Ley del logaritmo iterado - Law of the iterated logarithm

Gráfico de (rojo), su desviación estándar (azul) y su límite dado por LIL (verde). Observe la forma en que cambia aleatoriamente del límite superior al límite inferior. Ambos ejes se transforman de forma no lineal (como se explica en el resumen de la figura) para hacer más visible este efecto.${\ Displaystyle S_ {n} / n}$${\ Displaystyle 1 / {\ sqrt {n}}}$${\ Displaystyle {\ sqrt {2 \ log \ log n / n}}}$

En la teoría de la probabilidad , la ley del logaritmo iterado describe la magnitud de las fluctuaciones de un paseo aleatorio . El enunciado original de la ley del logaritmo iterado se debe a A. Ya. Khinchin (1924). AN Kolmogorov hizo otra declaración en 1929.

Declaración

Sea { Y _n } variables aleatorias independientes distribuidas de forma idéntica con medias cero y varianzas unitarias. Sea S _n = Y ₁ + ... + Y _n . Luego

${\ Displaystyle \ limsup _ {n \ to \ infty} {\ frac {\ pm S_ {n}} {\ sqrt {2n \ log \ log n}}} = 1 \ quad {\ text {as}},}$

donde "log" es el logaritmo natural , "lim sup" denota el límite superior y "as" significa " casi seguro ".

Discusión

La ley de los logaritmos iterados opera "entre" la ley de los grandes números y el teorema del límite central . Hay dos versiones de la ley de los grandes números, la débil y la fuerte , y ambas establecen que las sumas S _n , escaladas por n ⁻¹ , convergen a cero, respectivamente en probabilidad y casi con seguridad :

${\ displaystyle {\ frac {S_ {n}} {n}} \ {\ xrightarrow {p}} \ 0, \ qquad {\ frac {S_ {n}} {n}} \ {\ xrightarrow {as}} 0, \ qquad {\ text {as}} \ \ n \ to \ infty.}$

Por otro lado, el teorema del límite central establece que las sumas S _n escaladas por el factor n ^−½ convergen en distribución a una distribución normal estándar. Según la ley cero-uno de Kolmogorov , para cualquier M fijo , la probabilidad de que ocurra el evento es 0 o 1. Entonces ${\ Displaystyle \ limsup _ {n} {\ frac {S_ {n}} {\ sqrt {n}}} \ geq M}$

${\ Displaystyle \ Pr \ left (\ limsup _ {n} {\ frac {S_ {n}} {\ sqrt {n}}} \ geq M \ right) \ geqslant \ limsup _ {n} \ Pr \ left ( {\ frac {S_ {n}} {\ sqrt {n}}} \ geq M \ right) = \ Pr \ left ({\ mathcal {N}} (0,1) \ geq M \ right)> 0}$

asi que

${\ displaystyle \ limsup _ {n} {\ frac {S_ {n}} {\ sqrt {n}}} = \ infty \ qquad {\ text {con probabilidad 1.}}}$

Un argumento idéntico muestra que

${\ Displaystyle \ liminf _ {n} {\ frac {S_ {n}} {\ sqrt {n}}} = - \ infty \ qquad {\ text {con probabilidad 1.}}}$

Esto implica que estas cantidades no pueden converger casi con seguridad. De hecho, ni siquiera pueden converger en probabilidad, lo que se sigue de la igualdad

${\ Displaystyle {\ frac {S_ {2n}} {\ sqrt {2n}}} - {\ frac {S_ {n}} {\ sqrt {n}}} = {\ frac {1} {\ sqrt {2 }}} {\ frac {S_ {2n} -S_ {n}} {\ sqrt {n}}} - \ left (1 - {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ right) {\ frac {S_ {n}} {\ sqrt {n}}}}$

y el hecho de que las variables aleatorias

${\ Displaystyle {\ frac {S_ {n}} {\ sqrt {n}}} \ quad {\ text {y}} \ quad {\ frac {S_ {2n} -S_ {n}} {\ sqrt {n }}}}$

son independientes y ambos convergen en distribución para ${\ Displaystyle {\ mathcal {N}} (0,1).}$

La ley del logaritmo iterado proporciona el factor de escala donde los dos límites se vuelven diferentes:

${\ displaystyle {\ frac {S_ {n}} {\ sqrt {2n \ log \ log n}}} \ {\ xrightarrow {p}} \ 0, \ qquad {\ frac {S_ {n}} {\ sqrt {2n \ log \ log n}}} \ {\ stackrel {as} {\ nrightarrow}} \ 0, \ qquad {\ text {as}} \ \ n \ to \ infty.}$

Por lo tanto, aunque el valor absoluto de la cantidad es menor que cualquier ε  > 0 predefinido con una probabilidad cercana a uno, es casi seguro que será mayor que ε infinitamente a menudo; de hecho, la cantidad estará visitando las cercanías de cualquier punto del intervalo (-1,1) casi con seguridad. ${\ Displaystyle S_ {n} / {\ sqrt {2n \ log \ log n}}}$

Exposición de los teoremas del límite y su interrelación

Generalizaciones y variantes

La ley del logaritmo iterado (LIL) para una suma de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas (iid) con media cero e incremento acotado se remonta a Khinchin y Kolmogorov en la década de 1920.

Desde entonces, ha habido una enorme cantidad de trabajo en el LIL para varios tipos de estructuras dependientes y para procesos estocásticos. La siguiente es una pequeña muestra de desarrollos notables.

Hartman-Wintner (1940) generalizó LIL a caminatas aleatorias con incrementos con media cero y varianza finita. De Acosta (1983) dio una prueba simple de la versión Hartman-Wintner del LIL.

Strassen (1964) estudió la LIL desde el punto de vista de los principios de invariancia.

Stout (1970) generalizó el LIL a martingalas ergódicas estacionarias.

Wittmann (1985) generalizó la versión Hartman-Wintner de LIL a caminatas aleatorias que satisfacen condiciones más suaves.

Vovk (1987) derivó una versión de LIL válida para una sola secuencia caótica (secuencia aleatoria de Kolmogorov). Esto es notable, ya que está fuera del ámbito de la teoría clásica de la probabilidad.

Yongge Wang (1996) mostró que la ley del logaritmo iterado también es válida para las secuencias pseudoaleatorias de tiempo polinómico. La herramienta de prueba de software basada en Java prueba si un generador pseudoaleatorio genera secuencias que satisfacen el LIL.

Balsubramani (2014) demostró un LIL no asintótico que se mantiene sobre caminos de muestra de martingala de tiempo finito . Esto incluye la martingala LIL, ya que proporciona límites de concentración y anti-concentración de muestras finitas coincidentes, y permite pruebas secuenciales y otras aplicaciones.

Ver también

• Logaritmo iterado
• movimiento browniano

Notas