Oscilación de caza - Hunting oscillation

Oscilación de caza en juegos de ruedas de ferrocarril

La oscilación de caza es una auto-oscilación , generalmente no deseada, sobre un equilibrio . La expresión entró en uso en el siglo XIX y describe cómo un sistema "busca" el equilibrio. La expresión se utiliza para describir fenómenos en campos tan diversos como la electrónica, la aviación, la biología y la ingeniería ferroviaria.

Juegos de ruedas ferroviarias

Una oscilación de caza clásica es un movimiento de balanceo de un vehículo ferroviario (a menudo llamado caza de camión o caza de bogie ) causado por la acción de conificación de la que depende la estabilidad direccional de un ferrocarril de adherencia . Surge de la interacción de las fuerzas de adhesión y las fuerzas de inercia . A baja velocidad, domina la adhesión pero, a medida que aumenta la velocidad, las fuerzas de adhesión y las fuerzas de inercia se vuelven comparables en magnitud y la oscilación comienza a una velocidad crítica. Por encima de esta velocidad, el movimiento puede ser violento, dañar la vía y las ruedas y causar un posible descarrilamiento . El problema no se produce en los sistemas con un diferencial porque la acción depende de ambas ruedas de un eje montado que gira a la misma velocidad angular, aunque las diferencias tienden a ser poco frecuente, y los trenes convencionales tienen sus ruedas fijas a los ejes de dos en dos en su lugar. Algunos trenes, como el Talgo 350 , no tienen diferencial, pero la mayoría de las veces no se ven afectados por la oscilación oscilante, ya que la mayoría de sus ruedas giran de forma independiente entre sí. Sin embargo, las ruedas del automóvil motorizado pueden verse afectadas por la oscilación de caza, porque las ruedas del automóvil motorizado están fijadas a los ejes en pares como en los bogies convencionales. Las ruedas menos cónicas y los bogies equipados con ruedas independientes que giran independientemente entre sí y no están fijados a un eje por parejas son más económicos que un diferencial adecuado para los bogies de un tren.

El problema se notó por primera vez a fines del siglo XIX, cuando la velocidad del tren se volvió lo suficientemente alta como para encontrarlo. En la década de 1930 se pusieron en marcha serios esfuerzos para contrarrestarlo, lo que dio lugar a camiones alargados y al camión de suspensión oscilante con amortiguación lateral . En el desarrollo del Shinkansen japonés , se utilizaron ruedas menos cónicas y otros cambios de diseño para extender las velocidades de diseño del camión por encima de 225 km / h (140 mph). Los avances en el diseño de ruedas y camiones basados en los esfuerzos de investigación y desarrollo en Europa y Japón han extendido las velocidades de los sistemas de ruedas de acero mucho más allá de las alcanzadas por el Shinkansen original , mientras que la ventaja de la compatibilidad con versiones anteriores mantiene dicha tecnología dominante sobre alternativas como el tren hoverter. y sistemas maglev . El récord de velocidad para los trenes de ruedas de acero lo tiene el TGV francés , a 574,9 km / h (357 mph).

Análisis cinemático

Diagrama, desde el frente, de un juego de ruedas desplazado lateralmente sobre rieles (modelado como círculos). Etiquetas: en una línea de circunferencia de la rueda, "Posición del punto de contacto para marcha recta"; en el radio de esa circunferencia, "Radio nominal"; en la distancia entre esa circunferencia y la parte superior del carril, "Desplazamiento lateral"; general: "El centro de curvatura es la intersección de la línea de contacto y la línea central del juego de ruedas".

Cinemática de la acción del cono de ruedas de ferrocarril

Si bien una descripción cualitativa proporciona cierta comprensión del fenómeno, una comprensión más profunda inevitablemente requiere un análisis matemático de la dinámica del vehículo . Incluso entonces, los resultados pueden ser solo aproximados.

Una descripción cinemática se ocupa de la geometría del movimiento, sin hacer referencia a las fuerzas que lo causan, por lo que el análisis comienza con una descripción de la geometría de un juego de ruedas que corre sobre una pista recta. Dado que la segunda ley de Newton relaciona las fuerzas con la aceleración de los cuerpos, las fuerzas que actúan pueden derivarse de la cinemática calculando las aceleraciones de los componentes. Sin embargo, si estas fuerzas cambian la descripción cinemática (como lo hacen en este caso), es posible que los resultados solo sean aproximadamente correctos.

Supuestos y descripción no matemática

Esta descripción cinemática hace una serie de suposiciones simplificadoras ya que ignora las fuerzas. Por un lado, asume que la resistencia a la rodadura es cero. Un juego de ruedas (no unido a un tren o camión ), se empuja hacia adelante en una vía recta y nivelada. El juego de ruedas comienza a deslizarse y nunca se ralentiza ya que no hay fuerzas (excepto las fuerzas hacia abajo en el juego de ruedas para que se adhiera a la pista y no se deslice). Si inicialmente el juego de ruedas está centrado en la vía del tren, los diámetros efectivos de cada rueda son los mismos y el juego de ruedas rueda por la vía en una línea perfectamente recta para siempre. Pero si el juego de ruedas está un poco descentrado, de modo que los diámetros efectivos (o radios) son diferentes, entonces el juego de ruedas comienza a moverse en una curva de radio R (dependiendo de estos radios del juego de ruedas, etc .; que se derivará más adelante) . El problema es utilizar el razonamiento cinemático para encontrar la trayectoria del juego de ruedas, o más precisamente, la trayectoria del centro del juego de ruedas proyectada verticalmente sobre la calzada en el centro de la pista. Esta es una trayectoria en el plano de la superficie de la tierra nivelada y trazada en un gráfico x - y donde x es la distancia a lo largo del ferrocarril e y es el "error de seguimiento", la desviación del centro del juego de ruedas de la línea recta. del ferrocarril que recorre el centro de la vía (a medio camino entre los dos rieles).

Para ilustrar que la trayectoria de un juego de ruedas sigue una trayectoria curva, se puede colocar un clavo o tornillo en una mesa plana y empujarla. Rodará en una curva circular porque el clavo o tornillo es como un juego de ruedas con ruedas de diámetros extremadamente diferentes. La cabeza es análoga a una rueda de gran diámetro y el extremo puntiagudo es como una rueda de pequeño diámetro. Mientras que el clavo o el tornillo giran en un círculo completo (y más), el juego de ruedas de ferrocarril se comporta de manera diferente porque tan pronto como comienza a girar en una curva, los diámetros efectivos cambian de tal manera que disminuyen la curvatura del camino. Tenga en cuenta que "radio" y "curvatura" se refieren a la curvatura de la trayectoria del juego de ruedas y no a la curvatura del ferrocarril, ya que se trata de una vía perfectamente recta. A medida que avanza el juego de ruedas, la curvatura disminuye hasta que las ruedas alcanzan el punto donde sus diámetros efectivos son iguales y la trayectoria ya no se curva. Pero la trayectoria tiene una pendiente en este punto (es una línea recta que cruza diagonalmente sobre la línea central de la pista) de modo que sobrepasa la línea central de la pista y los diámetros efectivos se invierten (la rueda de diámetro antes más pequeño se convierte en el diámetro más grande y en cambio). Esto da como resultado que el juego de ruedas se mueva en una curva en la dirección opuesta. Nuevamente sobrepasa la línea central y este fenómeno continúa indefinidamente con el juego de ruedas oscilando de lado a lado. Tenga en cuenta que la brida de la rueda nunca hace contacto con el riel. En este modelo, se supone que los rieles siempre están en contacto con la banda de rodadura de la rueda a lo largo de la misma línea en la cabeza del riel, lo que supone que los rieles son de filo de cuchillo y solo hacen contacto con la banda de rodadura de la rueda a lo largo de una línea (de ancho cero).

Análisis matemático

El tren permanece en la vía gracias a la forma cónica de las huellas de las ruedas . Si un juego de ruedas se desplaza hacia un lado en una cantidad y (el error de seguimiento), el radio de la banda de rodadura en contacto con el riel en un lado se reduce, mientras que en el otro lado aumenta. La velocidad angular es la misma para ambas ruedas (están acopladas mediante un eje rígido ), por lo que la banda de rodadura de mayor diámetro se acelera, mientras que la más pequeña se ralentiza. El juego de ruedas gira alrededor de un centro de curvatura definido por la intersección del generador de un cono que pasa por los puntos de contacto con las ruedas en los rieles y el eje del juego de ruedas. Aplicando triángulos similares , tenemos para el radio de giro:

Cálculo del radio de giro

{\ Displaystyle {\ frac {1} {R}} = {\ frac {2ky} {rd}}}

donde d es el ancho de vía , r el radio de la rueda cuando se circula en línea recta yk es el cono de la banda de rodadura (que es la pendiente de la banda de rodadura en la dirección horizontal perpendicular a la vía).

La trayectoria del juego de ruedas con respecto a la pista recta se define mediante una función y ( x ), donde x es el progreso a lo largo de la pista. Esto a veces se denomina error de seguimiento. Siempre que la dirección del movimiento permanezca más o menos paralela a los rieles, la curvatura de la ruta puede estar relacionada con la segunda derivada de y con respecto a la distancia a lo largo de la pista como aproximadamente

{\ Displaystyle \ left | {\ frac {\ operatorname {d} ^ {2} y} {\ operatorname {d} x ^ {2}}} \ right | \ approx {\ frac {1} {R}}}

De ello se deduce que la trayectoria a lo largo de la pista se rige por la ecuación:

{\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d} ^ {2} y} {\ operatorname {d} x ^ {2}}} = - \ left ({\ frac {2k} {rd}} \ right) y }

Este es un movimiento armónico simple que tiene una longitud de onda:

{\ Displaystyle \ lambda = 2 \ pi {\ sqrt {\ frac {rd} {2k}}}}

conocida como fórmula de Klingel (derivada en 1883)

Este análisis cinemático implica que los trenes se balancean de un lado a otro todo el tiempo. De hecho, esta oscilación se amortigua por debajo de una velocidad crítica y, en consecuencia, la conducción es más cómoda. El resultado cinemático ignora las fuerzas que causan el movimiento. Estos pueden analizarse utilizando el concepto de fluencia (no lineal) pero son algo difíciles de cuantificar simplemente, ya que surgen de la distorsión elástica de la rueda y el carril en las regiones de contacto. Estos son el tema de la mecánica de contacto por fricción ; Carter presentó una presentación temprana que incluye estos efectos en el análisis del movimiento de caza. Consulte Knothe para obtener una descripción histórica.

Si el movimiento es sustancialmente paralelo a los rieles, el desplazamiento angular del juego de ruedas viene dado por: ${\ Displaystyle \ left (\ theta \ right)}$

{\ Displaystyle \ theta = {\ frac {\ operatorname {d} y} {\ operatorname {d} x}}}

Por eso:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {\ operatorname {d} \ theta} {\ operatorname {d} x}} & = {\ frac {\ operatorname {d} ^ {2} y} {\ operatorname {d} x ^ {2}}} = - \ left ({\ frac {2k} {rd}} \ right) y \\ {\ frac {\ operatorname {d} ^ {2} \ theta} {\ operatorname {d} x ^ {2}}} & = - \ left ({\ frac {2k} {rd}} \ right) {\ frac {\ operatorname {d} y} {\ operatorname {d} x}} = - \ left ({\ frac {2k} {rd}} \ right) \ theta \ end {alineado}}}

La desviación angular también sigue un movimiento armónico simple, que se retrasa detrás del movimiento de lado a lado en un cuarto de ciclo. En muchos sistemas que se caracterizan por un movimiento armónico que implica dos estados diferentes (en este caso, la desviación de guiñada del eje y el desplazamiento lateral), el retraso de un cuarto de ciclo entre los dos movimientos confiere al sistema la capacidad de extraer energía del movimiento de avance. Este efecto se observa en el " aleteo " de las alas de los aviones y el " temblor " de los vehículos de carretera, así como en la caza de los vehículos ferroviarios. La solución cinemática derivada arriba describe el movimiento a la velocidad crítica.

En la práctica, por debajo de la velocidad crítica, el retraso entre los dos movimientos es menor que un cuarto de ciclo, de modo que el movimiento se amortigua pero, por encima de la velocidad crítica, el retraso es mayor que un cuarto de ciclo para que el movimiento se amplifique.

Para estimar las fuerzas de inercia , es necesario expresar las derivadas de distancia como derivadas de tiempo . Esto se hace usando la velocidad del vehículo U , que se supone constante:

{\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} t}} = U {\ frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} x}}}

La aceleración angular del eje en guiñada es:

{\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d} ^ {2} \ theta} {\ operatorname {d} t ^ {2}}} = - U ^ {2} \ left ({\ frac {2k} {rd }} \ derecha) \ theta}

El momento de inercia (ignorando los efectos giroscópicos) es:

{\ displaystyle Fd = C {\ frac {\ operatorname {d} ^ {2} \ theta} {\ operatorname {d} t ^ {2}}}}

donde F es la fuerza que actúa a lo largo de los rieles y C es el momento de inercia del juego de ruedas.

{\ Displaystyle F = -CU ^ {2} \ left ({\ frac {2k} {rd ^ {2}}} \ right) \ theta}

la fuerza de fricción máxima entre la rueda y el carril viene dada por:

{\ Displaystyle F = \ mu {\ frac {W} {2}}}

donde W es la carga por eje y es el coeficiente de fricción . El deslizamiento brusco ocurrirá con una combinación de velocidad y deflexión del eje dada por: ${\ Displaystyle \ mu}$

{\ Displaystyle \ theta U ^ {2} = \ mu W {\ frac {rd ^ {2}} {4Ck}}}

esta expresión produce una sobreestimación significativa de la velocidad crítica, pero ilustra la razón física por la que se produce la oscilación, es decir, las fuerzas de inercia se vuelven comparables con las fuerzas de adhesión por encima de una cierta velocidad. Limitar la fricción es una mala representación de la fuerza de adherencia en este caso.

Las fuerzas de adhesión reales surgen de la deformación de la banda de rodadura y el carril en la región de contacto. No hay ningún deslizamiento grave, solo distorsión elástica y algún deslizamiento local (deslizamiento por fluencia). Durante el funcionamiento normal, estas fuerzas se encuentran dentro de la restricción de fricción límite. Un análisis completo tiene en cuenta estas fuerzas, utilizando teorías de la mecánica del contacto rodante .

Sin embargo, el análisis cinemático asumió que no hubo deslizamiento en absoluto en el contacto rueda-carril. Ahora está claro que hay un deslizamiento por fluencia que hace que la trayectoria sinusoidal calculada del juego de ruedas (según la fórmula de Klingel) no sea exactamente correcta.

Balance de energía

Para obtener una estimación de la velocidad crítica, utilizamos el hecho de que la condición para la cual esta solución cinemática es válida corresponde al caso en el que no hay intercambio de energía neta con el entorno, por lo que considerando la energía cinética y potencial del sistema, deberíamos poder derivar la velocidad crítica.

Dejar:

{\ Displaystyle \ omega = {\ frac {\ operatorname {d} \ theta} {\ operatorname {d} t}}}

Usando el operador:

{\ Displaystyle \ omega {\ frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} \ theta}} = {\ frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} t}}}

la ecuación de la aceleración angular puede expresarse en términos de la velocidad angular en guiñada, : ${\ Displaystyle \ omega}$

{\ Displaystyle \ omega {\ frac {\ operatorname {d} \ omega} {\ operatorname {d} \ theta}} = - U ^ {2} \ left ({\ frac {2k} {rd}} \ right) \ theta}

integrando:

{\ Displaystyle {\ frac {1} {2}} \ omega ^ {2} = - {\ frac {1} {2}} U ^ {2} \ left ({\ frac {2k} {rd}} \ derecha) \ theta ^ {2}}

entonces la energía cinética debida a la rotación es:

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} C \ omega ^ {2} = - {\ frac {1} {2}} CU ^ {2} \ left ({\ frac {2k} {rd}} \ right) \ theta ^ {2}}

Diagrama, desde arriba, de un juego de ruedas en ángulo con respecto a los rieles. El ángulo del juego de ruedas con respecto a los rieles se denomina theta; el ancho de vía está etiquetado como d; el espaciado de los puntos de contacto se etiqueta d sobre cos theta.

Desplazamiento hacia el exterior de los puntos de contacto con la guiñada del eje

Cuando el eje se inclina, los puntos de contacto se mueven hacia afuera en las huellas de modo que la altura del eje se reduce. La distancia entre los puntos de apoyo aumenta a:

{\ Displaystyle {\ frac {d} {cos (\ theta)}} = d \ left (1 + {\ frac {1} {2}} \ theta ^ {2} \ right)}

(a segundo pedido de pequeñas cantidades). el desplazamiento del punto de apoyo desde los centros de los peldaños es:

{\ Displaystyle {\ frac {1} {2}} \ left (d + {\ frac {1} {2}} d \ theta ^ {2} -d \ right)}

la carga del eje cae por

{\ Displaystyle h = {\ frac {1} {4}} kd \ theta ^ {2}}

Por tanto, el trabajo realizado al bajar la carga por eje es:

{\ Displaystyle E = {\ frac {1} {4}} Wkd \ theta ^ {2}}

Esta es la energía perdida del sistema, por lo que para que el movimiento continúe, se debe extraer una cantidad igual de energía del movimiento de avance del juego de ruedas.

La velocidad de la rueda exterior viene dada por:

{\ Displaystyle V = {\ frac {U} {r}} \ left (r + ky \ right)}

La energía cinética es:

{\ Displaystyle {\ frac {1} {4}} m \ left (U ^ {2} + 2U ^ {2} {\ frac {ky} {r}} + U ^ {2} {\ frac {k ^ {2} y ^ {2}} {r ^ {2}}} \ right)}

para la rueda interior es

{\ Displaystyle {\ frac {1} {4}} m \ left (U ^ {2} -2U ^ {2} {\ frac {ky} {r}} + U ^ {2} {\ frac {k ^ {2} y ^ {2}} {r ^ {2}}} \ right)}

donde m es la masa de ambas ruedas.

El aumento de energía cinética es:

{\ Displaystyle \ delta E = {\ frac {1} {2}} m \ left ({\ frac {Uky} {r}} \ right) ^ {2}}

El movimiento continuará a amplitud constante siempre que la energía extraída del movimiento de avance, y que se manifiesta como un aumento de la energía cinética de la rueda ajustada en guiñada cero, sea igual a la energía potencial perdida por la disminución de la carga del eje en guiñada máxima. .

Ahora, de la cinemática:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} 2U {\ frac {ky} {rd}} & = \ omega \\\ delta E & = {\ frac {1} {8}} md ^ {2} \ omega ^ {2 } \ end {alineado}}}

pero

{\ Displaystyle \ omega ^ {2} = - U ^ {2} \ left ({\ frac {2k} {rd}} \ right) \ theta ^ {2}}

La energía cinética de traslación es

{\ Displaystyle \ delta E = - {\ frac {1} {8}} U ^ {2} md ^ {2} \ left ({\ frac {2k} {rd}} \ right) \ theta ^ {2} }

La energía cinética total es:

{\ Displaystyle T = {\ frac {1} {2}} U ^ {2} \ left (C + {\ frac {md ^ {2}} {4}} \ right) \ left ({\ frac {2k} {rd}} \ right) \ theta ^ {2}}

La velocidad crítica se encuentra a partir del balance energético:

{\ Displaystyle {\ frac {Wkd} {2}} = U ^ {2} {\ frac {2k} {rd}} \ left (C + {\ frac {md ^ {2}} {4}} \ right) }

Por tanto, la velocidad crítica viene dada por

{\ Displaystyle U ^ {2} = {\ frac {Wrd ^ {2}} {4C + md ^ {2}}}}

Esto es independiente del cono de la rueda, pero depende de la relación entre la carga del eje y la masa del juego de ruedas. Si las huellas fueran verdaderamente cónicas, la velocidad crítica sería independiente del ahusamiento. En la práctica, el desgaste de la rueda hace que el ahusamiento varíe a lo largo del ancho de la banda de rodadura, de modo que el valor del ahusamiento utilizado para determinar la energía potencial es diferente del utilizado para calcular la energía cinética. Denotando al primero como a , la velocidad crítica se convierte en:

{\ displaystyle U ^ {2} = {\ frac {Ward ^ {2}} {k (4C + md ^ {2})}}}

donde a es ahora un factor de forma determinado por el desgaste de la rueda . Este resultado se deriva en Wickens (1965) de un análisis de la dinámica del sistema utilizando métodos estándar de ingeniería de control .

Limitación del análisis simplificado

El movimiento de un juego de ruedas es mucho más complicado de lo que indicaría este análisis. Hay fuerzas de restricción adicionales aplicadas por la suspensión del vehículo y, a alta velocidad, el juego de ruedas generará pares giroscópicos adicionales , que modificarán la estimación de la velocidad crítica. Convencionalmente, un vehículo ferroviario tiene un movimiento estable a bajas velocidades, cuando alcanza altas velocidades, la estabilidad cambia a una forma inestable. El propósito principal del análisis no lineal de la dinámica del sistema de vehículos ferroviarios es mostrar el punto de vista de la investigación analítica de la bifurcación, la estabilidad lateral no lineal y el comportamiento de caza de los vehículos ferroviarios en una vía tangente. Este estudio describe el método de Bogoliubov para el análisis.

Dos cuestiones principales, a saber, asumir el cuerpo como un soporte fijo y la influencia de los elementos no lineales en el cálculo de la velocidad de caza, se centran principalmente en los estudios. Un vehículo ferroviario real tiene muchos más grados de libertad y, en consecuencia, puede tener más de una velocidad crítica; de ninguna manera es seguro que el movimiento más bajo esté dictado por el movimiento del juego de ruedas. Sin embargo, el análisis es instructivo porque muestra por qué ocurre la caza. A medida que aumenta la velocidad, las fuerzas de inercia se vuelven comparables con las fuerzas de adherencia. Es por eso que la velocidad crítica depende de la relación entre la carga del eje (que determina la fuerza de adherencia) y la masa del juego de ruedas (que determina las fuerzas de inercia).

Alternativamente, por debajo de una cierta velocidad, la energía que se extrae del movimiento de avance es insuficiente para reemplazar la energía perdida al bajar los ejes y el movimiento se amortigua; por encima de esta velocidad, la energía extraída es mayor que la pérdida de energía potencial y la amplitud aumenta.

La energía potencial en la guiñada máxima del eje puede aumentarse al incluir una restricción elástica en el movimiento de guiñada del eje, de modo que haya una contribución que surja de la tensión del resorte. La disposición de las ruedas en los bogies para aumentar la restricción del movimiento de guiñada de los juegos de ruedas y la aplicación de restricciones elásticas al bogie también aumenta la velocidad crítica. La introducción de fuerzas elásticas en la ecuación permite diseños de suspensión que están limitados solo por la aparición de un gran deslizamiento, en lugar de una caza clásica. La multa a pagar por la eliminación virtual de la caza es un camino recto, con un problema de derecho de paso asociado e incompatibilidad con la infraestructura heredada.

La caza es un problema dinámico que puede resolverse, al menos en principio, mediante un control de retroalimentación activo, que puede adaptarse a la calidad de la pista. Sin embargo, la introducción del control activo plantea problemas de confiabilidad y seguridad.

Poco después del inicio de la oscilación, se produce un gran deslizamiento y las bridas de las ruedas impactan en los rieles, lo que puede causar daños a ambos.

Vehículos de carretera y ferrocarril

Los ejes de ruedas de ferrocarril independientes son comunes en los vehículos de carretera y ferrocarril.

Muchos vehículos de carretera y ferrocarril cuentan con ejes y sistemas de suspensión independientes en cada rueda de ferrocarril. Cuando esto se combina con la presencia de ruedas de carretera en el riel, resulta difícil utilizar las fórmulas anteriores. Históricamente, los vehículos de carretera y ferrocarril tienen las ruedas delanteras ligeramente encajadas , lo que se ha descubierto que minimiza las oscilaciones mientras el vehículo se conduce sobre rieles.

Ver también

Para conocer los métodos generales que se ocupan de esta clase de problemas, consulte

Ingeniería de control

Referencias

Iwnicki, Simon (2006). Manual de dinámica de vehículos ferroviarios . Prensa CRC.
Shabana, Ahmed A .; et al. (2008). Dinámica de vehículos ferroviarios: un enfoque computacional . Prensa CRC.
Wickens, AH (1 de enero de 2003). Fundamentos de la dinámica de los vehículos ferroviarios: guiado y estabilidad lateral . Swets & Zeitlinger.
Serajian, Reza (2013). Influencia cambiante de los parámetros con diferentes rigideces laterales en el análisis no lineal del comportamiento de caza de un bogie . Prensa CRC.
Serajian, Reza (2011). Efectos del bogie y la inercia del cuerpo en la caza no lineal del juego de ruedas reconocidos por la teoría de la bifurcación de hopf . Prensa CRC.

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