Independencia lineal - Linear independence

En la teoría de los espacios vectoriales , se dice que un conjunto de vectores es linealmente dependiente si hay unacombinación linealno trivialde los vectores que es igual al vector cero. Si no existe tal combinación lineal, se dice que los vectores sonlinealmente independientes . Estos conceptos son fundamentales para la definición dedimensión.

Un espacio vectorial puede ser de dimensión finita o infinita dependiendo del número máximo de vectores linealmente independientes. La definición de dependencia lineal y la capacidad de determinar si un subconjunto de vectores en un espacio vectorial es linealmente dependiente son fundamentales para determinar la dimensión de un espacio vectorial.

Definición

Se dice que una secuencia de vectores de un espacio vectorial V es linealmente dependiente , si existen escalares no todos cero, de modo que ${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {1}, \ mathbf {v} _ {2}, \ dots, \ mathbf {v} _ {k}}$ ${\ Displaystyle a_ {1}, a_ {2}, \ dots, a_ {k},}$

${\ Displaystyle a_ {1} \ mathbf {v} _ {1} + a_ {2} \ mathbf {v} _ {2} + \ cdots + a_ {k} \ mathbf {v} _ {k} = \ mathbf {0},}$

donde denota el vector cero. ${\ Displaystyle \ mathbf {0}}$

Esto implica que al menos uno de los escalares es distinto de cero, digamos , y la ecuación anterior se puede escribir como ${\ Displaystyle a_ {1} \ neq 0}$

${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {1} = {\ frac {-a_ {2}} {a_ {1}}} \ mathbf {v} _ {2} + \ cdots + {\ frac {-a_ { k}} {a_ {1}}} \ mathbf {v} _ {k},}$

si y si${\ Displaystyle k> 1,}$${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {1} = \ mathbf {0}}$${\ Displaystyle k = 0.}$

Por lo tanto, un conjunto de vectores es linealmente dependiente si y solo si uno de ellos es cero o una combinación lineal de los demás.

Se dice que una secuencia de vectores es linealmente independiente si no es linealmente dependiente, es decir, si la ecuación ${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {1}, \ mathbf {v} _ {2}, \ dots, \ mathbf {v} _ {n}}$

${\ Displaystyle a_ {1} \ mathbf {v} _ {1} + a_ {2} \ mathbf {v} _ {2} + \ cdots + a_ {n} \ mathbf {v} _ {n} = \ mathbf {0},}$

sólo se puede satisfacer con para Esto implica que ningún vector de la secuencia puede representarse como una combinación lineal de los vectores restantes de la secuencia. En otras palabras, una secuencia de vectores es linealmente independiente si la única representación de como una combinación lineal de sus vectores es la representación trivial en la que todos los escalares son cero. Incluso de manera más concisa, una secuencia de vectores es linealmente independiente si y solo si se puede representar como una combinación lineal de sus vectores de una manera única. ${\ Displaystyle a_ {i} = 0}$${\ Displaystyle i = 1, \ dots, n.}$${\ Displaystyle \ mathbf {0}}$${\ Displaystyle a_ {i}}$${\ Displaystyle \ mathbf {0}}$

Si una secuencia de vectores contiene dos veces el mismo vector, es necesariamente dependiente. La dependencia lineal de una secuencia de vectores no depende del orden de los términos en la secuencia. Esto permite definir la independencia lineal para un conjunto finito de vectores: Un conjunto finito de vectores es linealmente independiente si la secuencia obtenida al ordenarlos es linealmente independiente. En otras palabras, uno tiene el siguiente resultado que a menudo es útil.

Una secuencia de vectores es linealmente independiente si y solo si no contiene dos veces el mismo vector y el conjunto de sus vectores es linealmente independiente.

Caso infinito

Un conjunto infinito de vectores es linealmente independiente si todo subconjunto finito no vacío es linealmente independiente. A la inversa, un conjunto infinito de vectores es linealmente dependiente si contiene un subconjunto finito que es linealmente dependiente, o de manera equivalente, si algún vector en el conjunto es una combinación lineal de otros vectores en el conjunto.

Una familia de vectores indexada es linealmente independiente si no contiene dos veces el mismo vector y si el conjunto de sus vectores es linealmente independiente. De lo contrario, se dice que la familia es linealmente dependiente .

Un conjunto de vectores que es linealmente independiente y abarca algún espacio vectorial, forma una base para ese espacio vectorial. Por ejemplo, el espacio vectorial de todos los polinomios en x sobre los reales tiene el subconjunto (infinito) {1, x , x ² , ...} como base.

Ejemplos geométricos

• ${\ Displaystyle {\ vec {u}}}$y son independientes y definen el plano P.${\ Displaystyle {\ vec {v}}}$
• ${\ Displaystyle {\ vec {u}}}$, Y son dependientes porque los tres están contenidos en el mismo plano.${\ Displaystyle {\ vec {v}}}$${\ Displaystyle {\ vec {w}}}$
• ${\ Displaystyle {\ vec {u}}}$y son dependientes porque son paralelos entre sí.${\ Displaystyle {\ vec {j}}}$
• ${\ Displaystyle {\ vec {u}}}$, y son independientes porque y son independientes entre sí y no es una combinación lineal de ellos o, lo que es lo mismo, porque no pertenecen a un plano común. Los tres vectores definen un espacio tridimensional.${\ Displaystyle {\ vec {v}}}$${\ Displaystyle {\ vec {k}}}$${\ Displaystyle {\ vec {u}}}$${\ Displaystyle {\ vec {v}}}$${\ Displaystyle {\ vec {k}}}$
• Los vectores (vector nulo, cuyas componentes son iguales a cero) y son dependientes ya que${\ Displaystyle {\ vec {o}}}$${\ Displaystyle {\ vec {k}}}$${\ Displaystyle {\ vec {o}} = 0 \ cdot {\ vec {k}}}$

Ubicación geográfica

Una persona que describa la ubicación de un lugar determinado podría decir: "Está a 3 millas al norte y 4 millas al este de aquí". Esta es información suficiente para describir la ubicación, porque el sistema de coordenadas geográficas puede considerarse como un espacio vectorial bidimensional (ignorando la altitud y la curvatura de la superficie de la Tierra). La persona podría agregar: "El lugar está a 5 millas al noreste de aquí". Esta última afirmación es cierta , pero no es necesario encontrar la ubicación.

En este ejemplo, el vector "3 millas al norte" y el vector "4 millas al este" son linealmente independientes. Es decir, el vector norte no se puede describir en términos del vector este y viceversa. El tercer vector "5 millas al noreste" es una combinación lineal de los otros dos vectores, y hace que el conjunto de vectores sea linealmente dependiente , es decir, uno de los tres vectores es innecesario para definir una ubicación específica en un plano.

También tenga en cuenta que si no se ignora la altitud, es necesario agregar un tercer vector al conjunto linealmente independiente. En general, se requieren n vectores linealmente independientes para describir todas las ubicaciones en el espacio n -dimensional.

Evaluación de la independencia lineal

El vector cero

Si uno o más vectores de una secuencia dada de vectores es el vector cero, entonces el vector es necesariamente linealmente dependiente (y, en consecuencia, no son linealmente independientes). Para ver por qué, suponga que es un índice (es decir, un elemento de ) tal que Then let (alternativamente, dejando que sea ​​igual cualquier otro escalar distinto de cero también funcionará) y luego deje que todos los demás escalares sean (explícitamente, esto significa que para cualquier índice distinto de (es decir, para ), dejemos que, en consecuencia ). La simplificación da: ${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {1}, \ dots, \ mathbf {v} _ {k}}$${\ Displaystyle \ mathbf {0}}$${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {1}, \ dots, \ mathbf {v} _ {k}}$${\ Displaystyle i}$${\ Displaystyle \ {1, \ ldots, k \}}$${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {i} = \ mathbf {0}.}$${\ Displaystyle a_ {i}: = 1}$${\ Displaystyle a_ {i}}$${\ displaystyle 0}$${\ Displaystyle j}$${\ Displaystyle i}$${\ Displaystyle j \ neq i}$${\ Displaystyle a_ {j}: = 0}$${\ Displaystyle a_ {j} \ mathbf {v} _ {j} = 0 \ mathbf {v} _ {j} = \ mathbf {0}}$${\ Displaystyle a_ {1} \ mathbf {v} _ {1} + \ cdots + a_ {k} \ mathbf {v} _ {k}}$

${\ Displaystyle a_ {1} \ mathbf {v} _ {1} + \ cdots + a_ {k} \ mathbf {v} _ {k} = \ mathbf {0} + \ cdots + \ mathbf {0} + a_ {i} \ mathbf {v} _ {i} + \ mathbf {0} + \ cdots + \ mathbf {0} = a_ {i} \ mathbf {v} _ {i} = a_ {i} \ mathbf {0 } = \ mathbf {0}.}$

Debido a que no todos los escalares son cero (en particular ), esto prueba que los vectores son linealmente dependientes. ${\ Displaystyle a_ {i} \ neq 0}$${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {1}, \ dots, \ mathbf {v} _ {k}}$

Como consecuencia, el vector cero no puede pertenecer a cualquier colección de vectores que es linealmente en dependiente.

Ahora considere el caso especial donde la secuencia de tiene longitud (es decir, el caso donde ). Una colección de vectores que consta exactamente de un vector es linealmente dependiente si y solo si ese vector es cero. Explícitamente, si es cualquier vector, entonces la secuencia (que es una secuencia de longitud ) es linealmente dependiente si y solo si ; alternativamente, la colección es linealmente independiente si y solo si${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {1}, \ dots, \ mathbf {v} _ {k}}$${\ Displaystyle 1}$${\ Displaystyle k = 1}$${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {1}}$${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {1}}$${\ Displaystyle 1}$${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {1} = \ mathbf {0}}$${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {1}}$${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {1} \ neq \ mathbf {0}.}$

Dependencia lineal e independencia de dos vectores.

Este ejemplo considera el caso especial donde hay exactamente dos vectores y de algún espacio vectorial real o complejo. Los vectores y son linealmente dependientes si y solo si al menos uno de los siguientes es verdadero: ${\ Displaystyle \ mathbf {u}}$${\ Displaystyle \ mathbf {v}}$${\ Displaystyle \ mathbf {u}}$${\ Displaystyle \ mathbf {v}}$

1. ${\ Displaystyle \ mathbf {u}}$es un múltiplo escalar de (explícitamente, esto significa que existe un escalar tal que ) o${\ Displaystyle \ mathbf {v}}$${\ Displaystyle c}$${\ Displaystyle \ mathbf {u} = c \ mathbf {v}}$
2. ${\ Displaystyle \ mathbf {v}}$es un múltiplo escalar de (explícitamente, esto significa que existe un escalar tal que ).${\ Displaystyle \ mathbf {u}}$${\ Displaystyle c}$${\ Displaystyle \ mathbf {v} = c \ mathbf {u}}$

Si entonces al establecer tenemos (esta igualdad se mantiene sin importar cuál sea el valor de ), lo que muestra que (1) es verdadero en este caso particular. De manera similar, si entonces (2) es verdadero porque If (por ejemplo, si ambos son iguales al vector cero ) entonces ambos (1) y (2) son verdaderos (usando para ambos). ${\ Displaystyle \ mathbf {u} = \ mathbf {0}}$${\ Displaystyle c: = 0}$${\ Displaystyle c \ mathbf {v} = 0 \ mathbf {v} = \ mathbf {0} = \ mathbf {u}}$${\ Displaystyle \ mathbf {v}}$${\ Displaystyle \ mathbf {v} = \ mathbf {0}}$${\ Displaystyle \ mathbf {v} = 0 \ mathbf {u}.}$${\ Displaystyle \ mathbf {u} = \ mathbf {v}}$${\ Displaystyle \ mathbf {0}}$${\ Displaystyle c: = 1}$

Si entonces solo es posible si y ; en este caso, es posible multiplicar ambos lados por para concluir. Esto muestra que si y entonces (1) es verdadero si y solo si (2) es verdadero; Es decir, en este caso particular, ya sea ambos (1) y (2) son verdaderas (y los vectores son linealmente dependientes), o bien ambos (1) y (2) son falsas (y los vectores son linealmente en dependiente). Si, pero en su lugar , al menos uno de y debe ser cero. Además, si exactamente uno de y es (mientras que el otro es distinto de cero), entonces exactamente uno de (1) y (2) es verdadero (siendo el otro falso). ${\ Displaystyle \ mathbf {u} = c \ mathbf {v}}$${\ Displaystyle \ mathbf {u} \ neq \ mathbf {0}}$${\ Displaystyle c \ neq 0}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {v} \ neq \ mathbf {0}}$${\ textstyle {\ frac {1} {c}}}$${\ textstyle \ mathbf {v} = {\ frac {1} {c}} \ mathbf {u}.}$${\ Displaystyle \ mathbf {u} \ neq \ mathbf {0}}$${\ Displaystyle \ mathbf {v} \ neq \ mathbf {0}}$${\ Displaystyle \ mathbf {u} = c \ mathbf {v}}$${\ Displaystyle \ mathbf {u} = \ mathbf {0}}$${\ Displaystyle c}$${\ Displaystyle \ mathbf {v}}$${\ Displaystyle \ mathbf {u}}$${\ Displaystyle \ mathbf {v}}$${\ Displaystyle \ mathbf {0}}$

Los vectores y son linealmente en dependiente si y sólo si no es un múltiplo escalar de y no es un múltiplo escalar de . ${\ Displaystyle \ mathbf {u}}$${\ Displaystyle \ mathbf {v}}$${\ Displaystyle \ mathbf {u}}$${\ Displaystyle \ mathbf {v}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {v}}$${\ Displaystyle \ mathbf {u}}$

Vectores en R ²

Tres vectores: considere el conjunto de vectores y luego la condición de dependencia lineal busca un conjunto de escalares distintos de cero, de manera que ${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {1} = (1,1),}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {2} = (- 3,2),}$${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {3} = (2,4),}$

${\ displaystyle a_ {1} {\ begin {bmatrix} 1 \\ 1 \ end {bmatrix}} + a_ {2} {\ begin {bmatrix} -3 \\ 2 \ end {bmatrix}} + a_ {3} {\ begin {bmatrix} 2 \\ 4 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 0 \\ 0 \ end {bmatrix}},}$

o

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & -3 & 2 \\ 1 & 2 & 4 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} a_ {1} \\ a_ {2} \\ a_ {3} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 0 \\ 0 \ end {bmatrix}}.}$

Row reduce esta ecuación matricial restando la primera fila de la segunda para obtener,

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & -3 & 2 \\ 0 & 5 & 2 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} a_ {1} \\ a_ {2} \\ a_ {3} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 0 \\ 0 \ end {bmatrix}}.}$

Continúe la reducción de filas (i) dividiendo la segunda fila por 5, y luego (ii) multiplicando por 3 y sumando a la primera fila, es decir

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 16/5 \\ 0 & 1 & 2/5 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} a_ {1} \\ a_ {2} \\ a_ {3} \ end {bmatrix} } = {\ begin {bmatrix} 0 \\ 0 \ end {bmatrix}}.}$

Reordenar esta ecuación nos permite obtener

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} a_ {1} \\ a_ {2} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} a_ { 1} \\ a_ {2} \ end {bmatrix}} = - a_ {3} {\ begin {bmatrix} 16/5 \\ 2/5 \ end {bmatrix}}.}$

lo que muestra que existe un _ai distinto de cero que puede definirse en términos de y Por lo tanto, los tres vectores son linealmente dependientes. ${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {3} = (2,4)}$${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {1} = (1,1)}$${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {2} = (- 3,2).}$

Dos vectores: Consideremos ahora la dependencia lineal de los dos vectores y y verificación, ${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {1} = (1,1)}$${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {2} = (- 3,2),}$

${\ displaystyle a_ {1} {\ begin {bmatrix} 1 \\ 1 \ end {bmatrix}} + a_ {2} {\ begin {bmatrix} -3 \\ 2 \ end {bmatrix}} = {\ begin { bmatrix} 0 \\ 0 \ end {bmatrix}},}$

o

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & -3 \\ 1 & 2 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} a_ {1} \\ a_ {2} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 0 \\ 0 \ end {bmatrix}}.}$

La misma reducción de hileras presentada anteriormente rinde,

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} a_ {1} \\ a_ {2} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 0 \ \ 0 \ end {bmatrix}}.}$

Esto muestra lo que significa que los vectores v ₁ = (1, 1) y v ₂ = (−3, 2) son linealmente independientes. ${\ Displaystyle a_ {i} = 0,}$

Vectores en R ⁴

Para determinar si los tres vectores en ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {4},}$

${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {1} = {\ begin {bmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \\ - 3 \ end {bmatrix}}, \ mathbf {v} _ {2} = {\ begin {bmatrix} 7 \\ 10 \\ - 4 \\ - 1 \ end {bmatrix}}, \ mathbf {v} _ {3} = {\ begin {bmatrix} -2 \\ 1 \\ 5 \\ - 4 \ end {bmatrix}}.}$

son linealmente dependientes, forman la ecuación matricial,

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 7 & -2 \\ 4 & 10 & 1 \\ 2 & -4 & 5 \\ - 3 & -1 & -4 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} a_ {1} \\ a_ {2} \\ a_ {3} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \ end {bmatrix}}.}$

Row reduzca esta ecuación para obtener,

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 7 & -2 \\ 0 & -18 & 9 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} a_ {1} \\ a_ {2} \\ a_ {3 } \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \ end {bmatrix}}.}$

Reorganizar para resolver para v ₃ y obtener,

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 7 \\ 0 & -18 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} a_ {1} \\ a_ {2} \ end {bmatrix}} = - a_ {3} { \ begin {bmatrix} -2 \\ 9 \ end {bmatrix}}.}$

Esta ecuación se resuelve fácilmente para definir una _i distinta de cero ,

${\ Displaystyle a_ {1} = - 3a_ {3} / 2, a_ {2} = a_ {3} / 2,}$

donde se puede elegir arbitrariamente. Por tanto, los vectores y son linealmente dependientes. ${\ Displaystyle a_ {3}}$${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {1}, \ mathbf {v} _ {2},}$${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {3}}$

Método alternativo que utiliza determinantes

Un método alternativo se basa en el hecho de que los vectores en son linealmente independientes si y solo si el determinante de la matriz formada al tomar los vectores como sus columnas es distinto de cero. ${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

En este caso, la matriz formada por los vectores es

${\ displaystyle A = {\ begin {bmatrix} 1 & -3 \\ 1 & 2 \ end {bmatrix}}.}$

Podemos escribir una combinación lineal de columnas como

${\ displaystyle A \ Lambda = {\ begin {bmatrix} 1 & -3 \\ 1 & 2 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ lambda _ {1} \\\ lambda _ {2} \ end {bmatrix} }.}$

Nos interesa saber si A Λ = 0 para algún vector Λ distinto de cero. Esto depende del determinante de , que es ${\ Displaystyle A}$

${\ Displaystyle \ det A = 1 \ cdot 2-1 \ cdot (-3) = 5 \ neq 0.}$

Dado que el determinante es distinto de cero, los vectores y son linealmente independientes. ${\ Displaystyle (1,1)}$${\ Displaystyle (-3,2)}$

De lo contrario, suponga que tenemos vectores de coordenadas, con Entonces A es una matriz de n × my Λ es un vector de columna con entradas, y nuevamente estamos interesados ​​en A Λ = 0 . Como vimos anteriormente, esto equivale a una lista de ecuaciones. Considere las primeras filas de , las primeras ecuaciones; cualquier solución de la lista completa de ecuaciones también debe ser cierta para la lista reducida. De hecho, si ⟨ i ₁ , ..., i _m ⟩ es cualquier lista de filas, entonces la ecuación debe ser cierto para esas filas. ${\ Displaystyle m}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle m <n.}$${\ Displaystyle m}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle m}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle m}$${\ Displaystyle m}$

${\ Displaystyle A _ {\ langle i_ {1}, \ dots, i_ {m} \ rangle} \ Lambda = \ mathbf {0}.}$

Además, ocurre lo contrario. Es decir, podemos probar si los vectores son linealmente dependientes probando si ${\ Displaystyle m}$

${\ Displaystyle \ det A _ {\ langle i_ {1}, \ dots, i_ {m} \ rangle} = 0}$

para todas las posibles listas de filas. (En caso de que esto requiera sólo un determinante, como antes. Si , entonces es un teorema que los vectores deben ser linealmente dependientes). Este hecho es valioso para la teoría; en los cálculos prácticos se dispone de métodos más eficientes. ${\ Displaystyle m}$${\ Displaystyle m = n}$${\ Displaystyle m> n}$

Más vectores que dimensiones

Si hay más vectores que dimensiones, los vectores son linealmente dependientes. Esto se ilustra en el ejemplo anterior de tres vectores en${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}.}$

Vectores de base natural

Deje y considerar los elementos siguientes en , conocidas como las bases naturales vectores: ${\ Displaystyle V = \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle V}$

${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ mathbf {e} _ {1} & = & (1,0,0, \ ldots, 0) \\\ mathbf {e} _ {2} & = & (0, 1,0, \ ldots, 0) \\ & \ vdots \\\ mathbf {e} _ {n} & = & (0,0,0, \ ldots, 1). \ End {matriz}}}$

Entonces son linealmente independientes. ${\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {1}, \ mathbf {e} _ {2}, \ ldots, \ mathbf {e} _ {n}}$

Independencia lineal de funciones

Sea el espacio vectorial de todas las funciones diferenciables de una variable real . Entonces las funciones y en son linealmente independientes. ${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle t}$${\ Displaystyle e ^ {t}}$${\ Displaystyle e ^ {2t}}$${\ Displaystyle V}$

Prueba

Supongamos que y son dos números reales tales que ${\ Displaystyle a}$${\ Displaystyle b}$

${\ displaystyle ae ^ {t} + be ^ {2t} = 0}$

Tome la primera derivada de la ecuación anterior:

${\ displaystyle ae ^ {t} + 2be ^ {2t} = 0}$

para todos los valores de Necesitamos mostrar eso y Para hacer esto, restamos la primera ecuación de la segunda, dando . Dado que para algunos no es cero , también se deduce de eso . Por lo tanto, de acuerdo con la definición de independencia lineal, y son linealmente independientes. ${\ Displaystyle t.}$${\ Displaystyle a = 0}$${\ Displaystyle b = 0.}$${\ displaystyle be ^ {2t} = 0}$${\ Displaystyle e ^ {2t}}$${\ Displaystyle t}$${\ Displaystyle b = 0.}$${\ Displaystyle a = 0}$${\ Displaystyle e ^ {t}}$${\ Displaystyle e ^ {2t}}$

Espacio de dependencias lineales

Una dependencia lineal o relación lineal entre vectores v ₁ , ..., v _n es una tupla ( a ₁ , ..., a _n ) con n componentes escalares tales que

${\ Displaystyle a_ {1} \ mathbf {v} _ {1} + \ cdots + a_ {n} \ mathbf {v} _ {n} = \ mathbf {0}.}$

Si existe tal dependencia lineal con al menos un componente distinto de cero, entonces los n vectores son linealmente dependientes. Las dependencias lineales entre v ₁ , ..., v _n forman un espacio vectorial.

Si los vectores se expresan por sus coordenadas, entonces las dependencias lineales son las soluciones de un sistema homogéneo de ecuaciones lineales , con las coordenadas de los vectores como coeficientes. Por tanto, una base del espacio vectorial de dependencias lineales puede calcularse mediante eliminación gaussiana .

Independencia afín

Se dice que un conjunto de vectores es afínmente dependiente si al menos uno de los vectores del conjunto puede definirse como una combinación afín de los demás. De lo contrario, el conjunto se llama afinamente independiente . Cualquier combinación afín es una combinación lineal; por lo tanto, cada conjunto afinamente dependiente es linealmente dependiente. Por el contrario, todo conjunto linealmente independiente es afinamente independiente.

Considere un conjunto de vectores de tamaño cada uno y considere el conjunto de vectores aumentados de tamaño cada uno. Los vectores originales son afinamente independientes si y solo si los vectores aumentados son linealmente independientes. ${\ Displaystyle m}$${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {v} _ {m}}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle m}$${\ textstyle \ left (\ left [{\ begin {smallmatrix} 1 \\\ mathbf {v} _ {1} \ end {smallmatrix}} \ right], \ ldots, \ left [{\ begin {smallmatrix} 1 \\\ mathbf {v} _ {m} \ end {smallmatrix}} \ right] \ right)}$${\ Displaystyle n + 1}$

Ver también: espacio afín .

Ver también

• Matroid  : estructura abstracta que modela y generaliza la independencia lineal

Referencias

enlaces externos

• "Independencia lineal" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Funciones linealmente dependientes en WolframMathWorld.
• Programa tutorial e interactivo sobre Independencia lineal.
• Introducción a la independencia lineal en KhanAcademy.