparece en el Yajur Veda , una antigua escritura india, que en un momento dice: "Si quitas una parte del infinito o agregas una parte al infinito, aún lo que queda es el infinito". El infinito fue un tema popular de estudio filosófico entre los matemáticos jainistas c. 400 aC. Distinguieron entre cinco tipos de infinito: infinito en una y dos direcciones, infinito en área, infinito en todas partes e infinito perpetuamente. El símbolo se usa a menudo para representar una cantidad infinita. ${\ Displaystyle {\ text {∞}}}$

Aristóteles definió la noción occidental tradicional de infinito matemático. Distinguió entre el infinito real y el infinito potencial , siendo el consenso general que sólo el último tenía valor verdadero. Las dos nuevas ciencias de Galileo Galilei discutieron la idea de correspondencias uno a uno entre conjuntos infinitos. Pero el siguiente gran avance en la teoría fue realizado por Georg Cantor ; en 1895 publicó un libro sobre su nueva teoría de conjuntos , introduciendo, entre otras cosas, los números transfinitos y formulando la hipótesis del continuo .

En la década de 1960, Abraham Robinson mostró cómo los números infinitamente grandes e infinitesimales pueden definirse y utilizarse rigurosamente para desarrollar el campo del análisis no estándar. El sistema de números hiperrealistas representa un método riguroso de tratar las ideas sobre números infinitesimales e infinitesimales que habían sido utilizadas casualmente por matemáticos, científicos e ingenieros desde la invención del cálculo infinitesimal por Newton y Leibniz .

Una versión geométrica moderna del infinito viene dada por la geometría proyectiva , que introduce "puntos ideales en el infinito", uno para cada dirección espacial. Se postula que cada familia de líneas paralelas en una dirección determinada converge al punto ideal correspondiente. Esto está estrechamente relacionado con la idea de puntos de fuga en el dibujo en perspectiva .

Números complejos

La primera referencia fugaz a las raíces cuadradas de números negativos ocurrió en el trabajo del matemático e inventor Heron de Alejandría en el siglo I d.C. , cuando consideró el volumen de un tronco de pirámide imposible . Se hicieron más prominentes cuando en el siglo XVI las fórmulas cerradas para las raíces de polinomios de tercer y cuarto grado fueron descubiertas por matemáticos italianos como Niccolò Fontana Tartaglia y Gerolamo Cardano . Pronto se dio cuenta de que estas fórmulas, incluso si uno solo estaba interesado en soluciones reales, a veces requerían la manipulación de raíces cuadradas de números negativos.

Esto fue doblemente inquietante, ya que ni siquiera consideraron que los números negativos estuvieran firmes en ese momento. Cuando René Descartes acuñó el término "imaginario" para estas cantidades en 1637, lo consideró despectivo. (Ver número imaginario para una discusión de la "realidad" de los números complejos). Otra fuente de confusión fue que la ecuación

{\ Displaystyle \ left ({\ sqrt {-1}} \ right) ^ {2} = {\ sqrt {-1}} {\ sqrt {-1}} = - 1}

parecía caprichosamente inconsistente con la identidad algebraica

{\ Displaystyle {\ sqrt {a}} {\ sqrt {b}} = {\ sqrt {ab}},}

que es válida para los números reales positivos a y b , y también fue usado en cálculos con números complejos con uno de un , b positivo y el otro negativo. El uso incorrecto de esta identidad y la identidad relacionada

{\ Displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {a}}} = {\ sqrt {\ frac {1} {a}}}}

en el caso de que tanto a como b sean negativos, incluso molestaba a Euler . Esta dificultad eventualmente lo llevó a la convención de usar el símbolo especial i en lugar de para protegerse contra este error. ${\ Displaystyle {\ sqrt {-1}}}$

El siglo XVIII vio el trabajo de Abraham de Moivre y Leonhard Euler . La fórmula de De Moivre (1730) establece:

{\ Displaystyle (\ cos \ theta + i \ sin \ theta) ^ {n} = \ cos n \ theta + i \ sin n \ theta}

mientras que la fórmula de Euler de análisis complejo (1748) nos dio:

{\ Displaystyle \ cos \ theta + i \ sin \ theta = e ^ {i \ theta}.}

La existencia de números complejos no fue completamente aceptada hasta que Caspar Wessel describió la interpretación geométrica en 1799. Carl Friedrich Gauss la redescubrió y popularizó varios años después, y como resultado, la teoría de los números complejos recibió una expansión notable. La idea de la representación gráfica de los números complejos se había aparecido, sin embargo, ya en 1685, en Wallis 's De álgebra Tractatus .

También en 1799, Gauss proporcionó la primera prueba generalmente aceptada del teorema fundamental del álgebra , mostrando que cada polinomio sobre los números complejos tiene un conjunto completo de soluciones en ese ámbito. La aceptación generalizada de la teoría de los números complejos se debe a la labor de Augustin Louis Cauchy y Niels Henrik Abel , y especialmente de este último, quien fue el primero en utilizar audazmente los números complejos con un éxito bien conocido.

Gauss estudió números complejos de la forma a + bi , donde un y b son integral, o racional (y i es una de las dos raíces de x ² + 1 = 0 ). Su alumno, Gotthold Eisenstein , estudió el tipo a + bω , donde ω es una raíz compleja de x ³ - 1 = 0. Otras clases (llamadas campos ciclotómicos ) de números complejos se derivan de las raíces de la unidad x ^k - 1 = 0 para valores más altos de k . Esta generalización se debe en gran parte a Ernst Kummer , quien también inventó los números ideales , que Felix Klein expresó como entidades geométricas en 1893.

En 1850, Victor Alexandre Puiseux dio el paso clave de distinguir entre polos y ramificaciones e introdujo el concepto de puntos singulares esenciales . Esto finalmente llevó al concepto de plano complejo extendido .

números primos

Los números primos se han estudiado a lo largo de la historia registrada. Euclides dedicó un libro de los Elementos a la teoría de los números primos; en él demostró la infinitud de los números primos y el teorema fundamental de la aritmética , y presentó el algoritmo euclidiano para encontrar el máximo común divisor de dos números.

En el 240 a. C., Eratóstenes utilizó el Tamiz de Eratóstenes para aislar rápidamente los números primos. Pero la mayor parte del desarrollo posterior de la teoría de los números primos en Europa se remonta al Renacimiento y épocas posteriores.

En 1796, Adrien-Marie Legendre conjeturó el teorema de los números primos , describiendo la distribución asintótica de los números primos. Otros resultados relacionados con la distribución de los primos incluyen la prueba de Euler de que la suma de los recíprocos de los primos diverge, y la conjetura de Goldbach , que afirma que cualquier número par suficientemente grande es la suma de dos primos. Otra conjetura más relacionada con la distribución de números primos es la hipótesis de Riemann , formulada por Bernhard Riemann en 1859. El teorema de los números primos fue finalmente probado por Jacques Hadamard y Charles de la Vallée-Poussin en 1896. Las conjeturas de Goldbach y Riemann siguen sin ser probadas ni refutadas .

Clasificación principal

Los números se pueden clasificar en conjuntos , llamados sistemas numéricos , como los números naturales y los números reales . Las principales categorías de números son las siguientes:

Sistemas de números principales
${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$	Natural	0, 1, 2, 3, 4, 5, ... o 1, 2, 3, 4, 5, ... ${\ Displaystyle \ mathbb {N} _ {0}}$ o se utilizan a veces. ${\ Displaystyle \ mathbb {N} _ {1}}$
${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$	Entero	..., −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$	Racional	a/Bdonde a y b son números enteros y b no es 0
${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$	Verdadero	El límite de una secuencia convergente de números racionales
${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$	Complejo	a + bi donde a y b son números reales e i es una raíz cuadrada formal de −1

Por lo general, no hay problema en identificar cada sistema numérico con un subconjunto adecuado del siguiente (por abuso de notación ), porque cada uno de estos sistemas numéricos es canónicamente isomórfico a un subconjunto adecuado del siguiente. La jerarquía resultante permite, por ejemplo, hablar, formalmente correctamente, de números reales que son números racionales, y se expresa simbólicamente escribiendo

{\ Displaystyle \ mathbb {N} \ subconjunto \ mathbb {Z} \ subconjunto \ mathbb {Q} \ subconjunto \ mathbb {R} \ subconjunto \ mathbb {C}}

.

Números naturales

Los números naturales, comenzando con 1

Los números más familiares son los números naturales (a veces llamados números enteros o números de conteo): 1, 2, 3, etc. Tradicionalmente, la secuencia de números naturales comenzaba con 1 (0 ni siquiera se consideraba un número para los antiguos griegos ). Sin embargo, en el siglo XIX, los teóricos de conjuntos y otros matemáticos comenzaron a incluir 0 ( cardinalidad del conjunto vacío , es decir, 0 elementos, donde 0 es, por tanto, el número cardinal más pequeño ) en el conjunto de números naturales. Hoy en día, diferentes matemáticos usan el término para describir ambos conjuntos, incluido 0 o no. El símbolo matemático para el conjunto de todos los números naturales es N , también escrito , y en ocasiones o cuando es necesario indicar si el conjunto debe comenzar con 0 o 1, respectivamente. ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {N} _ {0}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {N} _ {1}}$

En el sistema numérico de base 10 , de uso casi universal hoy en día para operaciones matemáticas, los símbolos de los números naturales se escriben con diez dígitos : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. La base o la base es el número de dígitos numéricos únicos, incluido el cero, que utiliza un sistema numérico para representar números (para el sistema decimal, la base es 10). En este sistema de base 10, el dígito más a la derecha de un número natural tiene un valor posicional de 1, y cada otro dígito tiene un valor posicional diez veces mayor que el valor posicional del dígito a su derecha.

En la teoría de conjuntos , que es capaz de actuar como base axiomática de las matemáticas modernas, los números naturales se pueden representar mediante clases de conjuntos equivalentes. Por ejemplo, el número 3 se puede representar como la clase de todos los conjuntos que tienen exactamente tres elementos. Alternativamente, en Peano Aritmética , el número 3 se representa como sss0, donde s es la función "sucesora" (es decir, 3 es el tercer sucesor de 0). Son posibles muchas representaciones diferentes; todo lo que se necesita para representar formalmente 3 es inscribir un cierto símbolo o patrón de símbolos tres veces.

Enteros

El negativo de un entero positivo se define como un número que produce 0 cuando se suma al entero positivo correspondiente. Los números negativos generalmente se escriben con un signo negativo (un signo menos ). Como ejemplo, el negativo de 7 se escribe −7 y 7 + (−7) = 0 . Cuando el conjunto de los números negativos se combina con el conjunto de números naturales (incluyendo 0), el resultado se define como el conjunto de números enteros , Z también escrito . Aquí la letra Z proviene del alemán Zahl 'número'. El conjunto de números enteros forma un anillo con las operaciones de suma y multiplicación. ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$

Los números naturales forman un subconjunto de los números enteros. Como no existe un estándar común para la inclusión o no de cero en los números naturales, los números naturales sin cero se denominan comúnmente enteros positivos y los números naturales con cero se denominan enteros no negativos .