Filtro no lineal - Nonlinear filter
En el procesamiento de señales , un filtro no lineal (o no lineal ) es un filtro cuya salida no es una función lineal de su entrada. Es decir, si el filtro da salida a las señales R y S para dos señales de entrada r y s por separado, pero no siempre de salida aR + beta S cuando la entrada es una combinación lineal aR + beta s .
Tanto los filtros de dominio continuo como los de dominio discreto pueden ser no lineales. Un ejemplo simple del primero sería un dispositivo eléctrico cuyo voltaje de salida R ( t ) en cualquier momento es el cuadrado del voltaje de entrada r ( t ); o cuál es la entrada recortada a un rango fijo [ a , b ], es decir, R ( t ) = max ( a , min ( b , r ( t ))). Un ejemplo importante de este último es el filtro de mediana continua , de modo que cada muestra de salida R i es la mediana de las últimas tres muestras de entrada r i , r i −1 , r i −2 . Al igual que los filtros lineales, los filtros no lineales pueden ser invariantes al desplazamiento o no.
Los filtros no lineales tienen muchas aplicaciones, especialmente en la eliminación de ciertos tipos de ruido que no son aditivos . Por ejemplo, el filtro de mediana se usa ampliamente para eliminar el ruido de picos , que afecta solo a un pequeño porcentaje de las muestras, posiblemente en cantidades muy grandes. De hecho, todos los receptores de radio utilizan filtros no lineales para convertir señales de kilo a gigahercios en el rango de frecuencia de audio ; y todo el procesamiento de señales digitales depende de filtros no lineales ( convertidores de analógico a digital ) para transformar las señales analógicas en números binarios .
Sin embargo, los filtros no lineales son considerablemente más difíciles de usar y diseñar que los lineales, porque las herramientas matemáticas más poderosas de análisis de señales (como la respuesta de impulso y la respuesta de frecuencia ) no se pueden usar en ellos. Así, por ejemplo, los filtros lineales se utilizan a menudo para eliminar el ruido y la distorsión creados por procesos no lineales, simplemente porque el filtro no lineal adecuado sería demasiado difícil de diseñar y construir.
De lo anterior, podemos saber que los filtros no lineales tienen un comportamiento bastante diferente en comparación con los filtros lineales. La característica más importante es que, para los filtros no lineales, la salida del filtro o la respuesta del filtro no obedece a los principios descritos anteriormente, en particular la escala y la invariancia de desplazamiento. Además, un filtro no lineal puede producir resultados que varían de una manera no intuitiva.
Sistema lineal
Varios principios definen un sistema lineal . La definición básica de linealidad es que la salida debe ser una función lineal de las entradas, es decir
para cualquier valor escalar y . Esta es una propiedad fundamental del diseño de sistemas lineales y se conoce como superposición. Entonces, se dice que un sistema no es lineal si esta ecuación no es válida. Es decir, cuando el sistema es lineal, se puede aplicar el principio de superposición. Este hecho importante es la razón por la que las técnicas de análisis de sistemas lineales se han desarrollado tan bien.
Aplicaciones
Eliminación de ruido
Las señales a menudo se corrompen durante la transmisión o el procesamiento; y un objetivo frecuente en el diseño de filtros es la restauración de la señal original, un proceso comúnmente llamado "eliminación de ruido". El tipo más simple de la corrupción es ruido aditivo, cuando la señal deseada S se agrega con una señal no deseada N que no ha conocido conexión con S . Si el ruido N tiene una descripción estadística simple, como ruido gaussiano , entonces un filtro de Kalman reducirá N y restaurará S en la medida permitida por el teorema de Shannon . En particular, si S y N no se superponen en el dominio de la frecuencia , pueden separarse completamente mediante filtros de paso de banda lineales .
Para casi cualquier otra forma de ruido, por otro lado, se necesitará algún tipo de filtro no lineal para una recuperación máxima de la señal. Para el ruido multiplicativo (que se multiplica por la señal, en lugar de agregarle), por ejemplo, puede ser suficiente convertir la entrada a una escala logarítmica , aplicar un filtro lineal y luego convertir el resultado a una escala lineal . En este ejemplo, el primer y tercer paso no son lineales.
Los filtros no lineales también pueden ser útiles cuando ciertas características "no lineales" de la señal son más importantes que el contenido general de la información. En el procesamiento de imágenes digitales , por ejemplo, se puede desear preservar la nitidez de los bordes de las siluetas de los objetos en las fotografías o la conectividad de las líneas en los dibujos escaneados. Un filtro de eliminación de ruido lineal generalmente difuminará esas características; un filtro no lineal puede dar resultados más satisfactorios (incluso si la imagen borrosa puede ser más "correcta" en el sentido teórico de la información).
Muchos filtros de eliminación de ruido no lineales operan en el dominio del tiempo. Por lo general, examinan la señal digital de entrada dentro de una ventana finita que rodea cada muestra y utilizan algún modelo de inferencia estadística (implícita o explícitamente) para estimar el valor más probable de la señal original en ese punto. El diseño de tales filtros se conoce como el problema de filtrado para un proceso estocástico en la teoría de la estimación y la teoría del control .
Los ejemplos de filtros no lineales incluyen:
Los filtros no lineales también ocupan una posición decisiva en las funciones de procesamiento de imágenes. En una canalización típica para el procesamiento de imágenes en tiempo real, es común tener muchos filtros no lineales incluidos para formar, dar forma, detectar y manipular la información de la imagen. Además, cada uno de estos tipos de filtro se puede parametrizar para que funcione de una forma en determinadas circunstancias y de otra forma en un conjunto diferente de circunstancias mediante la generación de reglas de filtro adaptativo. Los objetivos varían desde la eliminación de ruido hasta la abstracción de características. El filtrado de datos de imágenes es un proceso estándar que se utiliza en casi todos los sistemas de procesamiento de imágenes. Los filtros no lineales son las formas más utilizadas de construcción de filtros. Por ejemplo, si una imagen contiene una cantidad baja de ruido pero con una magnitud relativamente alta, entonces un filtro mediano puede ser más apropiado.
Filtrado de Kushner-Stratonovich
El problema del filtrado no lineal óptimo fue resuelto a finales de la década de 1950 y principios de la de 1960 por Ruslan L. Stratonovich y Harold J. Kushner .
La solución de Kushner-Stratonovich es una ecuación diferencial parcial estocástica . En 1969, Moshe Zakai introdujo una dinámica simplificada para la ley condicional no normalizada del filtro conocida como ecuación de Zakai . Mireille Chaleyat-Maurel y Dominique Michel han demostrado que la solución es de dimensión infinita en general y, como tal, requiere aproximaciones de dimensión finita. Estos pueden estar basados en heurísticas como el filtro Kalman extendido o los filtros de densidad asumidos descritos por Peter S. Maybeck o los filtros de proyección introducidos por Damiano Brigo , Bernard Hanzon y François Le Gland , algunas subfamilias de las cuales se muestra que coinciden con los filtros de densidad asumidos .
Filtros de transferencia de energía
Los filtros de transferencia de energía son una clase de filtros dinámicos no lineales que se pueden usar para mover energía de una manera diseñada. La energía se puede mover a bandas de frecuencia más altas o más bajas, esparcirse en un rango diseñado o enfocarse. Son posibles muchos diseños de filtros de transferencia de energía, y estos brindan grados adicionales de libertad en el diseño de filtros que simplemente no son posibles con diseños lineales.
Ver también
- Estimación de horizonte móvil
- Sistema no lineal
- Filtro de partículas
- Sección de filtro Kalman sin perfume en filtro Kalman
Referencias
Otras lecturas
- Jazwinski, Andrew H. (1970). Procesos estocásticos y teoría de filtrado . Nueva York: Academic Press. ISBN 0-12-381550-9.