n -vector - n-vector

La representación del vector n (también llamada vector normal geodésico o elipsoide normal) es una representación no singular de tres parámetros muy adecuada para reemplazar la latitud y la longitud como representación de la posición horizontal en cálculos matemáticos y algoritmos informáticos.

Geométricamente, el vector n para una posición dada en un elipsoide es el vector unitario que apunta hacia afuera que es normal en esa posición al elipsoide. Para representar posiciones horizontales en la Tierra, el elipsoide es un elipsoide de referencia y el vector se descompone en un sistema de coordenadas fijo en la Tierra centrado en la Tierra . Se comporta sin problemas en todas las posiciones de la Tierra y tiene la propiedad matemática uno a uno .

Más en general, el concepto se puede aplicar a la representación de posiciones en el límite de un subconjunto limitado estrictamente convexo del espacio euclidiano k -dimensional , siempre que ese límite sea una variedad diferenciable . En este caso general, el n -vector consta de k parámetros.

Propiedades generales

Se puede utilizar un vector normal a una superficie estrictamente convexa para definir de forma única la posición de una superficie. n -vector es un vector normal que apunta hacia afuera con una unidad de longitud utilizada como representación de posición.

Para la mayoría de las aplicaciones, la superficie es el elipsoide de referencia de la Tierra y, por lo tanto, el vector n se utiliza para representar una posición horizontal. Por lo tanto, el ángulo entre el vector n y el plano ecuatorial corresponde a la latitud geodésica , como se muestra en la figura.

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La dirección del vector n corresponde a la latitud geodésica

Una posición de superficie tiene dos grados de libertad y, por tanto, dos parámetros son suficientes para representar cualquier posición en la superficie. En el elipsoide de referencia, la latitud y la longitud son parámetros comunes para este propósito, pero como todas las representaciones de dos parámetros , tienen singularidades . Esto es similar a la orientación , que tiene tres grados de libertad, pero todas las representaciones de tres parámetros tienen singularidades. En ambos casos, las singularidades se evitan añadiendo un parámetro extra, es decir, utilizar n -vector (tres parámetros) para representar la posición horizontal y un cuaternión unitario (cuatro parámetros) para representar la orientación .

n -vector es una representación uno a uno , lo que significa que cualquier posición de la superficie corresponde a un n -vector único , y cualquier n -vector corresponde a una posición de superficie única.

Como vector 3D euclidiano , se puede utilizar el álgebra vectorial 3D estándar para los cálculos de posición, y esto hace que el vector n sea ​​adecuado para la mayoría de los cálculos de posición horizontal.

Conversión de latitud / longitud en n -vector

Con base en la definición del sistema de coordenadas ECEF , llamado e , está claro que pasar de latitud / longitud a n -vector, se logra mediante:

El superíndice e significa que n -vector se descompone en el sistema de coordenadas e (es decir, el primer componente es la proyección escalar del n -vector en el eje x de e , el segundo en el eje y de e, etc.). Tenga en cuenta que la ecuación es exacta tanto para el modelo terrestre esférico como el elipsoidal.

Conversión de n -vector a latitud / longitud

De los tres componentes de n -vector, , , y , latitud se puede encontrar mediante el uso de:

La expresión más a la derecha es la más adecuada para la implementación de programas informáticos.

La longitud se encuentra usando:

En estas expresiones deben implementarse mediante una llamada a atan2 ( y , x ). La singularidad de longitud del polo es evidente ya que atan2 (0,0) no está definida. Tenga en cuenta que las ecuaciones son exactas para el modelo terrestre esférico y elipsoidal.

Ejemplo: gran distancia circular

Encontrar la distancia del gran círculo entre dos posiciones horizontales (suponiendo que la Tierra sea esférica) generalmente se hace por medio de la latitud y la longitud. Son comunes tres expresiones diferentes para esta distancia; el primero se basa en arccos , el segundo se basa en arcsin y el final se basa en arctan . Las expresiones, que son sucesivamente más complejas para evitar inestabilidades numéricas , no son fáciles de encontrar y, dado que se basan en la latitud y la longitud, las singularidades de los polos pueden convertirse en un problema. También contienen deltas de latitud y longitud, que en general deben usarse con cuidado cerca del meridiano ± 180 ° y los polos.

Resolver el mismo problema usando n -vector es más simple debido a la posibilidad de usar álgebra vectorial . La expresión de arccos se logra a partir del producto escalar , mientras que la magnitud del producto cruzado da la expresión de arcsin. La combinación de los dos da la expresión arctan:

donde y son los n -vectors que representan las dos posiciones una y b . es la diferencia angular y, por lo tanto, la distancia del círculo máximo se logra multiplicando por el radio de la Tierra. Esta expresión también funciona en los polos y en el meridiano ± 180 °.

Hay varios otros ejemplos en los que el uso del álgebra vectorial simplifica los problemas estándar. Para obtener una comparación general de las distintas representaciones, consulte la página de representaciones de posición horizontal .

Ver también

Referencias

enlaces externos