Min-entropía - Min-entropy

La minientropía , en la teoría de la información , es la más pequeña de la familia de entropías Rényi , y corresponde a la forma más conservadora de medir la imprevisibilidad de un conjunto de resultados, como el logaritmo negativo de la probabilidad del resultado más probable . Las diversas entropías de Rényi son todas iguales para una distribución uniforme, pero miden la imprevisibilidad de una distribución no uniforme de diferentes maneras. La mínima entropía nunca es mayor que la ordinaria o la entropía de Shannon (que mide la impredecibilidad promedio de los resultados) y que a su vez nunca es mayor que la Hartley o la máxima entropía , definida como el logaritmo del número de resultados con probabilidad distinta de cero. .

Al igual que con la entropía clásica de Shannon y su generalización cuántica, la entropía de von Neumann , se puede definir una versión condicional de min-entropía. La minientropía cuántica condicional es un análogo único, o conservador, de la entropía cuántica condicional .

Para interpretar una medida de información condicional, suponga que Alice y Bob compartieran un estado cuántico bipartito . Alice tiene acceso al sistema y Bob al sistema . La entropía condicional mide la incertidumbre promedio que Bob tiene sobre el estado de Alice al tomar muestras de su propio sistema. La minientropía se puede interpretar como la distancia entre un estado y un estado entrelazado al máximo. ${\ Displaystyle \ rho _ {AB}}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$

Este concepto es útil en criptografía cuántica, en el contexto de la amplificación de la privacidad (ver por ejemplo).

Definiciones

Definición: Sea un operador de densidad bipartito en el espacio . La min-entropía de condicionado se define como ${\ Displaystyle \ rho _ {AB}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {H}} _ {A} \ otimes {\ mathcal {H}} _ {B}}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$

${\ Displaystyle H _ {\ min} (A | B) _ {\ rho} \ equiv - \ inf _ {\ sigma _ {B}} D _ {\ max} (\ rho _ {AB} \ | I_ {A} \ otimes \ sigma _ {B})}$

donde el mínimo se extiende a todos los operadores de densidad en el espacio . La medida es la máxima entropía relativa definida como ${\ Displaystyle \ sigma _ {B}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {H}} _ {B}}$${\ Displaystyle D _ {\ max}}$

${\ Displaystyle D _ {\ max} (\ rho \ | \ sigma) = \ inf _ {\ lambda} \ {\ lambda: \ rho \ leq 2 ^ {\ lambda} \ sigma \}}$

La mínima entropía suave se define en términos de la mínima entropía.

${\ Displaystyle H _ {\ min} ^ {\ epsilon} (A | B) _ {\ rho} = \ sup _ {\ rho '} H _ {\ min} (A | B) _ {\ rho'}}$

donde sup e inf varían por encima de los operadores de densidad que están cerca de . Esta medida de -close se define en términos de la distancia purificada ${\ Displaystyle \ rho '_ {AB}}$${\ Displaystyle \ epsilon}$${\ Displaystyle \ rho _ {AB}}$${\ Displaystyle \ epsilon}$

${\ Displaystyle P (\ rho, \ sigma) = {\ sqrt {1-F (\ rho, \ sigma) ^ {2}}}}$

donde esta la medida de fidelidad . ${\ Displaystyle F (\ rho, \ sigma)}$

Estas cantidades pueden verse como generalizaciones de la entropía de von Neumann . De hecho, la entropía de von Neumann se puede expresar como

${\ displaystyle S (A | B) _ {\ rho} = \ lim _ {\ epsilon \ rightarrow 0} \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {1} {n}} H _ {\ min} ^ {\ epsilon} (A ^ {n} | B ^ {n}) _ {\ rho ^ {\ otimes n}} ~.}$

Esto se denomina teorema de equipartición totalmente asintótica cuántica. Las entropías suavizadas comparten muchas propiedades interesantes con la entropía de von Neumann. Por ejemplo, la minientropía suave satisface una desigualdad de procesamiento de datos:

${\ Displaystyle H _ {\ min} ^ {\ epsilon} (A | B) _ {\ rho} \ geq H _ {\ min} ^ {\ epsilon} (A | BC) _ {\ rho} ~.}$

Interpretación operativa de la minentropía suavizada

De ahora en adelante, eliminaremos el subíndice de la min-entropía cuando sea obvio por el contexto en qué estado se evalúa. ${\ Displaystyle \ rho}$

La mínima entropía como incertidumbre sobre la información clásica

Supongamos que un agente tiene acceso a un sistema cuántico cuyo estado depende de alguna variable clásica . Además, suponga que cada uno de sus elementos se distribuye según alguna distribución . Esto se puede describir mediante el siguiente estado del sistema . ${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle \ rho _ {B} ^ {x}}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle P_ {X} (x)}$${\ Displaystyle XB}$

${\ Displaystyle \ rho _ {XB} = \ sum _ {x} P_ {X} (x) | x \ rangle \ langle x | \ otimes \ rho _ {B} ^ {x},}$

donde forman una base ortonormal. Nos gustaría saber qué puede aprender el agente sobre la variable clásica . Sea la probabilidad de que el agente adivine cuando utiliza una estrategia de medición óptima ${\ Displaystyle \ {| x \ rangle \}}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle p_ {g} (X | B)}$${\ Displaystyle X}$

${\ Displaystyle p_ {g} (X | B) = \ sum _ {x} P_ {X} (x) tr (E_ {x} \ rho _ {B} ^ {x}),}$

donde es el POVM que maximiza esta expresión. Se puede demostrar que este óptimo se puede expresar en términos de min-entropía como ${\ Displaystyle E_ {x}}$

${\ Displaystyle p_ {g} (X | B) = 2 ^ {- H _ {\ min} (X | B)} ~.}$

Si el estado es un estado de producto, es decir, para algunos operadores de densidad y , entonces no hay correlación entre los sistemas y . En este caso, resulta que${\ Displaystyle \ rho _ {XB}}$${\ Displaystyle \ rho _ {XB} = \ sigma _ {X} \ otimes \ tau _ {B}}$${\ Displaystyle \ sigma _ {X}}$${\ Displaystyle \ tau _ {B}}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle 2 ^ {- H _ {\ min} (X | B)} = \ max _ {x} P_ {X} (x) ~.}$

Min-entropía como distancia desde el estado de máxima enredo

El estado máximamente entrelazado en un sistema bipartito se define como ${\ Displaystyle | \ phi ^ {+} \ rangle}$${\ Displaystyle {\ mathcal {H}} _ {A} \ otimes {\ mathcal {H}} _ {B}}$

${\ Displaystyle | \ phi ^ {+} \ rangle _ {AB} = {\ frac {1} {\ sqrt {d}}} \ sum _ {x_ {A}, x_ {B}} | x_ {A} \ rangle | x_ {B} \ rangle}$

donde y forman una base ortonormal para los espacios y respectivamente. Para un estado cuántico bipartito , definimos el solapamiento máximo con el estado entrelazado máximo como ${\ Displaystyle \ {| x_ {A} \ rangle \}}$${\ Displaystyle \ {| x_ {B} \ rangle \}}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle \ rho _ {AB}}$

${\ Displaystyle q_ {c} (A | B) = d_ {A} \ max _ {\ mathcal {E}} F \ left ((I_ {A} \ otimes {\ mathcal {E}}) \ rho _ { AB}, | \ phi ^ {+} \ rangle \ langle \ phi ^ {+} | \ right) ^ {2}}$

donde el máximo es sobre todas las operaciones CPTP y es la dimensión del subsistema . Esta es una medida de cuán correlacionado está el estado . Se puede demostrar eso . Si la información contenida en es clásica, esto se reduce a la expresión anterior para la probabilidad de adivinar. ${\ Displaystyle {\ mathcal {E}}}$${\ Displaystyle d_ {A}}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle \ rho _ {AB}}$${\ Displaystyle q_ {c} (A | B) = 2 ^ {- H _ {\ min} (A | B)}}$${\ Displaystyle A}$

Prueba de caracterización operativa de min-entropía

La prueba es de un artículo de König, Schaffner, Renner en 2008. Se trata de la maquinaria de programas semidefinidos . Supongamos que se nos da algún operador de densidad bipartito . De la definición de la min-entropía, tenemos ${\ Displaystyle \ rho _ {AB}}$

${\ Displaystyle H _ {\ min} (A | B) = - \ inf _ {\ sigma _ {B}} \ inf _ {\ lambda} \ {\ lambda | \ rho _ {AB} \ leq 2 ^ {\ lambda} (I_ {A} \ otimes \ sigma _ {B}) \} ~.}$

Esto se puede reescribir como

${\ Displaystyle - \ log \ inf _ {\ sigma _ {B}} \ operatorname {Tr} (\ sigma _ {B})}$

sujeto a las condiciones

${\ Displaystyle \ sigma _ {B} \ geq 0}$

${\ Displaystyle I_ {A} \ a veces \ sigma _ {B} \ geq \ rho _ {AB} ~.}$

Notamos que el infimum se toma sobre conjuntos compactos y, por lo tanto, se puede reemplazar por un mínimo. Esto puede entonces expresarse de forma sucinta como un programa semidefinido. Considere el problema primario

${\ Displaystyle {\ text {min:}} \ operatorname {Tr} (\ sigma _ {B})}$

${\ Displaystyle {\ text {sujeto a:}} I_ {A} \ otimes \ sigma _ {B} \ geq \ rho _ {AB}}$

${\ Displaystyle \ sigma _ {B} \ geq 0 ~.}$

Este problema primario también puede ser especificado completamente por las matrices donde es el adjunto de la traza parcial . La acción de los operadores en se puede escribir como ${\ Displaystyle (\ rho _ {AB}, I_ {B}, \ operatorname {Tr} ^ {*})}$${\ Displaystyle \ operatorname {Tr} ^ {*}}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle \ operatorname {Tr} ^ {*}}$${\ Displaystyle B}$

${\ Displaystyle \ operatorname {Tr} ^ {*} (X) = I_ {A} \ otimes X ~.}$

Podemos expresar el problema dual como una maximización de los operadores en el espacio como ${\ Displaystyle E_ {AB}}$${\ Displaystyle AB}$

${\ Displaystyle {\ text {max:}} \ operatorname {Tr} (\ rho _ {AB} E_ {AB})}$

${\ Displaystyle {\ text {sujeto a:}} \ operatorname {Tr} _ {A} (E_ {AB}) = I_ {B}}$

${\ Displaystyle E_ {AB} \ geq 0 ~.}$

Usando el isomorfismo Choi-Jamiołkowski , podemos definir el canal de tal manera que ${\ Displaystyle {\ mathcal {E}}}$

${\ Displaystyle d_ {A} I_ {A} \ otimes {\ mathcal {E}} ^ {\ dagger} (| \ phi ^ {+} \ rangle \ langle \ phi ^ {+} |) = E_ {AB} }$

donde el estado de campana se define sobre el espacio . Esto significa que podemos expresar la función objetiva del problema dual como ${\ displaystyle AA '}$

${\ Displaystyle \ langle \ rho _ {AB}, E_ {AB} \ rangle = d_ {A} \ langle \ rho _ {AB}, I_ {A} \ otimes {\ mathcal {E}} ^ {\ dagger} (| \ phi ^ {+} \ rangle \ langle \ phi ^ {+} |) \ rangle}$

${\ Displaystyle = d_ {A} \ langle I_ {A} \ otimes {\ mathcal {E}} (\ rho _ {AB}), | \ phi ^ {+} \ rangle \ langle \ phi ^ {+} | ) \ rangle}$

como se desee.

Observe que en el caso de que el sistema sea ​​un estado parcialmente clásico como el anterior, entonces la cantidad que buscamos se reduce a ${\ Displaystyle A}$

${\ Displaystyle \ max P_ {X} (x) \ langle x | {\ mathcal {E}} (\ rho _ {B} ^ {x}) | x \ rangle ~.}$

Podemos interpretarlo como una estrategia de adivinanzas y esto luego se reduce a la interpretación dada anteriormente donde un adversario quiere encontrar la cadena al que se le dio acceso a la información cuántica a través del sistema . ${\ Displaystyle {\ mathcal {E}}}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle B}$

Ver también

• entropía de von Neumann
• Entropía relativa generalizada
• entropía máxima

Referencias