Normalmente distribuido y no correlacionado no implica independiente - Normally distributed and uncorrelated does not imply independent

En la teoría de la probabilidad , aunque ejemplos simples ilustran que la falta de correlación lineal de dos variables aleatorias no implica en general su independencia , a veces se piensa erróneamente que sí implica que cuando las dos variables aleatorias se distribuyen normalmente . Este artículo demuestra que la suposición de distribuciones normales no tiene esa consecuencia, aunque la distribución normal multivariada , incluida la distribución normal bivariada , sí la tiene.

Decir que el par de variables aleatorias tiene un bivariados medios de distribución normal que cada combinación lineal de y para constante coeficientes (es decir, no al azar) y tiene una distribución normal univariante. En ese caso, si y no están correlacionados, entonces son independientes. Sin embargo, es posible que dos variables aleatorias y para ser tan distribuidas conjuntamente que cada uno por sí sola es marginalmente distribuye normalmente, y que no están correlacionadas, pero no son independientes; se dan ejemplos a continuación.

Ejemplos de

Un ejemplo simétrico

Dos variables distribuidas normalmente, no correlacionadas pero dependientes.
Gama conjunta de y . Más oscuro indica un valor más alto de la función de densidad.

Suponga que tiene una distribución normal con valor esperado 0 y varianza 1. Sea la distribución de Rademacher , de modo que o , cada una con probabilidad 1/2, y suponga que es independiente de . Deja . Luego

  • y no están correlacionados;
  • ambos tienen la misma distribución normal; y
  • y no son independientes.

Para ver que y no están correlacionados, uno puede considerar la covarianza : por definición, es

Entonces, por definición de las variables aleatorias , y , y la independencia de partir , uno tiene

Para ver que tiene la misma distribución normal que , considere

(ya que y ambos tienen la misma distribución normal), donde es la función de distribución acumulada de la distribución normal estándar.

Para ver eso y no ser independientes, observe eso o aquello .

Finalmente, la distribución de la simple combinación lineal concentra probabilidad positiva a 0: . Por lo tanto, la variable aleatoria no se distribuye normalmente, y así también y no son conjuntamente distribuido normalmente (por la definición anterior).

Un ejemplo asimétrico

La densidad conjunta de y . Más oscuro indica un valor más alto de la densidad.

Suponga que tiene una distribución normal con valor esperado 0 y varianza 1. Sea

donde es un número positivo que se especificará a continuación. Si es muy pequeña, entonces la correlación está cerca de si es muy grande, entonces está cerca de 1. Dado que la correlación es una función continua de , el teorema del valor intermedio implica que hay algún valor particular de que hace que la correlación sea 0. Ese valor es aproximadamente 1.54. En ese caso, ya no están correlacionados, pero claramente no son independientes, ya que determina completamente .

Para ver que se distribuye normalmente, de hecho, que su distribución es la misma que la de, se puede calcular su función de distribución acumulativa :

donde la penúltima igualdad se sigue de la simetría de la distribución de y la simetría de la condición de que .

En este ejemplo, la diferencia no está ni cerca de estar distribuida normalmente, ya que tiene una probabilidad sustancial (alrededor de 0,88) de que sea igual a 0. Por el contrario, la distribución normal, al ser una distribución continua, no tiene parte discreta, es decir, no concentra más de cero probabilidad en un solo punto. En consecuencia, y no se distribuyen normalmente de forma conjunta , aunque se distribuyen normalmente de forma separada.

Ejemplos con soporte en casi todas partes en ℝ 2

Es bien sabido que la razón de dos desviaciones aleatorias normales estándar independientes y tiene una distribución de Cauchy . Uno puede igualmente así comenzar con la variable aleatoria de Cauchy y derivar la distribución condicional de satisfacer el requisito de que con e independiente y normal estándar. Repasando las matemáticas, uno encuentra que

en la cual es una variable aleatoria de Rademacher y es una variable aleatoria de chi-cuadrado con dos grados de libertad.

Considere dos juegos de , . Tenga en cuenta que no está indexado por , es decir, se usa la misma variable aleatoria de Cauchy en la definición de ambos y . Este intercambio de resultados en dependencias entre índices: ni ni es independiente de . Sin embargo, todos los y no están correlacionados, ya que todas las distribuciones bivariadas tienen simetría de reflexión a través de los ejes.

Distribuciones conjuntas no normales con marginales normales.

La figura muestra diagramas de dispersión de muestras extraídas de la distribución anterior. Esto proporciona dos ejemplos de distribuciones bivariadas que no están correlacionadas y tienen distribuciones marginales normales pero no son independientes. El panel de la izquierda muestra la distribución conjunta de y ; la distribución tiene soporte en todas partes menos en el origen. El panel de la derecha muestra la distribución conjunta de y ; la distribución tiene soporte en todas partes excepto a lo largo de los ejes y tiene una discontinuidad en el origen: la densidad diverge cuando el origen se aproxima a lo largo de cualquier camino recto excepto a lo largo de los ejes.

Ver también

Referencias

Notas