Elipsoide de Jacobi - Jacobi ellipsoid
Un elipsoide de Jacobi es un elipsoide triaxial (es decir, escaleno) en equilibrio hidrostático que surge cuando un cuerpo fluido autogravitante de densidad uniforme gira con una velocidad angular constante. Lleva el nombre del matemático alemán Carl Gustav Jacob Jacobi .
Historia
Antes de Jacobi, el esferoide de Maclaurin , que se formuló en 1742, se consideraba el único tipo de elipsoide que puede estar en equilibrio. Lagrange en 1811 consideró la posibilidad de que un elipsoide triaxial estuviera en equilibrio, pero concluyó que los dos ejes ecuatoriales del elipsoide deben ser iguales, lo que lleva de regreso a la solución del esferoide de Maclaurin . Pero Jacobi se dio cuenta de que la demostración de Lagrange es una condición de suficiencia, pero no necesaria. El comentó:
"Se cometería un grave error si se supusiera que los esferoides de revolución son las únicas figuras de equilibrio admisibles incluso bajo el supuesto restrictivo de superficies de segundo grado" (...) "De hecho, una simple consideración muestra que los elipsoides con tres ejes desiguales pueden muy bien ser figuras de equilibrio; y que uno puede asumir una elipse de forma arbitraria para la sección ecuatorial y determinar el tercer eje (que es también el menor de los tres ejes) y la velocidad angular de rotación de modo que el elipsoide sea un figura de equilibrio ".
Fórmula de Jacobi
Para un elipsoide con ejes semi-principales ecuatoriales y eje semi-principal polar , la velocidad angular alrededor está dada por
donde es la densidad y es la constante gravitacional , sujeta a la condición
Para valores fijos de y , la condición anterior tiene solución para tal que
Las integrales se pueden expresar en términos de integrales elípticas incompletas . En términos de la integral elíptica de forma simétrica de Carlson , la fórmula para la velocidad angular se convierte en
y la condición sobre el tamaño relativo de los ejes semi-principales es
El momento angular del elipsoide de Jacobi está dado por
donde es la masa del elipsoide y es el radio medio , el radio de una esfera del mismo volumen que el elipsoide.
Relación con el elipsoide de Dedekind
Los elipsoides de Jacobi y Dedekind son figuras de equilibrio para un cuerpo de fluido autogravitante homogéneo en rotación. Sin embargo, mientras el elipsoide de Jacobi gira corporalmente, sin flujo interno del fluido en el marco giratorio, el elipsoide de Dedekind mantiene una orientación fija, con el fluido constituyente circulando dentro de él. Ésta es una consecuencia directa del teorema de Dedekind .
Para cualquier elipsoide de Jacobi dado, existe un elipsoide de Dedekind con los mismos ejes semi-principales y la misma masa y con un campo de velocidad de flujo de
donde están las coordenadas cartesianas en los ejes alineados respectivamente con los ejes del elipsoide. Aquí está la vorticidad , que es uniforme en todo el esferoide ( ). La velocidad angular del elipsoide de Jacobi y la vorticidad del elipsoide de Dedekind correspondiente están relacionadas por
Es decir, cada partícula del fluido del elipsoide de Dedekind describe un circuito elíptico similar en el mismo período en el que el esferoide de Jacobi realiza una rotación.
En el caso especial de , los elipsoides de Jacobi y Dedekind (y el esferoide de Maclaurin) se vuelven uno y el mismo; la rotación corporal y el flujo circular equivalen a lo mismo. En este caso , como siempre ocurre con un cuerpo que gira rígidamente.
En el caso general, los elipsoides de Jacobi y Dedekind tienen la misma energía, pero el momento angular del esferoide de Jacobi es mayor en un factor de
Ver también
- Esferoide de Maclaurin
- Elipsoide de Riemann
- Elipsoide de Roche
- Problema elipsoidal de Dirichlet
- Esferoide
- Elipsoide