Celosía de sanguijuela - Leech lattice

En matemáticas , la celosía Leech es una celosía incluso unimodular Λ ₂₄ en el espacio euclidiano de 24 dimensiones , que es uno de los mejores modelos para el problema del número de besos . Fue descubierto por John Leech  ( 1967 ). También puede haber sido descubierto (pero no publicado) por Ernst Witt en 1940.

Caracterización

La celosía Leech Λ ₂₄ es la celosía única en el espacio euclidiano de 24 dimensiones , E ²⁴ , con la siguiente lista de propiedades:

• Es unimodular ; es decir, puede ser generado por las columnas de una determinada matriz de 24 × 24 con determinante  1.
• Es incluso; es decir, el cuadrado de la longitud de cada vector en Λ ₂₄ es un número entero par.
• La longitud de cada vector distinto de cero en Λ ₂₄ es al menos 2.

La última condición es equivalente a la condición de que las bolas unitarias centradas en los puntos de Λ ₂₄ no se superpongan. Cada uno es tangente a 196,560 vecinos, y se sabe que este es el mayor número de bolas unitarias de 24 dimensiones no superpuestas que pueden tocar simultáneamente una sola bola unitaria . Esta disposición de 196.560 bolas unitarias centradas alrededor de otra bola unitaria es tan eficiente que no hay espacio para mover ninguna de las bolas; esta configuración, junto con su imagen especular, es la única disposición de 24 dimensiones en la que 196.560 bolas unitarias tocan simultáneamente a otra. Esta propiedad también es cierta en 1, 2 y 8 dimensiones, con 2, 6 y 240 bolas unitarias, respectivamente, basadas en la celosía entera , el mosaico hexagonal y la celosía E ₈ , respectivamente.

No tiene sistema de raíces y de hecho es la primera celosía unimodular sin raíces (vectores de norma menor que 4), y por lo tanto tiene una densidad de centro de 1. Al multiplicar este valor por el volumen de una bola unitaria en 24 dimensiones , se puede derivar su densidad absoluta. ${\ displaystyle {\ tfrac {\ pi ^ {12}} {12!}}}$

Conway (1983) mostró que la celosía Leech es isométrica al conjunto de raíces simples (o el diagrama de Dynkin ) del grupo de reflexión de la celosía unimodular de Lorentzian par 26-dimensional II _25,1 . En comparación, los diagramas de Dynkin de II _9,1 y II _17,1 son finitos.

Aplicaciones

El código binario Golay , desarrollado independientemente en 1949, es una aplicación en la teoría de la codificación . Más específicamente, es un código de corrección de errores capaz de corregir hasta tres errores en cada palabra de 24 bits y detectar un cuarto. Se utilizó para comunicarse con las sondas Voyager , ya que es mucho más compacto que el código Hadamard utilizado anteriormente .

Los cuantificadores , o convertidores de analógico a digital , pueden utilizar celosías para minimizar el error medio cuadrático medio . La mayoría de los cuantificadores se basan en la retícula de enteros unidimensionales , pero el uso de retículas multidimensionales reduce el error RMS. La celosía Leech es una buena solución a este problema, ya que las células de Voronoi tienen un segundo momento bajo .

El álgebra de vértices de la teoría de campo conforme bidimensional que describe la teoría de cuerdas bosónicas , compactada en el cociente toroidal de 24 dimensiones R ²⁴ / Λ ₂₄ y orbifolgada por un grupo de reflexión de dos elementos, proporciona una construcción explícita del álgebra de Griess que tiene el Monster Group como su grupo de automorfismo. Este álgebra de vértices monstruosos también se usó para probar las conjeturas monstruosas de la luz de la luna .

Construcciones

La celosía Leech se puede construir de varias formas. Como ocurre con todas las celosías, se puede construir tomando el tramo integral de las columnas de su matriz generadora , una matriz de 24 × 24 con determinante 1.

 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
 4 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
 4 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
 4 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
 4 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
 4 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
 4 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
 4 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0
 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0
 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0
 2 0 2 0 2 0 0 2 2 2 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0
 2 0 0 2 2 2 0 0 2 0 2 0 0 0 0 0 2 0 2 0 0 0 0 0
 2 2 0 0 2 0 2 0 2 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 2 0 0 0 0
 0 2 2 2 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0
 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0
 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0
−3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Usando el código binario de Golay

La celosía de Leech se puede construir explícitamente como el conjunto de vectores de la forma 2 ^−3/2 ( a ₁ , a ₂ , ..., a ₂₄ ) donde a _i son números enteros tales que

${\ Displaystyle a_ {1} + a_ {2} + \ cdots + a_ {24} \ equiv 4a_ {1} \ equiv 4a_ {2} \ equiv \ cdots \ equiv 4a_ {24} {\ pmod {8}}}$

y para cada clase de residuo fijo módulo 4, la palabra de 24 bits, cuyos unos corresponden a las coordenadas i tales que a _i pertenece a esta clase de residuo, es una palabra en el código binario de Golay . El código Golay, junto con el diseño Witt relacionado, se presenta en una construcción para los vectores mínimos 196560 en la celosía Leech.

Usando la celosía Lorentzian II _25,1

La celosía Leech también se puede construir como donde w es el vector Weyl: ${\ Displaystyle w ^ {\ perp} / w}$

${\ displaystyle (0,1,2,3, \ dots, 22,23,24; 70)}$

en el enrejado unimodular incluso de Lorentz de 26 dimensiones II _25,1 . La existencia de tal vector integral de norma Lorentziana cero se basa en el hecho de que 1 ² + 2 ² + ... + 24 ² es un cuadrado perfecto (de hecho, 70 ² ); el número 24 es el único entero mayor que 1 con esta propiedad. Édouard Lucas conjeturó esto , pero la prueba llegó mucho más tarde, basada en funciones elípticas .

El vector en esta construcción es realmente el vector de Weyl de la subred par D ₂₄ de la retícula unimodular impar I ²⁵ . De manera más general, si L es una red unimodular definida positiva de dimensión 25 con al menos 4 vectores de la norma 1, entonces el vector de Weyl de sus raíces de la norma 2 tiene una longitud integral, y hay una construcción similar de la red Leech usando L y esto Vector de Weyl. ${\ Displaystyle (0,1,2,3, \ dots, 22,23,24)}$

Basado en otras celosías

Conway y Sloane (1982) describieron otras 23 construcciones para la celosía Leech, cada una basada en una celosía Niemeier . También se puede construir usando tres copias del enrejado E8 , de la misma manera que el código binario Golay se puede construir usando tres copias del código Hamming extendido , H ₈ . Esta construcción se conoce como la construcción Turyn de la celosía Leech.

Como celosía laminada

Comenzando con un solo punto, Λ ₀ , se pueden apilar copias de la celosía Λ _n para formar una celosía ( n  + 1) -dimensional, Λ _{n +1} , sin reducir la distancia mínima entre puntos. Λ ₁ corresponde a la celosía entera , Λ ₂ es a la celosía hexagonal y Λ ₃ es el empaque cúbico centrado en las caras . Conway y Sloane (1982b) demostraron que la celosía Leech es la celosía laminada única en 24 dimensiones.

Como una celosía compleja

La celosía Leech es también una celosía de 12 dimensiones sobre los enteros de Eisenstein . Esto se conoce como la red Leech compleja y es isomorfa a la red Leech real de 24 dimensiones. En la construcción compleja de la celosía Leech, el código binario Golay se reemplaza con el código ternario Golay , y el grupo Mathieu M ₂₄ se reemplaza con el grupo Mathieu M ₁₂ . La celosía E ₆ , la celosía E ₈ y la celosía Coxeter-Todd también tienen construcciones como celosías complejas, sobre los enteros Eisenstein o Gaussianos .

Usando el anillo icosiano

La celosía Leech también se puede construir usando el anillo de icosianos . El anillo icosiano es abstractamente isomorfo a la celosía E8 , tres copias del cual se pueden usar para construir la celosía Leech usando la construcción Turyn.

Construcción de Witt

En 1972 Witt dio la siguiente construcción, que dijo que encontró en 1940, el 28 de enero. Suponga que H es una matriz de Hadamard de n por n , donde n = 4 ab . Entonces la matriz define una forma bilineal en 2 n dimensiones, cuyo núcleo tiene n dimensiones. El cociente por este núcleo es una forma bilineal nonsinguar tomando valores en (1/2) Z . Tiene 3 subredes de índice 2 que son formas bilineales integrales. Witt obtuvo la celosía Leech como una de estas tres subredes tomando a = 2, b = 3, y tomando H como la matriz de 24 por 24 (indexada por Z / 23 Z ∪ ∞) con entradas Χ ( m + n ) donde Χ (∞) = 1, Χ (0) = - 1, Χ ( n ) = es el símbolo de residuo cuadrático mod 23 para n distinto de cero . Esta matriz H es una matriz de Paley con algunos cambios de signo insignificantes. ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} Ia & H / 2 \\ H / 2 & Ib \ end {pmatrix}}}$

Usando una matriz de Paley

Chapman (2001) describió una construcción utilizando una matriz de Hadamard sesgada de tipo Paley . La celosía de Niemeier con sistema de raíces se puede convertir en un módulo para el anillo de números enteros del campo . Al multiplicar este enrejado de Niemeier por un ideal no principal del anillo de números enteros se obtiene el enrejado de Leech. ${\ Displaystyle D_ {24}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {-23}})}$

Usando octoniones

Si L es el conjunto de octoniones con coordenadas en el retículo , entonces el retículo de Leech es el conjunto de tripletes tales que ${\ Displaystyle E_ {8}}$ ${\ Displaystyle (x, y, z)}$

${\ Displaystyle x, y, z \ in L}$

${\ Displaystyle x + y, y + z, x + z \ in L {\ bar {s}}}$

${\ Displaystyle x + y + z \ in Ls}$

donde . Esta construcción se debe a ( Wilson 2009 ). ${\ Displaystyle s = {\ frac {1} {2}} (- e_ {1} + e_ {2} + e_ {3} + e_ {4} + e_ {5} + e_ {6} + e_ {7 })}$

Simetrías

La celosía Leech es muy simétrica. Su grupo de automorfismo es el grupo de Conway Co ₀ , que es del orden 8 315 553 613 086 720 000. El centro de Co ₀ tiene dos elementos, y el cociente de Co ₀ por este centro es el grupo de Conway Co ₁ , un simple finito grupo. Muchos otros grupos esporádicos , como los restantes grupos Conway y Mathieu , pueden construirse como estabilizadores de varias configuraciones de vectores en la red Leech.

A pesar de tener un grupo de simetría rotacional tan alta , la red Leech no posee hiperplanos de simetría de reflexión. En otras palabras, la celosía Leech es quiral . También tiene muchas menos simetrías que el hipercubo de 24 dimensiones y el simplex.

El grupo de automorfismo fue descrito por primera vez por John Conway . Los 398034000 vectores de la norma 8 caen en 8292375 'cruces' de 48 vectores. Cada cruz contiene 24 vectores mutuamente ortogonales y sus negativos, y por lo tanto describen los vértices de un ortoplex de 24 dimensiones . Cada una de estas cruces puede tomarse como el sistema de coordenadas de la celosía, y tiene la misma simetría del código Golay , a saber, 2 ¹² × | M ₂₄ |. Por lo tanto, el grupo de automorfismo completo de la celosía Leech tiene el pedido 8292375 × 4096 × 244823040, o 8315553613086720000.

Geometría

Conway, Parker y Sloane (1982) demostraron que el radio de cobertura de la celosía Leech es ; en otras palabras, si colocamos una bola cerrada de este radio alrededor de cada punto de celosía, estos solo cubren el espacio euclidiano. Los puntos que se encuentran a una distancia al menos de todos los puntos de la celosía se denominan agujeros profundos de la celosía Leech. Hay 23 órbitas de ellos bajo el grupo de automorfismo de la celosía Leech, y estas órbitas corresponden a las 23 celosías de Niemeier distintas de la celosía Leech: el conjunto de vértices del agujero profundo es isométrico al diagrama de Dynkin afín de la celosía de Niemeier correspondiente. ${\ Displaystyle {\ sqrt {2}}}$${\ Displaystyle {\ sqrt {2}}}$

La celosía Leech tiene una densidad de . Cohn y Kumar (2009) demostraron que proporciona el empaquetamiento reticular de bolas más denso en un espacio de 24 dimensiones. Henry Cohn, Abhinav Kumar y Stephen D. Miller et al. ( 2016 ) mejoraron esto al mostrar que es el empaque de esfera más denso, incluso entre los empaques sin celosía. ${\ displaystyle {\ tfrac {\ pi ^ {12}} {12!}} \ aproximadamente 0,001930 \ ldots}$

Los vectores mínimos de 196560 son de tres variedades diferentes, conocidas como formas :

• ${\ Displaystyle 1104 = {\ binom {24} {2}} \ cdot 2 ^ {2}}$vectores de forma (4 ² , 0 ²² ), para todas las permutaciones y elecciones de signos;
• ${\ Displaystyle 97152 = 759 \ cdot 2 ^ {8} \ cdot {\ frac {1} {2}}}$vectores de forma (2 ⁸ , 0 ¹⁶ ), donde los '2 corresponden a un octado en el código Golay, y hay cualquier número par de signos menos;
• ${\ displaystyle 98304 = 2 ^ {12} \ cdot 24}$vectores de forma (∓3, ± 1 ²³ ), donde el signo inferior se utiliza para los '1' de cualquier palabra de código del código Golay, y el '∓3' puede aparecer en cualquier posición.

El código ternario de Golay , el código binario de Golay y la red Leech dan códigos esféricos de 24 dimensiones muy eficientes de 729, 4096 y 196560 puntos, respectivamente. Los códigos esféricos son análogos de dimensiones superiores al problema de Tammes , que surgió como un intento de explicar la distribución de los poros en los granos de polen. Estos se distribuyen para maximizar el ángulo mínimo entre ellos. En dos dimensiones, el problema es trivial, pero en tres dimensiones y superiores no lo es. Un ejemplo de un código esférico en tres dimensiones es el conjunto de los 12 vértices del icosaedro regular.

Serie theta

Se puede asociar a cualquier retícula (definida positiva) Λ una función theta dada por

${\ Displaystyle \ Theta _ {\ Lambda} (\ tau) = \ sum _ {x \ in \ Lambda} e ^ {i \ pi \ tau \ | x \ | ^ {2}} \ qquad \ operatorname {Im} \ tau> 0.}$

La función theta de una red es entonces una función holomórfica en el semiplano superior . Además, la función theta de una red incluso unimodular de rango n es en realidad una forma modular de peso n / 2 para el grupo modular completo PSL (2, Z ). La función theta de una red integral a menudo se escribe como una serie de potencias de modo que el coeficiente de q ⁿ da el número de vectores de red de la norma al cuadrado 2 n . En la red Leech, hay 196560 vectores de norma cuadrada 4, 16773120 vectores de norma cuadrada 6, 398034000 vectores de norma cuadrada 8 y así sucesivamente. La serie theta de la celosía Leech es ${\ Displaystyle q = e ^ {2i \ pi \ tau}}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ Theta _ {\ Lambda _ {24}} (\ tau) & = E_ {12} (\ tau) - {\ frac {65520} {691}} \ Delta (\ tau ) \\ [5pt] & = 1+ \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} {\ frac {65520} {691}} \ left (\ sigma _ {11} (m) - \ tau (m ) \ right) q ^ {m} \\ [5pt] & = 1 + 196560q ^ {2} + 16773120q ^ {3} + 398034000q ^ {4} + \ cdots, \ end {alineado}}}$

donde es la serie de Eisenstein normalizada de peso 12, es el discriminante modular , es la función divisoria para el exponente 11 y es la función tau de Ramanujan . De ello se deduce que para m ≥1 el número de vectores de norma al cuadrado 2 m es ${\ Displaystyle E_ {12} (\ tau)}$${\ Displaystyle \ Delta (\ tau)}$${\ Displaystyle \ sigma _ {11} (n)}$${\ Displaystyle \ tau (n)}$

${\ Displaystyle {\ frac {65520} {691}} \ left (\ sigma _ {11} (m) - \ tau (m) \ right).}$

Historia

Muchas de las secciones transversales de la celosía Leech, incluida la celosía Coxeter-Todd y la celosía Barnes-Wall , en 12 y 16 dimensiones, se encontraron mucho antes que la celosía Leech. O'Connor y Pall (1944) descubrieron una celosía unimodular impar relacionada en 24 dimensiones, ahora llamada celosía Leech impar, uno de cuyos dos vecinos pares es la celosía Leech. La celosía Leech fue descubierta en 1965 por John Leech  ( 1967 , 2.31, p. 262), mejorando algunos empaques de esferas anteriores que encontró ( Leech 1964 ).

Conway  ( 1968 ) calculó el orden del grupo de automorfismo de la red Leech y, trabajando con John G. Thompson , descubrió tres nuevos grupos esporádicos como subproducto: los grupos de Conway , Co ₁ , Co ₂ , Co ₃ . También mostraron que otros cuatro (entonces) grupos esporádicos recientemente anunciados, a saber, Higman-Sims , Suzuki , McLaughlin y el grupo Janko J _{2 se} podían encontrar dentro de los grupos de Conway utilizando la geometría de la celosía Leech. (Ronan, pág.155)

Witt (1941 , p. 324), tiene una sola oración bastante críptica que menciona que encontró más de 10 celosías incluso unimodulares en 24 dimensiones sin dar más detalles. Witt (1998 , p. 328-329) declaró que encontró 9 de estas celosías a principios de 1938, y encontró dos más, la celosía de Niemeier con A²⁴
₁ sistema de raíces y la celosía Leech (y también la extraña celosía Leech), en 1940.

Ver también

• Embalaje de esfera
• E ₈ celosía

Referencias

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enlaces externos

• Celosía de sanguijuela (CP4space)
• Weisstein, Eric W. "Celosía de sanguijuela" . MathWorld .
• The Leech Lattice, U. de Illinois en Chicago, sitio web de Mark Ronan
• Artículos de RE Borcherds