Grupo de Homeomorfismo - Homeomorphism group

En matemáticas , particularmente en topología , el grupo de homeomorfismos de un espacio topológico es el grupo que consiste en todos los homeomorfismos del espacio a sí mismo con la composición de funciones como la operación del grupo . Los grupos de homeomorfismo son muy importantes en la teoría de espacios topológicos y en general son ejemplos de grupos de automorfismo . Los grupos de homeomorfismo son invariantes topológicos en el sentido de que los grupos de homeomorfismo de espacios topológicos homeomorfos son isomorfos como grupos .

Propiedades y ejemplos

Hay una acción de grupo natural del grupo de homeomorfismo de un espacio en ese espacio. Sea un espacio topológico y denote el grupo de homeomorfismo de por . La acción se define de la siguiente manera: ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle G}$

${\ displaystyle {\ begin {align} G \ times X & \ longrightarrow X \\ (\ varphi, x) & \ longmapsto \ varphi (x) \ end {alineado}}}$

Esta es una acción grupal ya que para todos , ${\ Displaystyle \ varphi, \ psi \ in G}$

${\ Displaystyle \ varphi \ cdot (\ psi \ cdot x) = \ varphi (\ psi (x)) = (\ varphi \ circ \ psi) (x)}$

donde denota la acción del grupo, y el elemento de identidad de (que es la función de identidad en ) envía puntos a sí mismos. Si esta acción es transitiva , se dice que el espacio es homogéneo . ${\ Displaystyle \ cdot}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle X}$

Topología

Al igual que con otros conjuntos de mapas entre espacios topológicos, el grupo de homeomorfismo puede recibir una topología, como la topología compacta-abierta . En el caso de espacios regulares localmente compactos, la multiplicación de grupos es continua.

Si el espacio es compacto y de Hausdorff, la inversión también es continua y se convierte en un grupo topológico como se puede mostrar fácilmente. Si es Hausdorff, localmente compacto y conectado localmente, esto también es válido. Sin embargo, existen espacios métricos separables localmente compactos para los cuales el mapa de inversión no es continuo y, por lo tanto, no es un grupo topológico. ${\ Displaystyle \ operatorname {Homeo} (X)}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ operatorname {Homeo} (X)}$

En la categoría de espacios topológicos con homeomorfismos, los objetos grupales son exactamente grupos de homeomorfismos.

Grupo de clases de mapeo

En la topología geométrica especialmente, se considera el grupo cociente obtenido por quotienting a cabo por isotopía , llamado el grupo de la clase de mapeo :

${\ Displaystyle {\ rm {MCG}} (X) = {\ rm {Homeo}} (X) / {\ rm {Homeo}} _ {0} (X)}$

El MCG también se puede interpretar como la 0 ª grupo homotopy , . Esto produce la breve secuencia exacta : ${\ Displaystyle {\ rm {MCG}} (X) = \ pi _ {0} ({\ rm {Homeo}} (X))}$

${\ displaystyle 1 \ rightarrow {\ rm {Homeo}} _ {0} (X) \ rightarrow {\ rm {Homeo}} (X) \ rightarrow {\ rm {MCG}} (X) \ rightarrow 1.}$

En algunas aplicaciones, particularmente en superficies, el grupo de homeomorfismos se estudia a través de esta secuencia corta y exacta, y primero se estudia el grupo de clases de mapeo y el grupo de homeomorfismos isotópicamente triviales, y luego (a veces) la extensión.

Ver también

• Grupo de clases de mapeo

Referencias

• "grupo de homeomorfismo" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]