Hexágono - Hexagon

Hexágono regular
Polígono regular 6 annotated.svg
Un hexágono regular
Escribe Polígono regular
Aristas y vértices 6
Símbolo de Schläfli {6}, t {3}
Diagrama de Coxeter Nodo CDel 1.pngCDel 6.pngCDel node.png
Nodo CDel 1.pngCDel 3.pngNodo CDel 1.png
Grupo de simetría Diedro (D 6 ), orden 2 × 6
Ángulo interno ( grados ) 120 °
Polígono dual Uno mismo
Propiedades Convexo , cíclico , equilátero , isogonal , isotoxal

En geometría , un hexágono (del griego ἕξ , hex , que significa "seis", y γωνία , gonía , que significa "esquina, ángulo") es un polígono de seis lados o 6-gon. El total de los ángulos internos de cualquier hexágono simple (que no se interseca automáticamente) es 720 °.

Hexágono regular

Un hexágono regular tiene el símbolo de Schläfli {6} y también se puede construir como un triángulo equilátero truncado , t {3}, que alterna dos tipos de aristas.

Una animación paso a paso de la construcción de un hexágono regular utilizando compás y una regla , dada por Euclides 's Elementos , Libro IV, la Propuesta 15: esto es posible como 6 2 × 3, un producto de una potencia de dos y distinta Fermat primos .
Cuando se da la longitud del lado AB , al trazar un arco circular desde el punto A y el punto B se obtiene la intersección M, el centro del círculo circunscrito . Transfiera el segmento de línea AB cuatro veces en el círculo circunscrito y conecte los puntos de las esquinas.

Un hexágono regular se define como un hexágono que es tanto equilátero como equiangular . Es bicéntrico , lo que significa que es cíclico (tiene un círculo circunscrito) y tangencial (tiene un círculo inscrito).

La longitud común de los lados es igual al radio del círculo circunscrito o circunferencia , que es igual a multiplicado por la apotema (radio del círculo inscrito ). Todos los ángulos internos son de 120 grados . Un hexágono regular tiene seis simetrías rotacionales ( simetría rotacional de orden seis ) y seis simetrías de reflexión ( seis ejes de simetría ), que forman el grupo diedro D 6 . Las diagonales más largas de un hexágono regular, que conectan vértices diametralmente opuestos, tienen el doble de la longitud de un lado. De esto se puede ver que un triángulo con un vértice en el centro del hexágono regular y que comparte un lado con el hexágono es equilátero , y que el hexágono regular se puede dividir en seis triángulos equiláteros.

Al igual que los cuadrados y los triángulos equiláteros , los hexágonos regulares encajan sin ningún espacio para enlosar el plano (tres hexágonos se encuentran en cada vértice), por lo que son útiles para construir mosaicos . Las celdas de un panal de abejas son hexagonales por esta razón y porque la forma hace un uso eficiente del espacio y los materiales de construcción. El diagrama de Voronoi de una celosía triangular regular es la teselación en forma de panal de hexágonos. No suele considerarse un triambus , aunque es equilátero.

Parámetros

Hexágono regular 1.svg

El diámetro máximo (que corresponde a la diagonal larga del hexágono), D , es el doble del radio máximo o circunradio , R , que es igual a la longitud del lado, t . El diámetro mínimo o el diámetro del círculo inscrito (separación de lados paralelos, distancia de plano a plano, diagonal corta o altura cuando descansa sobre una base plana), d , es el doble del radio mínimo o inradio , r . Los máximos y mínimos están relacionados por el mismo factor:

    y, de manera similar,

El área de un hexágono regular

Para cualquier polígono regular , el área también se puede expresar en términos de la apotema a y el perímetro p . Para el hexágono regular, estos están dados por a = r , y p , por lo que

El hexágono regular llena la fracción de su círculo circunscrito .

Si un hexágono regular tiene vértices sucesivos A, B, C, D, E, F y si P es cualquier punto en el círculo circunferencial entre B y C, entonces PE + PF = PA + PB + PC + PD .

Se deduce de la relación de circunferencia circunscrita a inradio que la relación de altura a anchura de un hexágono regular es de 1: 1.1547005; es decir, un hexágono con una diagonal larga de 1.0000000 tendrá una distancia de 0.8660254 entre lados paralelos.

Punto en el plano

Para un punto arbitrario en el plano de un hexágono regular con circunradio , cuyas distancias al centroide del hexágono regular y sus seis vértices son y respectivamente, tenemos

Si son las distancias desde los vértices de un hexágono regular a cualquier punto de su círculo, entonces

Simetría

Las seis líneas de reflexión de un hexágono regular, con simetría Dih 6 o r12 , orden 12.
Las simetrías diédricas se dividen dependiendo de si pasan a través de vértices ( d para diagonales) o aristas ( p para perpendiculares). Las simetrías cíclicas en la columna central se etiquetan como g para sus órdenes de giro centrales. La simetría completa de la forma regular es r12 y ninguna simetría se etiqueta a1 .

El hexágono regular tiene simetría Dih 6 , orden 12. Hay tres subgrupos diedros: Dih 3 , Dih 2 y Dih 1 , y cuatro subgrupos cíclicos : Z 6 , Z 3 , Z 2 y Z 1 .

Estas simetrías expresan nueve simetrías distintas de un hexágono regular. John Conway los etiqueta por carta y orden de grupo. r12 es simetría completa y a1 no es simetría. p6 , un hexágono isogonal construido por tres espejos puede alternar bordes largos y cortos, y d6 , un hexágono isotoxal construido con longitudes de borde iguales, pero vértices alternando dos ángulos internos diferentes. Estas dos formas son duales entre sí y tienen la mitad del orden de simetría del hexágono regular. Las formas i4 son hexágonos regulares aplanados o estirados a lo largo de una dirección de simetría. Puede verse como un rombo alargado , mientras que d2 y p2 pueden verse como cometas alargadas horizontal y verticalmente . Los hexágonos g2 , con lados opuestos paralelos, también se denominan paralelogones hexagonales .

La simetría de cada subgrupo permite uno o más grados de libertad para las formas irregulares. Solo el subgrupo g6 no tiene grados de libertad, pero puede verse como bordes dirigidos .

Los hexágonos de simetría g2 , i4 y r12 , como paralelogones, pueden teselar el plano euclidiano por traslación. Otras formas hexagonales pueden revestir el plano con diferentes orientaciones.

p6m (* 632) cmm (2 * 22) p2 (2222) p31m (3 * 3) pmg (22 *) pg (× ×)
Azulejos isoédricos p6-13.png
r12
Azulejos isoédricos p6-12.png
i4
Azulejos isoédricos p6-7.png
g2
Azulejos isoédricos p6-11.png
d2
Azulejos isoédricos p6-10.png
d2
Azulejos isoédricos p6-9.png
p2
Azulejos isoédricos p6-1.png
a1
Dih 6 Dih 2 Z 2 Dih 1 Z 1

Grupos A2 y G2

Sistema raíz A2.svg
Raíces del grupo A2
Dyn-node n1.pngDyn-3.pngDyn-node n2.png
Sistema raíz G2.svg
Raíces del grupo G2
Dyn2-nodeg n1.pngDyn2-6a.pngDyn2-node n2.png

Las 6 raíces del grupo de Lie simple A2 , representadas por un diagrama de Dynkin Dyn-node n1.pngDyn-3.pngDyn-node n2.png, están en un patrón hexagonal regular. Las dos raíces simples tienen un ángulo de 120 ° entre ellas.

Las 12 raíces del grupo de mentiras excepcionales G2 , representadas por un diagrama de Dynkin Dyn2-nodeg n1.pngDyn2-6a.pngDyn2-node n2.pngtambién están en un patrón hexagonal. Las dos raíces simples de dos longitudes tienen un ángulo de 150 ° entre ellas.

Disección

Proyección de 6 cubos 12 disección de rombos
6 cubos t0 A5.svg Disección rómbica de 6 gones-tamaño2.svg Disección rómbica de 6 gones2-size2.svg

Coxeter afirma que cada zonogon (un 2 m -gon cuyos lados opuestos son paralelos y de igual longitud) se puede diseccionar en m ( m -1) / 2 paralelogramos. En particular, esto es cierto para polígonos regulares con muchos lados uniformes, en cuyo caso los paralelogramos son todos rombos. Esta descomposición de un hexágono regular se basa en una proyección poligonal de Petrie de un cubo , con 3 de 6 caras cuadradas. Otros paralelogones y direcciones proyectivas del cubo se disecan dentro de cuboides rectangulares .

Disección de hexágonos en tres rombos y paralelogramos
2D Rombos Paralelogramos
Disección hexagonal.svg Cube-sesgo-ortogonal-sesgo-sólido.png Cuboide diagonal-ortogonal-solid.png Sólido-ortogonal-oblicuo-cuboide.png
Regular {6} Paralelogones hexagonales
3D Caras cuadradas Caras rectangulares
Graph.svg de 3 cubos Cube-sesgo-ortogonal-marco-sesgado.png Cuboide diagonal-ortogonal-frame.png Cuadro-ortogonal-sesgado-cuboide.png
Cubo Cuboide rectangular

Polígonos y teselados relacionados

Un hexágono regular tiene el símbolo de Schläfli {6}. Un hexágono regular es parte del mosaico hexagonal regular , {6,3}, con tres caras hexagonales alrededor de cada vértice.

También se puede crear un hexágono regular como un triángulo equilátero truncado , con el símbolo de Schläfli t {3}. Vista con dos tipos (colores) de aristas, esta forma solo tiene simetría D 3 .

Un hexágono truncado , t {6}, es un dodecágono , {12}, alternando dos tipos (colores) de aristas. Un hexágono alterno , h {6}, es un triángulo equilátero , {3}. Un hexágono regular se puede estrellar con triángulos equiláteros en sus bordes, creando un hexagrama . Un hexágono regular se puede diseccionar en seis triángulos equiláteros agregando un punto central. Este patrón se repite dentro del mosaico triangular regular .

Un hexágono regular se puede extender a un dodecágono regular agregando cuadrados alternos y triángulos equiláteros a su alrededor. Este patrón se repite dentro del mosaico rombitrihexagonal .

Polígono regular 6 annotated.svg Truncated triangle.svg Truncamiento regular 3 1000.svg Truncamiento regular 3 1.5.svg Truncamiento regular 3 0.55.svg Hexagram.svg Polígono regular 12 annotated.svg Polígono regular 3 annotated.svg
Regular
{6}

T truncado {3} = {6}
Triángulos hipertruncados
Estrella estrellada figura 2 {3}

T truncado {6} = {12}

H alterno {6} = {3}
Hexágono cuadrado cruzado.png Cara de icosaedro triámbico medial.png Gran icosaedro triámbico face.png Cúpula hexagonal plana.png Cubo petrie polygon sideview.png 3 cubos t0.svg T2.svg de 3 cubos 5-simplex graph.svg

Hexágono cruzado
Un hexágono cóncavo Un hexágono que se interseca a sí mismo ( polígono en estrella )
Central extendida {6} en {12}
Un hexágono sesgado , dentro del cubo Disecado {6} octaedro de proyección
Gráfico completo

Hexágonos que se cruzan automáticamente

Hay seis hexágonos que se cruzan automáticamente con la disposición de vértice del hexágono regular:

Hexágonos auto-intersectantes con vértices regulares
Dih 2 Dih 1 Dih 3
Hexágono cruzado1.svg
Figura ocho
Hexágono cruzado2.svg
Centro-flip
Hexágono cruzado3.svg
Unicursal
Hexágono cruzado4.svg
Cola de pez
Hexágono cruzado5.svg
Doble cola
Hexágono cruzado6.svg
Triple cola

Estructuras hexagonales

Primer plano de la Calzada del Gigante

Desde los panales de abejas hasta la Calzada de los Gigantes , los patrones hexagonales prevalecen en la naturaleza debido a su eficiencia. En una cuadrícula hexagonal, cada línea es lo más corta posible si se va a rellenar un área grande con el menor número de hexágonos. Esto significa que los panales requieren menos cera para construirse y ganan mucha fuerza bajo compresión .

Los hexágonos irregulares con bordes opuestos paralelos se denominan paralelogones y también pueden enlosar el plano por traslación. En tres dimensiones, los prismas hexagonales con caras opuestas paralelas se denominan paraleloedros y estos pueden teselar 3 espacios por traslación.

Teselaciones de prisma hexagonal
Formulario Azulejos hexagonales Nido de abeja prismático hexagonal
Regular Azulejos uniformes 63-t0.png Panal prismático hexagonal.png
Paralelogonal Azulejos isoédricos p6-7.png Inclinación prisma hexagonal panal.png

Teselaciones por hexágonos

Además del hexágono regular, que determina una teselación única del plano, cualquier hexágono irregular que satisfaga el criterio de Conway enlosará el plano.

Hexágono inscrito en una sección cónica

El teorema de Pascal (también conocido como el "Teorema del Hexagrammum Mysticum") establece que si se inscribe un hexágono arbitrario en cualquier sección cónica , y los pares de lados opuestos se extienden hasta que se encuentran, los tres puntos de intersección estarán en una línea recta, el " Pascal line "de esa configuración.

Hexágono cíclico

El hexágono de Lemoine es un hexágono cíclico (inscrito en un círculo) con vértices dados por las seis intersecciones de las aristas de un triángulo y las tres líneas que son paralelas a las aristas que pasan por su punto simmediano .

Si los lados sucesivos de un hexágono cíclico son a , b , c , d , e , f , entonces las tres diagonales principales se cruzan en un solo punto si y solo si ace = bdf .

Si, para cada lado de un hexágono cíclico, los lados adyacentes se extienden hasta su intersección, formando un triángulo exterior al lado dado, entonces los segmentos que conectan los circuncentros de triángulos opuestos son concurrentes .

Si un hexágono tiene vértices en la circunferencia de un triángulo agudo en los seis puntos (incluidos los tres vértices del triángulo) donde las altitudes extendidas del triángulo se encuentran con la circunferencia, entonces el área del hexágono es el doble del área del triángulo.

Hexágono tangencial a una sección cónica

Sea ABCDEF un hexágono formado por seis rectas tangentes de una sección cónica. Luego, el teorema de Brianchon establece que las tres diagonales principales AD, BE y CF se cruzan en un solo punto.

En un hexágono que es tangencial a un círculo y que tiene lados consecutivos a , b , c , d , e y f ,

Triángulos equiláteros en los lados de un hexágono arbitrario

Triángulos equiláteros en los lados de un hexágono arbitrario

Si un triángulo equilátero se construye externamente en cada lado de cualquier hexágono, entonces los puntos medios de los segmentos que conectan los centroides de los triángulos opuestos forman otro triángulo equilátero.

Inclinar el hexágono

Un hexágono oblicuo regular visto como bordes (negros) de un antiprisma triangular , simetría D 3d , [2 + , 6], (2 * 3), orden 12.

Un hexágono sesgado es un polígono sesgado con seis vértices y aristas, pero que no existe en el mismo plano. El interior de tal hexágono no está definido en general. Un hexágono en zig-zag sesgado tiene vértices que alternan entre dos planos paralelos.

Un hexágono sesgado regular es transitivo a vértices con longitudes de arista iguales. En tres dimensiones será un hexágono sesgado en zig-zag y se puede ver en los vértices y aristas laterales de un antiprisma triangular con la misma simetría D 3d , [2 + , 6], orden 12.

El cubo y el octaedro (igual que el antiprisma triangular) tienen hexágonos oblicuos regulares como polígonos de petrie.

Inclinar hexágonos en ejes triples
Cubo petrie.png
Cubo
Octaedro petrie.png
Octaedro

Polígonos de Petrie

El hexágono de sesgo regular es el polígono de Petrie para estos poliedros y politopos regulares , uniformes y duales de mayor dimensión , que se muestran en estas proyecciones ortogonales de sesgo :

4D 5D
3-3 duoprisma orto-Dih3.png
3-3 duoprisma
3-3 duopyramid ortho.png
3-3 duopirámide
5-simplex t0.svg
5 simplex

Hexágono equilátero convexo

Una diagonal principal de un hexágono es una diagonal que divide el hexágono en cuadriláteros. En cualquier hexágono equilátero convexo (uno con todos los lados iguales) con lado común a , existe una diagonal principal d 1 tal que

y una diagonal principal d 2 tal que

Poliedros con hexágonos

No hay un sólido platónico hecho solo de hexágonos regulares, porque los hexágonos se teselan , lo que no permite que el resultado se "pliegue". Los sólidos de Arquímedes con algunas caras hexagonales son el tetraedro truncado , el octaedro truncado , el icosaedro truncado (de balón de fútbol y la fama de fullereno ), el cuboctaedro truncado y el icosidodecaedro truncado . Estos hexágonos pueden considerarse triángulos truncados , con diagramas de Coxeter de la formaNodo CDel 1.pngCDel 3.pngNodo CDel 1.pngCDel p.pngCDel node.png y Nodo CDel 1.pngCDel 3.pngNodo CDel 1.pngCDel p.pngNodo CDel 1.png.

Existen otros poliedros de simetría con hexágonos estirados o aplanados, como estos poliedros Goldberg G (2,0):

También hay 9 sólidos de Johnson con hexágonos regulares:

Galería de hexágonos naturales y artificiales

Ver también

Referencias

enlaces externos

Familia Un n B n Yo 2 (p) / D n E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2 H n
Polígono regular Triángulo Cuadrado p-gon Hexágono Pentágono
Poliedro uniforme Tetraedro OctaedroCubo Demicubo DodecaedroIcosaedro
Policoron uniforme Pentacoron 16 celdasTesseract Demitesseract 24 celdas 120 celdas600 celdas
5 politopos uniformes 5 simplex 5-ortoplex5-cubo 5-demicubo
6 politopos uniformes 6-simplex 6 ortoplex6 cubos 6-demicubo 1 222 21
7 politopos uniformes 7-simplex 7-ortoplex7-cubo 7-demicubo 1 322 313 21
Politopo uniforme de 8 8 simplex 8 ortoplex8 cubos 8-demicubo 1 422 414 21
9 politopos uniformes 9 simplex 9-ortoplex9-cubo 9-demicubo
Politopo uniforme 10 10-simplex 10-ortoplex10-cubo 10-demicubo
Uniforme n - politopo n - simplex n - ortoplejon - cubo n - demicube 1 k22 k1k 21 n - politopo pentagonal
Temas: familias Polytopepolitopo regularLista de politopos regulares y compuestos