Ortogonalidad hiperbólica - Hyperbolic orthogonality

La ortogonalidad euclidiana se conserva por rotación en el diagrama de la izquierda; la ortogonalidad hiperbólica con respecto a la hipérbola (B) se conserva mediante rotación hiperbólica en el diagrama de la derecha

En geometría , la relación de ortogonalidad hiperbólica entre dos líneas separadas por las asíntotas de una hipérbola es un concepto utilizado en la relatividad especial para definir eventos simultáneos. Dos eventos serán simultáneos cuando estén en una línea hiperbólicamente ortogonal a una línea de tiempo en particular. Esta dependencia de una determinada línea de tiempo está determinada por la velocidad y es la base de la relatividad de la simultaneidad .

Geometría

Dos líneas son ortogonales hiperbólicas cuando son reflejos entre sí sobre la asíntota de una hipérbola dada . Dos hipérbolas particulares se utilizan con frecuencia en el avión:

(A) xy = 1 con y = 0 como asíntota.
Cuando se refleja en el eje x, una línea y = mx se convierte en y = - mx .
En este caso, las líneas son ortogonales hiperbólicas si sus pendientes son inversas aditivas .
(B) x 2 - y 2 = 1 con y = x como asíntota.
Para las líneas y = mx con −1 < m <1, cuando x = 1 / m , entonces y = 1.
El punto (1 / m , 1) de la línea se refleja en y = x hasta (1, 1 / m ).
Por lo tanto, la línea reflejada tiene una pendiente de 1 / my las pendientes de las líneas ortogonales hiperbólicas son recíprocas entre sí.

La relación de ortogonalidad hiperbólica en realidad se aplica a clases de líneas paralelas en el plano, donde cualquier línea en particular puede representar la clase. Así, por una hipérbola dada y asíntota A , un par de líneas ( un , b ) son hiperbólica ortogonal si hay un par ( c , d ) de manera que , y c es el reflejo de d a través de A .

Similar a la perpendularidad del radio de un círculo a la tangente , un radio a una hipérbola es hiperbólico ortogonal a una tangente a la hipérbola.

Se utiliza una forma bilineal para describir la ortogonalidad en la geometría analítica, con dos elementos ortogonales cuando su forma bilineal desaparece. En el plano de los números complejos , la forma bilineal es , mientras que en el plano de los números hiperbólicos la forma bilineal es

Se dice que los vectores z 1 y z 2 en el plano numérico complejo, y w 1 y w 2 en el plano numérico hiperbólico son respectivamente ortogonal euclidiana o ortogonal hiperbólica si sus respectivos productos internos [formas bilineales] son ​​cero.

La forma bilineal se puede calcular como la parte real del producto complejo de un número con el conjugado del otro. Entonces

implica perpendicularidad en el plano complejo, mientras que
implica que las w son hiperbólicas ortogonales.

La noción de ortogonalidad hiperbólica surgió en la geometría analítica al considerar los diámetros conjugados de elipses e hipérbolas. si g y g ′ representan las pendientes de los diámetros conjugados, entonces en el caso de una elipse y en el caso de una hipérbola. Cuando a = b, la elipse es un círculo y los diámetros conjugados son perpendiculares mientras que la hipérbola es rectangular y los diámetros conjugados son hiperbólicos-ortogonales.

En la terminología de la geometría proyectiva , la operación de tomar la línea ortogonal hiperbólica es una involución . Suponga que la pendiente de una línea vertical se denota ∞ de modo que todas las líneas tienen una pendiente en la línea real proyectada extendida . Entonces, cualquiera que sea la hipérbola (A) o (B) que se utilice, la operación es un ejemplo de una involución hiperbólica donde la asíntota es invariante. Las líneas hiperbólicamente ortogonales se encuentran en diferentes sectores del plano, determinadas por las asíntotas de la hipérbola, por lo que la relación de ortogonalidad hiperbólica es una relación heterogénea en conjuntos de líneas en el plano.

Simultaneidad

Desde la fundación de Hermann Minkowski para el estudio del espacio-tiempo en 1908, el concepto de puntos en un plano del espacio-tiempo que son hiperbólicos-ortogonales a una línea de tiempo (tangente a una línea del mundo ) se ha utilizado para definir la simultaneidad de eventos en relación con la línea de tiempo. En el desarrollo de Minkowski se utiliza la hipérbola de tipo (B) anterior. Dos vectores ( x 1 , y 1 , z 1 , t 1 ) y ( x 2 , y 2 , z 2 , t 2 ) son normales (es decir, ortogonal hiperbólica) cuando

Cuando c = 1 y y s y z s son cero, x 1 ≠ 0, t 2 ≠ 0, entonces .

Dada una hipérbola con asíntota A , su reflejo en A produce la hipérbola conjugada . Cualquier diámetro de la hipérbola original se refleja en un diámetro conjugado . Las direcciones indicadas por los diámetros conjugados se toman para los ejes de espacio y tiempo en relatividad. Como escribió ET Whittaker en 1910, "[la] hipérbola no se altera cuando cualquier par de diámetros conjugados se toman como nuevos ejes, y se toma una nueva unidad de longitud proporcional a la longitud de cualquiera de estos diámetros". Sobre este principio de relatividad , luego escribió la transformación de Lorentz en la forma moderna usando rapidez .

Edwin Bidwell Wilson y Gilbert N. Lewis desarrollaron el concepto dentro de la geometría sintética en 1912. Señalan que "en nuestro plano ningún par de líneas perpendiculares [hiperbólicas-ortogonales] es más adecuado para servir como ejes de coordenadas que cualquier otro par".

Referencias