Medida de Jordania - Jordan measure

En matemáticas , la medida de Peano-Jordan (también conocida como contenido de Jordan ) es una extensión de la noción de tamaño ( longitud , área , volumen ) a formas más complicadas que, por ejemplo, un triángulo , disco o paralelepípedo .

Resulta que para que un conjunto tenga la medida de Jordan, debe comportarse bien en un cierto sentido restrictivo. Por esta razón, ahora es más común trabajar con la medida de Lebesgue , que es una extensión de la medida de Jordan a una clase más grande de conjuntos. Históricamente hablando, la medida de Jordan fue la primera, hacia finales del siglo XIX. Por razones históricas, el término medida de Jordan ahora está bien establecido, a pesar de que no es una medida verdadera en su definición moderna, ya que los conjuntos medibles de Jordan no forman un álgebra σ. Por ejemplo, los conjuntos singleton en cada uno tienen una medida de Jordan de 0, mientras que una unión contable de ellos no es medible por Jordan. Por esta razón, algunos autores prefieren utilizar el término contenido de Jordan (ver el artículo sobre contenido ) .${\ Displaystyle \ {x \} _ {x \ in \ mathbb {R}}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q} \ cap [0,1]}$

La medida Peano-Jordan lleva el nombre de sus creadores, el matemático francés Camille Jordan y el matemático italiano Giuseppe Peano .

Medida de Jordan de "conjuntos simples"

Un conjunto simple es, por definición, una unión de rectángulos (posiblemente superpuestos).

El conjunto simple de arriba se descompuso como una unión de rectángulos que no se superponen.

Considere el espacio euclidiano R ⁿ . Uno comienza considerando productos de intervalos acotados.

${\ Displaystyle C = [a_ {1}, b_ {1}) \ times [a_ {2}, b_ {2}) \ times \ cdots \ times [a_ {n}, b_ {n})}$

que están cerrados en el extremo izquierdo y abiertos en el extremo derecho (los intervalos semiabiertos es una elección técnica; como vemos a continuación, se pueden usar intervalos cerrados o abiertos si se prefiere). Tal conjunto se llama un n - rectángulo dimensional , o simplemente un rectángulo . Uno define la medida de Jordan de tal rectángulo como el producto de las longitudes de los intervalos:

${\ Displaystyle m (C) = (b_ {1} -a_ {1}) (b_ {2} -a_ {2}) \ cdots (b_ {n} -a_ {n}).}$

A continuación, se consideran conjuntos simples , a veces llamados polirrectángulos , que son uniones finitas de rectángulos,

${\ Displaystyle S = C_ {1} \ cup C_ {2} \ cup \ cdots \ cup C_ {k}}$

para cualquier  k  ≥ 1.

No se puede definir la medida de Jordan de S simplemente como la suma de las medidas de los rectángulos individuales, porque tal representación de S está lejos de ser única y podría haber superposiciones significativas entre los rectángulos.

Afortunadamente, cualquier conjunto simple S puede reescribirse como una unión de otra familia finita de rectángulos, rectángulos que esta vez son mutuamente disjuntos , y luego se define la medida de Jordan m ( S ) como la suma de medidas de los rectángulos disjuntos.

Se puede demostrar que esta definición de la medida de Jordan de S es independiente de la representación de S como una unión finita de rectángulos disjuntos. Es en el paso de "reescritura" que se utiliza la suposición de que los rectángulos están hechos de intervalos semiabiertos.

Extensión a conjuntos más complicados

Un conjunto (representado en la imagen por la región dentro de la curva azul) es Jordan medible si y solo si se puede aproximar bien tanto desde el interior como desde el exterior mediante conjuntos simples (sus límites se muestran en verde oscuro y rosa oscuro respectivamente) .

Observe que un conjunto que es producto de intervalos cerrados,

${\ Displaystyle [a_ {1}, b_ {1}] \ times [a_ {2}, b_ {2}] \ times \ cdots \ times [a_ {n}, b_ {n}]}$

no es un juego simple, ni tampoco una pelota . Por lo tanto, hasta ahora el conjunto de conjuntos mensurables de Jordan es todavía muy limitado. El paso clave es entonces definir un conjunto acotado como medible por Jordan si está "bien aproximado" por conjuntos simples, exactamente de la misma manera que una función es integrable de Riemann si está bien aproximada por funciones constantes por partes.

Formalmente, para un conjunto acotado B , defina su medida de Jordan interior como

${\ Displaystyle m _ {*} (B) = \ sup _ {S \ subconjunto B} m (S)}$

y su medida exterior como

${\ Displaystyle m ^ {*} (B) = \ inf _ {S \ supset B} m (S)}$

donde el ínfimo y supremo se toman sobre conjuntos simples S . Se dice que el conjunto B es medible según Jordan si la medida interior de B es igual a la medida exterior. El valor común de las dos medidas es entonces llamado simplemente la medida de Jordan B .

Resulta que todos los rectángulos (abiertos o cerrados), así como todas las bolas, símplex , etc., son medibles con Jordan. Además, si se consideran dos funciones continuas , el conjunto de puntos entre las gráficas de esas funciones es Jordan medible siempre que ese conjunto esté acotado y el dominio común de las dos funciones sea Jordan medible. Cualquier unión finita e intersección de conjuntos medibles de Jordan es Jordan medible, así como la diferencia de conjuntos de dos conjuntos medibles de Jordan. Un conjunto compacto no es necesariamente medible. Por ejemplo, el gordo conjunto de Cantor no lo es. Su medida interior del Jordán se desvanece, ya que su complemento es denso ; sin embargo, su medida exterior de Jordania no desaparece, ya que no puede ser menor que (de hecho, es igual a) su medida de Lebesgue. Además, un conjunto abierto acotado no es necesariamente medible. Por ejemplo, el complemento del conjunto de Cantor gordo (dentro del intervalo) no lo es. Un conjunto acotado es medible por Jordan si y solo si su función indicadora es integrable de Riemann , y el valor de la integral es su medida de Jordan. [1]

De manera equivalente, para un conjunto B acotado, la medida de Jordan interior de B es la medida de Lebesgue del interior de B y la medida de Jordan exterior es la medida de Lebesgue del cierre . De esto se deduce que un conjunto acotado es Jordan medible si y solo si su límite tiene la medida de Lebesgue cero. (O de manera equivalente, si el límite tiene una medida de Jordan cero; la equivalencia se mantiene debido a la compacidad del límite).

La medida de Lebesgue

Esta última propiedad limita en gran medida los tipos de conjuntos que se pueden medir con Jordan. Por ejemplo, el conjunto de números racionales contenidos en el intervalo [0,1] no es Jordan medible, ya que su límite es [0,1] que no es de la medida de Jordan cero. Sin embargo, intuitivamente, el conjunto de números racionales es un conjunto "pequeño", ya que es contable , y debería tener "tamaño" cero. Eso es cierto, pero solo si se reemplaza la medida de Jordan por la medida de Lebesgue . La medida de Lebesgue de un conjunto es la misma que su medida de Jordan siempre que ese conjunto tenga una medida de Jordan. Sin embargo, la medida de Lebesgue se define para una clase mucho más amplia de conjuntos, como el conjunto de números racionales en un intervalo mencionado anteriormente, y también para conjuntos que pueden ser ilimitados o fractales . Además, la medida de Lebesgue, a diferencia de la medida de Jordan, es una medida verdadera , es decir, cualquier unión contable de conjuntos medibles de Lebesgue es medible de Lebesgue, mientras que las uniones contables de conjuntos medibles de Jordan no necesitan ser medibles de Jordan.

Referencias

• Emmanuele DiBenedetto (2002). Análisis real . Basilea, Suiza: Birkhäuser. ISBN   0-8176-4231-5 .
• Richard Courant; Fritz John (1999). Introducción al cálculo y análisis Volumen II / 1: Capítulos 1–4 (Clásicos de las matemáticas) . Berlín: Springer. ISBN   3-540-66569-2 .

enlaces externos

• Derwent, John. "Medida de Jordania" . MathWorld .
• Terekhin, AP (2001) [1994], "Medida de Jordan" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press