Movimiento (geometría) - Motion (geometry)

Un reflejo de deslizamiento es un tipo de movimiento euclidiano.

En geometría , un movimiento es una isometría de un espacio métrico . Por ejemplo, un plano equipado con la métrica de distancia euclidiana es un espacio métrico en el que un mapeo que asocia figuras congruentes es un movimiento. De manera más general, el término movimiento es sinónimo de isometría sobreyectiva en geometría métrica, incluida la geometría elíptica y la geometría hiperbólica . En el último caso, los movimientos hiperbólicos proporcionan una aproximación al tema para principiantes.

Los movimientos se pueden dividir en movimientos directos e indirectos. Los movimientos directos, adecuados o rígidos son movimientos como traslaciones y rotaciones que conservan la orientación de una forma quiral . Los movimientos indirectos o impropios son movimientos como reflejos , reflejos de deslizamiento y rotaciones incorrectas que invierten la orientación de una forma quiral . Algunos geómetras definen el movimiento de tal manera que solo los movimientos directos son movimientos.

En geometría diferencial

En geometría diferencial , un difeomorfismo se denomina movimiento si induce una isometría entre el espacio tangente en un punto múltiple y el espacio tangente en la imagen de ese punto.

Grupo de mociones

Dada una geometría, el conjunto de movimientos forma un grupo bajo la composición de asignaciones. Este grupo de movimientos se destaca por sus propiedades. Por ejemplo, el grupo euclidiano se destaca por el subgrupo normal de traducciones . En el plano, un movimiento euclidiano directo es una traslación o una rotación , mientras que en el espacio todo movimiento euclidiano directo puede expresarse como un desplazamiento de tornillo según el teorema de Chasles . Cuando el espacio subyacente es una variedad de Riemann , el grupo de movimientos es un grupo de Lie . Además, la variedad tiene una curvatura constante si y solo si, para cada par de puntos y cada isometría, hay un movimiento que lleva de un punto al otro para el cual el movimiento induce la isometría.

La idea de un grupo de movimientos para la relatividad especial se ha propuesto como movimientos de Lorentz. Por ejemplo, se establecieron ideas fundamentales para un plano caracterizado por la forma cuadrática en American Mathematical Monthly . Sergei Novikov describió los movimientos del espacio de Minkowski en 2006:

El principio físico de la velocidad constante de la luz se expresa mediante el requisito de que el cambio de un marco inercial a otro esté determinado por un movimiento del espacio de Minkowski, es decir, por una transformación
preservando los intervalos espacio-temporales. Esto significa que
para cada par de puntos x y y en R 1,3 .

Historia

Alhazen (965 a 1039) dio una apreciación temprana del papel del movimiento en la geometría . Su obra "El espacio y su naturaleza" utiliza comparaciones de las dimensiones de un cuerpo móvil para cuantificar el vacío del espacio imaginario.

En el siglo XIX, Felix Klein se convirtió en un defensor de la teoría de grupos como un medio para clasificar las geometrías según sus "grupos de movimientos". Propuso utilizar grupos de simetría en su programa Erlangen , sugerencia que fue ampliamente adoptada. Señaló que toda congruencia euclidiana es un mapeo afín , y cada uno de ellos es una transformación proyectiva ; por tanto, el grupo de proyectividades contiene el grupo de mapas afines, que a su vez contiene el grupo de congruencias euclidianas. El término movimiento , más corto que transformación , pone más énfasis en los adjetivos: proyectivo, afín, euclidiano. El contexto se amplió así, tanto que "En topología , los movimientos permitidos son deformaciones continuas invertibles que podrían denominarse movimientos elásticos".

La ciencia de la cinemática se dedica a convertir el movimiento físico en expresión como transformación matemática. Con frecuencia, la transformación se puede escribir usando álgebra vectorial y mapeo lineal. Un ejemplo simple es un turno escrito como una multiplicación de números complejos : donde . La rotación en el espacio se logra mediante el uso de cuaterniones y las transformaciones de Lorentz del espacio-tiempo mediante el uso de biquaternions . A principios del siglo XX, se examinaron los sistemas numéricos hipercomplejos . Más tarde, sus grupos de automorfismos dieron lugar a grupos excepcionales como G2 .

En la década de 1890, los lógicos reducían las nociones primitivas de geometría sintética al mínimo absoluto. Giuseppe Peano y Mario Pieri usaron la expresión movimiento para la congruencia de pares de puntos. Alessandro Padoa celebró la reducción de las nociones primitivas al simple punto y movimiento en su informe al Congreso Internacional de Filosofía de 1900 . Fue en este congreso que Bertrand Russell fue expuesto a la lógica continental a través de Peano. En su libro Principles of Mathematics (1903), Russell consideró un movimiento como una isometría euclidiana que conserva la orientación .

En 1914, DMY Sommerville utilizó la idea de un movimiento geométrico para establecer la idea de distancia en la geometría hiperbólica cuando escribió Elementos de geometría no euclidiana . El explica:

Por movimiento o desplazamiento en sentido general no se entiende un cambio de posición de un solo punto o cualquier figura acotada, sino un desplazamiento de todo el espacio o, si se trata de dos dimensiones, de todo el plano. Un movimiento es una transformación que cambia cada punto P en otro punto P ′ de tal manera que las distancias y los ángulos no cambian.

Axiomas de movimiento

László Rédei da como axiomas de movimiento:

  1. Cualquier movimiento es un mapeo uno a uno del espacio R sobre sí mismo, de modo que cada tres puntos en una línea se transformarán en (tres) puntos en una línea.
  2. El mapeo idéntico del espacio R es un movimiento.
  3. El producto de dos movimientos es un movimiento.
  4. El mapeo inverso de un movimiento es un movimiento.
  5. Si tenemos dos planos A, A 'dos ​​líneas g, g' y dos puntos P, P 'tales que P está en g, g está en A, P' está en g 'y g' está en A 'entonces existen un mapeo de movimiento de A a A ', g a g' y P a P '
  6. Hay un plano A, una recta gy un punto P tal que P está en gyg está en A, entonces existen cuatro movimientos que mapean A, gy P sobre sí mismos, respectivamente, y no más de dos de estos movimientos pueden tener cada punto de g como un punto fijo, mientras que hay uno de ellos (es decir, la identidad) para el cual todos los puntos de A son fijos.
  7. Existen tres puntos A, B, P en la línea g tales que P está entre A y B y para cada punto C (P desigual) entre A y B hay un punto D entre C y P para el cual no hay movimiento con P como fijo se puede encontrar un punto que mapeará C en un punto que se encuentra entre D y P.

Los axiomas 2 a 4 implican que los movimientos forman un grupo

Axioma 5 de que hay un movimiento que asigna cada línea a cada línea

notas y referencias

enlaces externos