Negación - Negation

Negación
NO
Definición
Mesa de la verdad
Puerta lógica NO ANSI.svg
Formas normales
Disyuntivo
Conjuntivo
Polinomio de Zhegalkin
Celosías de correos
0-conservando no
1-conservando no
Monótono no
Afín

En la lógica , la negación , también llamado el complemento lógico , es una operación que se lleva a una proposición a otra proposición "no ", escrito , o . Se interpreta intuitivamente como verdadero cuando es falso y falso cuando es verdadero. La negación es, por tanto, una conectiva lógica unaria (de un solo argumento) . Puede aplicarse como una operación sobre nociones , proposiciones , valores de verdad o valores semánticos en general. En la lógica clásica , la negación se identifica normalmente con la función de verdad que lleva la verdad a la falsedad (y viceversa). En la lógica intuicionista , según la interpretación de Brouwer-Heyting-Kolmogorov , la negación de una proposición es la proposición cuyas pruebas son las refutaciones de .

Definición

No existe acuerdo en cuanto a la posibilidad de definir la negación, en cuanto a su estado lógico, función y significado, en cuanto a su campo de aplicabilidad, y en cuanto a la interpretación del juicio negativo (FH Heinemann 1944).

La negación clásica es una operación sobre un valor lógico , típicamente el valor de una proposición , que produce un valor de verdadero cuando su operando es falso y un valor de falso cuando su operando es verdadero. Por tanto, si el enunciado P es verdadero, entonces (pronunciado "no P") sería falso; ya la inversa, si es falso, entonces P sería verdadero.

La tabla de verdad de es la siguiente:

Cierto Falso
Falso Cierto

La negación se puede definir en términos de otras operaciones lógicas. Por ejemplo, se puede definir como (donde es consecuencia lógica y es falsedad absoluta ). A la inversa, se puede definir como para cualquier proposición Q (donde está la conjunción lógica ). La idea aquí es que cualquier contradicción es falsa, y aunque estas ideas funcionan tanto en la lógica clásica como en la intuicionista, no funcionan en la lógica paraconsistente , donde las contradicciones no son necesariamente falsas. En la lógica clásica, también obtenemos una identidad adicional, que se puede definir como , donde está la disyunción lógica .

Algebraicamente, la negación clásica corresponde a la complementación en un álgebra de Boole y la negación intuicionista a la pseudocomplementación en un álgebra de Heyting . Estas álgebras proporcionan una semántica para la lógica clásica e intuicionista, respectivamente.

Notación

La negación de una proposición p se anota de diferentes formas, en varios contextos de discusión y campos de aplicación. La siguiente tabla documenta algunas de estas variantes:

Notación Texto sin formato Vocalización
¬p No p
~ p No p
-pag No p
N p En p
pag'
pag
!pag

La notación N p es la notación Łukasiewicz .

En la teoría de conjuntos , también se utiliza para indicar 'no en el set de': es el conjunto de todos los miembros de U que no son miembros de una .

Independientemente de cómo esté anotado o simbolizado , la negación se puede leer como "no es el caso que P ", "no es P ", o normalmente más simplemente como "no P ".

Propiedades

Doble negación

Dentro de un sistema de lógica clásica , la doble negación, es decir, la negación de la negación de una proposición , es lógicamente equivalente a . Expresado en términos simbólicos, . En la lógica intuicionista , una proposición implica su doble negación, pero no a la inversa. Esto marca una diferencia importante entre la negación clásica y la intuicionista. Algebraicamente, la negación clásica se llama involución del período dos.

Sin embargo, en la lógica intuicionista , la equivalencia más débil se mantiene. Esto se debe a que en la lógica intuicionista, es solo una abreviatura de , y también lo tenemos . Redactar esa última implicación con triple negación implica eso .

Como resultado, en el caso proposicional, una oración es clásicamente demostrable si su doble negación es intuicionistamente demostrable. Este resultado se conoce como teorema de Glivenko .

Distributividad

Las leyes de De Morgan proporcionan una forma de distribuir la negación sobre la disyunción y la conjunción :

, y
.

Linealidad

Dejar que denotan la lógica XOR operación. En álgebra de Boole , una función lineal es aquella que:

Si existe , por todo .

Otra forma de expresar esto es que cada variable siempre hace una diferencia en el valor de verdad de la operación, o nunca hace una diferencia. La negación es un operador lógico lineal.

Uno mismo dual

En álgebra de Boole , una función dual propia es una función tal que:

para todos . La negación es un operador lógico dual autónomo.

Negaciones de cuantificadores

En la lógica de primer orden , hay dos cuantificadores, uno es el cuantificador universal (significa "para todos") y el otro es el cuantificador existencial (significa "existe"). La negación de un cuantificador es el otro cuantificador ( y ). Por ejemplo, con el predicado P como " x es mortal" y el dominio de x como la colección de todos los humanos, significa "una persona x en todos los humanos es mortal" o "todos los humanos son mortales". La negación de esto es , significando "existe una persona x en todos los humanos que no es mortal", o "existe alguien que vive para siempre".

Reglas de inferencia

Hay varias formas equivalentes de formular reglas para la negación. Una forma habitual de formular la negación clásica en un contexto de deducción natural es tomar como reglas primitivas de inferencia la introducción de la negación (de una derivación de a ambos e , inferir ; esta regla también se llama reductio ad absurdum ), la eliminación de la negación (de e inferir ; esta regla también se llama ex falso quodlibet ) y eliminación de la doble negación (de inferir ). Se obtienen las reglas para la negación intuicionista de la misma manera pero excluyendo la eliminación de la doble negación.

La introducción de la negación establece que si se puede sacar un absurdo como conclusión a partir de entonces , no debe ser el caso ( es decir, es falso (clásicamente) o refutable (intuicionista), etc.). La eliminación de la negación establece que cualquier cosa se sigue de un absurdo. A veces, la eliminación de la negación se formula utilizando un signo de absurdo primitivo . En este caso la regla dice que de y sigue un absurdo. Junto con la eliminación de la doble negación, se puede inferir nuestra regla originalmente formulada, a saber, que cualquier cosa se sigue de un absurdo.

Normalmente, la negación intuicionista de se define como . Entonces, la introducción y eliminación de la negación son solo casos especiales de introducción de implicaciones ( prueba condicional ) y eliminación ( modus ponens ). En este caso también hay que añadir como regla primitiva ex falso quodlibet .

Lenguaje de programación y lenguaje ordinario

Al igual que en las matemáticas, la negación se utiliza en informática para construir enunciados lógicos.

if (!(r == t))
{
    /*...statements executed when r does NOT equal t...*/
}

El signo de exclamación " !" significa NO lógico en B , C y lenguajes con una sintaxis inspirada en C, como C ++ , Java , JavaScript , Perl y PHP . " NOT" es el operador utilizado en ALGOL 60 , BASIC y lenguajes con una sintaxis inspirada en ALGOL o BASIC como Pascal , Ada , Eiffel y Seed7 . Algunos lenguajes (C ++, Perl, etc.) proporcionan más de un operador para la negación. Algunos lenguajes como PL / I y Ratfor se utilizan ¬para la negación. Algunas computadoras y sistemas operativos modernos se mostrarán ¬como !archivos codificados en ASCII . La mayoría de los lenguajes modernos permiten acortar la declaración anterior de if (!(r == t))a if (r != t), lo que a veces permite, cuando el compilador / intérprete no puede optimizarlo, programas más rápidos.

En informática también existe la negación bit a bit . Esto toma el valor dado y cambia todos los 1 binarios a 0 y 0 a 1. Ver operación bit a bit . Esto se usa a menudo para crear el complemento a uno o " ~" en C o C ++ y el complemento a dos (simplemente simplificado a " -" o el signo negativo, ya que esto es equivalente a tomar el valor aritmético negativo del número) ya que básicamente crea lo opuesto ( equivalente de valor negativo) o complemento matemático del valor (donde ambos valores se suman crean un todo).

Para obtener el valor absoluto (equivalente positivo) de un entero dado, lo siguiente funcionaría ya que " -" lo cambia de negativo a positivo (es negativo porque " x < 0" da como resultado verdadero)

unsigned int abs(int x)
{
    if (x < 0)
        return -x;
    else
        return x;
}

Para demostrar la negación lógica:

unsigned int abs(int x)
{
    if (!(x < 0))
        return x;
    else
        return -x;
}

Invertir la condición y revertir los resultados produce un código que es lógicamente equivalente al código original, es decir, tendrá resultados idénticos para cualquier entrada (tenga en cuenta que dependiendo del compilador utilizado, las instrucciones reales ejecutadas por la computadora pueden diferir).

Esta convención aparece ocasionalmente en el habla escrita ordinaria, como jerga relacionada con la computadora para decir no . Por ejemplo, la frase !votingsignifica "no votar". Otro ejemplo es la frase !clueque se utiliza como sinónimo de "sin pista" o "despistado".

Semántica de Kripke

En la semántica de Kripke, donde los valores semánticos de las fórmulas son conjuntos de mundos posibles , la negación puede interpretarse como una complementación de la teoría de conjuntos (ver también la semántica del mundo posible para más información).

Ver también

Referencias

Otras lecturas

  • Gabbay, Dov y Wansing, Heinrich, eds., 1999. ¿Qué es la negación? , Kluwer .
  • Horn, L. , 2001. Historia natural de la negación , University of Chicago Press .
  • GH von Wright , 1953-1959, "Sobre la lógica de la negación", Commentationes Physico-Mathematicae 22 .
  • Wansing, Heinrich, 2001, "Negation", en Goble, Lou, ed., The Blackwell Guide to Philosophical Logic , Blackwell .
  • Tettamanti, Marco; Manenti, Rosa; Della Rosa, Pasquale A .; Falini, Andrea; Perani, Daniela; Cappa, Stefano F .; Moro, Andrea (2008). "Negación en el cerebro: representación de la acción moduladora". NeuroImage . 43 (2): 358–367. doi : 10.1016 / j.neuroimage.2008.08.004 . PMID  18771737 . S2CID  17658822 .

enlaces externos

Tablas de verdad de cláusulas compuestas