Teoremas de Mertens - Mertens' theorems

En teoría de números , los teoremas de Mertens son tres resultados de 1874 relacionados con la densidad de números primos demostrados por Franz Mertens . El "teorema de Mertens" también puede referirse a su teorema en análisis .

Teoremas

En lo siguiente, supongamos que todos los números primos no superan n . ${\ Displaystyle p \ leq n}$

Primer teorema de Mertens :

{\ Displaystyle \ sum _ {p \ leq n} {\ frac {\ ln p} {p}} - \ ln n}

no excede de 2 en valor absoluto para ninguno . ( A083343 ) ${\ Displaystyle n \ geq 2}$

Segundo teorema de Mertens :

{\ Displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ left (\ sum _ {p \ leq n} {\ frac {1} {p}} - \ ln \ ln nM \ right) = 0,}

donde M es la constante de Meissel-Mertens ( A077761 ). Más precisamente, Mertens demuestra que la expresión por debajo del límite no excede en valor absoluto

{\ Displaystyle {\ frac {4} {\ ln (n + 1)}} + {\ frac {2} {n \ ln n}}}

para cualquiera . ${\ Displaystyle n \ geq 2}$

Tercer teorema de Mertens :

{\ Displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ ln n \ prod _ {p \ leq n} \ left (1 - {\ frac {1} {p}} \ right) = e ^ {- \ gamma },}

donde γ es la constante de Euler-Mascheroni ( A001620 ).

Cambios de signo

En un artículo sobre la tasa de crecimiento de la función de suma de divisores publicado en 1983, Guy Robin demostró que en el segundo teorema de Mertens la diferencia

{\ Displaystyle \ sum _ {p \ leq n} {\ frac {1} {p}} - \ ln \ ln nM}

cambia de signo infinitamente a menudo, y que en el tercer teorema de Mertens la diferencia

{\ Displaystyle \ ln n \ prod _ {p \ leq n} \ left (1 - {\ frac {1} {p}} \ right) -e ^ {- \ gamma}}

cambia de signo infinitamente a menudo. Resultados de Robin son análogos a Littlewood 's famoso teorema que la diferencia π ( x ) - li ( x ) cambia de signo infinito de veces. No se conoce ningún análogo del número de Skewes (un límite superior en el primer número natural x para el cual π ( x )> li ( x )) en el caso de los teoremas segundo y tercero de Mertens.

El segundo teorema de Mertens y el teorema de los números primos

Con respecto a esta fórmula asintótica, Mertens se refiere en su artículo a "dos fórmulas curiosas de Legendre", siendo la primera el prototipo del segundo teorema de Mertens (y el segundo es el prototipo del tercer teorema de Mertens: ver las primeras líneas del artículo). Recuerda que está contenido en la tercera edición de Legendre de su "Théorie des nombres" (1830; de hecho, ya se menciona en la segunda edición, 1808), y también que Chebyshev probó una versión más elaborada en 1851. Nótese que Ya en 1737, Euler conocía el comportamiento asintótico de esta suma.

Mertens describe diplomáticamente su prueba como más precisa y rigurosa. En realidad, ninguna de las demostraciones anteriores es aceptable según los estándares modernos: los cálculos de Euler involucran el infinito (¡y el logaritmo hiperbólico del infinito, y el logaritmo del logaritmo del infinito!); El argumento de Legendre es heurístico; y la demostración de Chebyshev, aunque perfectamente sólida, hace uso de la conjetura de Legendre-Gauss, que no se demostró hasta 1896 y se hizo más conocida como el teorema de los números primos .

La prueba de Mertens no apela a ninguna hipótesis no probada (en 1874), y solo al análisis real elemental. Viene 22 años antes de la primera demostración del teorema de los números primos que, por el contrario, se basa en un análisis cuidadoso del comportamiento de la función zeta de Riemann como función de una variable compleja. La prueba de Mertens es notable en ese sentido. De hecho, con la notación moderna produce

{\ Displaystyle \ sum _ {p \ leq x} {\ frac {1} {p}} = \ log \ log x + M + O (1 / \ log x)}

mientras que el teorema de los números primos (en su forma más simple, sin estimación de error), puede demostrarse que es equivalente a

{\ Displaystyle \ sum _ {p \ leq x} {\ frac {1} {p}} = \ log \ log x + M + o (1 / \ log x).}

En 1909, Edmund Landau , utilizando la mejor versión del teorema de los números primos a su disposición, demostró que

{\ Displaystyle \ sum _ {p \ leq x} {\ frac {1} {p}} = \ log \ log x + M + O (e ^ {- (\ log x) ^ {1/14}}) }

sostiene; en particular, el término de error es menor que para cualquier entero fijo k . Una simple suma por partes que explota la forma más fuerte conocida del teorema de los números primos mejora esto a ${\ Displaystyle 1 / (\ log x) ^ {k}}$

{\ Displaystyle \ sum _ {p \ leq x} {\ frac {1} {p}} = \ log \ log x + M + O (e ^ {- c (\ log x) ^ {3/5} ( \ log \ log x) ^ {- 1/5}})}

para algunos . ${\ Displaystyle c> 0}$

De manera similar, una suma parcial muestra que es equivalente al PNT. ${\ Displaystyle \ sum _ {p \ leq x} {\ frac {\ log p} {p}} = \ log x + C + o (1)}$

Tercer teorema de Mertens y teoría del tamiz

Una estimación de la probabilidad de que ( ) no tenga factor viene dada por ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle X \ gg n}$ ${\ Displaystyle \ leq n}$

{\ Displaystyle \ prod _ {p \ leq n} \ left (1 - {\ frac {1} {p}} \ right)}

Esto está estrechamente relacionado con el tercer teorema de Mertens que da una aproximación asintótica de

{\ Displaystyle P (p \ nmid X \ \ forall p \ leq n) = {\ frac {1} {e ^ {\ gamma} \ ln n}}}

Prueba

El paso principal es

{\ Displaystyle O (n) + n \ log n = \ log n! = \ sum _ {p ^ {k} \ leq n} \ lfloor n / p ^ {k} \ rfloor \ log p = \ sum _ { p ^ {k} \ leq n} \ left ({\ frac {n} {p ^ {k}}} + O (1) \ right) \ log p = n \ sum _ {p ^ {k} \ leq n} {\ frac {\ log p} {p ^ {k}}} \ + O (n)}

de donde la última igualdad necesita que se sigue . ${\ Displaystyle \ sum _ {p ^ {k} \ leq n} \ log p = O (n)}$ ${\ Displaystyle \ sum _ {p \ in (n, 2n]} \ log p \ leq \ log {2n \ elija n} = O (n)}$