Desigualdad de Minkowski - Minkowski inequality

En análisis matemático , la desigualdad de Minkowski establece que los espacios L ^p son espacios vectoriales normativos . Deje que S sea un espacio de medida , deja 1 ≤ p <∞ y dejar que f y g sea elementos de L ^p ( S ). Entonces f + g está en L ^p ( S ), y tenemos la desigualdad del triángulo

{\ Displaystyle \ | f + g \ | _ {p} \ leq \ | f \ | _ {p} + \ | g \ | _ {p}}

con igualdad para 1 < p <∞ si y solo si f y g son positivamente dependientes linealmente , es decir, f = λg para algún λ ≥ 0 o g = 0 . Aquí, la norma viene dada por:

{\ Displaystyle \ | f \ | _ {p} = \ left (\ int | f | ^ {p} d \ mu \ right) ^ {\ frac {1} {p}}}

si p <∞, o en el caso p = ∞ por el supremo esencial

{\ Displaystyle \ | f \ | _ {\ infty} = \ operatorname {ess \ sup} _ {x \ in S} | f (x) |.}

La desigualdad de Minkowski es la desigualdad del triángulo en L ^p ( S ). De hecho, es un caso especial del hecho más general

{\ Displaystyle \ | f \ | _ {p} = \ sup _ {\ | g \ | _ {q} = 1} \ int | fg | d \ mu, \ qquad {\ tfrac {1} {p}} + {\ tfrac {1} {q}} = 1}

donde es fácil ver que el lado derecho satisface la desigualdad triangular.

Al igual que la desigualdad de Hölder , la desigualdad de Minkowski se puede especializar en secuencias y vectores mediante el uso de la medida de conteo :

{\ Displaystyle {\ biggl (} \ sum _ {k = 1} ^ {n} | x_ {k} + y_ {k} | ^ {p} {\ biggr)} ^ {1 / p} \ leq {\ biggl (} \ sum _ {k = 1} ^ {n} | x_ {k} | ^ {p} {\ biggr)} ^ {1 / p} + {\ biggl (} \ sum _ {k = 1} ^ {n} | y_ {k} | ^ {p} {\ biggr)} ^ {1 / p}}

para todos los números reales (o complejos ) x ₁ , ..., x _n , y ₁ , ..., y _n y donde n es la cardinalidad de S (el número de elementos en S ).

La desigualdad lleva el nombre del matemático alemán Hermann Minkowski .

Prueba

Primero, probamos que f + g tiene una p -norm finita si f y g la tienen, lo que sigue por

{\ Displaystyle | f + g | ^ {p} \ leq 2 ^ {p-1} (| f | ^ {p} + | g | ^ {p}).}

De hecho, aquí usamos el hecho de que es convexo sobre $R$ $+$ (para $p$ $> 1$ ) y, por lo tanto, según la definición de convexidad, ${\ Displaystyle h (x) = x ^ {p}}$

{\ Displaystyle \ left | {\ tfrac {1} {2}} f + {\ tfrac {1} {2}} g \ right | ^ {p} \ leq \ left | {\ tfrac {1} {2}} | f | + {\ tfrac {1} {2}} | g | \ right | ^ {p} \ leq {\ tfrac {1} {2}} | f | ^ {p} + {\ tfrac {1} {2}} | g | ^ {p}.}

Esto significa que

{\ Displaystyle | f + g | ^ {p} \ leq {\ tfrac {1} {2}} | 2f | ^ {p} + {\ tfrac {1} {2}} | 2g | ^ {p} = 2 ^ {p-1} | f | ^ {p} + 2 ^ {p-1} | g | ^ {p}.}

Ahora, podemos hablar legítimamente . Si es cero, entonces se mantiene la desigualdad de Minkowski. Ahora asumimos que no es cero. Usando la desigualdad del triángulo y luego la desigualdad de Hölder , encontramos que ${\ Displaystyle \ | f + g \ | _ {p}}$ ${\ Displaystyle \ | f + g \ | _ {p}}$

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ | f + g \ | _ {p} ^ {p} & = \ int | f + g | ^ {p} \, \ mathrm {d} \ mu \\ & = \ int | f + g | \ cdot | f + g | ^ {p-1} \, \ mathrm {d} \ mu \\ & \ leq \ int (| f | + | g |) | f + g | ^ {p-1} \, \ mathrm {d} \ mu \\ & = \ int | f || f + g | ^ {p-1} \, \ mathrm {d} \ mu + \ int | g | | f + g | ^ {p-1} \, \ mathrm {d} \ mu \\ & \ leq \ left (\ left (\ int | f | ^ {p} \, \ mathrm {d} \ mu \ derecha) ^ {\ frac {1} {p}} + \ left (\ int | g | ^ {p} \, \ mathrm {d} \ mu \ right) ^ {\ frac {1} {p}} \ derecha) \ left (\ int | f + g | ^ {(p-1) \ left ({\ frac {p} {p-1}} \ right)} \, \ mathrm {d} \ mu \ right) ^ {1 - {\ frac {1} {p}}} && {\ text {desigualdad de Hölder}} \\ & = \ left (\ | f \ | _ {p} + \ | g \ | _ {p} \ right) {\ frac {\ | f + g \ | _ {p} ^ {p}} {\ | f + g \ | _ {p}}} \ end {alineado}}}

Obtenemos la desigualdad de Minkowski multiplicando ambos lados por

{\ Displaystyle {\ frac {\ | f + g \ | _ {p}} {\ | f + g \ | _ {p} ^ {p}}}.}

Desigualdad integral de Minkowski

Suponga que ( S ₁ , μ ₁ ) y ( S ₂ , μ ₂ ) son dos espacios de medida σ- finitos y F: S ₁ × S ₂ → R es medible. Entonces, la desigualdad integral de Minkowski es ( Stein 1970 , §A.1), ( Hardy, Littlewood & Pólya 1988 , Teorema 202) :

{\ Displaystyle \ left [\ int _ {S_ {2}} \ left | \ int _ {S_ {1}} F (x, y) \, \ mu _ {1} (\ mathrm {d} x) \ derecha | ^ {p} \ mu _ {2} (\ mathrm {d} y) \ derecha] ^ {\ frac {1} {p}} \ leq \ int _ {S_ {1}} \ left (\ int _ {S_ {2}} | F (x, y) | ^ {p} \, \ mu _ {2} (\ mathrm {d} y) \ right) ^ {\ frac {1} {p}} \ mu _ {1} (\ mathrm {d} x),}

con modificaciones obvias en el caso p = ∞ . Si p > 1 , y ambos lados son finitos, entonces la igualdad sólo se cumple si | F ( x , y ) | = φ ( x ) ψ ( y ) ae para algunas funciones medibles no negativas φ y ψ .

Si μ ₁ es la medida de conteo en un conjunto de dos puntos S ₁ = {1,2}, entonces la desigualdad integral de Minkowski da la desigualdad de Minkowski habitual como un caso especial: para poner f _i ( y ) = F ( i , y ) para i = 1, 2 , la desigualdad integral da

{\ Displaystyle \ | f_ {1} + f_ {2} \ | _ {p} = \ left (\ int _ {S_ {2}} \ left | \ int _ {S_ {1}} F (x, y ) \, \ mu _ {1} (\ mathrm {d} x) \ right | ^ {p} \ mu _ {2} (\ mathrm {d} y) \ right) ^ {\ frac {1} {p }} \ leq \ int _ {S_ {1}} \ left (\ int _ {S_ {2}} | F (x, y) | ^ {p} \, \ mu _ {2} (\ mathrm {d } y) \ derecha) ^ {\ frac {1} {p}} \ mu _ {1} (\ mathrm {d} x) = \ | f_ {1} \ | _ {p} + \ | f_ {2 } \ | _ {p}.}

Esta notación se ha generalizado a

{\ Displaystyle \ | f \ | _ {p, q} = \ left (\ int _ {\ mathbb {R} ^ {m}} \ left [\ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} | f (x, y) | ^ {q} \ mathrm {d} y \ right] ^ {\ frac {p} {q}} \ mathrm {d} x \ right) ^ {\ frac {1} {p} }}

para , con . Usando esta notación, la manipulación de los exponentes revela que, si , entonces . ${\ Displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {m + n} \ to E}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {p, q} (\ mathbb {R} ^ {m + n}, E) = \ {f \ in E ^ {\ mathbb {R} ^ {m + n }}: \ | f \ | _ {p, q} <\ infty \}}$ ${\ Displaystyle p> q}$ ${\ Displaystyle \ | f \ | _ {p, q} \ leq \ | f \ | _ {q, p}}$

Desigualdad inversa

Cuando se cumple la desigualdad inversa: ${\ Displaystyle p <1}$

{\ Displaystyle \ | f + g \ | _ {p} \ geq \ | f \ | _ {p} + \ | g \ | _ {p}}

Necesitamos aún más la restricción de que tanto y no son negativos, como podemos ver en el ejemplo y : . ${\ Displaystyle f}$ ${\ Displaystyle g}$ ${\ Displaystyle f = -1, g = 1}$ ${\ Displaystyle p = 1}$ ${\ Displaystyle \ | f + g \ | _ {1} = 0 <2 = \ | f \ | _ {1} + \ | g \ | _ {1}}$

La desigualdad inversa se deriva del mismo argumento que el Minkowski estándar, pero utiliza que la desigualdad de Holder también se invierte en este rango. Véase también el capítulo sobre Desigualdad de Minkowski en.

Usando el Minkowski inverso, podemos probar que las medias de potencia con , como la Media Armónica y la Media Geométrica son cóncavas. ${\ Displaystyle p \ leq 1}$

Generalizaciones a otras funciones

La desigualdad de Minkowski se puede generalizar a otras funciones más allá de la función de potencia . La desigualdad generalizada tiene la forma ${\ Displaystyle \ phi (x)}$ ${\ Displaystyle x ^ {p}}$

{\ Displaystyle \ phi ^ {- 1} (\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ phi (x_ {i} + y_ {i})) \ leq \ phi ^ {- 1} (\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ phi (x_ {i})) + \ phi ^ {- 1} (\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ phi (y_ {i}))}

Mulholland y otros han encontrado varias condiciones suficientes en . Por ejemplo, para un conjunto de condiciones suficientes de Mulholland es ${\ Displaystyle \ phi}$ ${\ Displaystyle x \ geq 0}$

${\ Displaystyle \ phi (x)}$ es continuo y estrictamente creciente con . ${\ Displaystyle \ phi (0) = 0}$
${\ Displaystyle \ phi (x)}$ es una función convexa de . ${\ Displaystyle x}$
${\ Displaystyle \ log \ phi (x)}$ es una función convexa de . ${\ Displaystyle \ log (x)}$

Ver también

Referencias

Hardy, GH ; Littlewood, JE ; Pólya, G. (1952). Desigualdades . Biblioteca matemática de Cambridge (segunda ed.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-35880-9.
Minkowski, H. (1953). "Geometrie der Zahlen". Chelsea. Cite journal requiere |journal=( ayuda ).
Stein, Elias (1970). "Integrales singulares y propiedades de diferenciación de funciones". Prensa de la Universidad de Princeton. Cite journal requiere |journal=( ayuda ).
MI Voitsekhovskii (2001) [1994], "Desigualdad de Minkowski" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
Lohwater, Arthur J. (1982). "Introducción a las Desigualdades" .

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