Transformación de Helmert - Helmert transformation

La transformación de un marco de referencia 1 a un marco de referencia 2 se puede describir con tres traslaciones Δx, Δy, Δz, tres rotaciones Rx, Ry, Rz y un parámetro de escala μ.

La transformación de Helmert (que lleva el nombre de Friedrich Robert Helmert , 1843-1917) es un método de transformación geométrica dentro de un espacio tridimensional . Se utiliza con frecuencia en geodesia para producir transformaciones de datum entre datums . La transformación de Helmert también se denomina transformación de siete parámetros y es una transformación de similitud .

Definición

Puede expresarse como:

dónde

  • X T es el vector transformado
  • X es el vector inicial

Los parámetros son:

Variaciones

Un caso especial es la transformación bidimensional de Helmert. Aquí, solo se necesitan cuatro parámetros (dos traslaciones, una escala, una rotación). Estos se pueden determinar a partir de dos puntos conocidos; si hay más puntos disponibles, se pueden realizar comprobaciones.

A veces es suficiente usar la transformación de cinco parámetros , compuesta por tres traslaciones, solo una rotación alrededor del eje Z y un cambio de escala.

Restricciones

La transformación de Helmert solo usa un factor de escala, por lo que no es adecuada para:

  • La manipulación de dibujos y fotografías medidos
  • La comparación de las deformaciones del papel al escanear planos y mapas antiguos.

En estos casos, es preferible una transformación afín más general .

Solicitud

La transformación de Helmert se utiliza, entre otras cosas, en geodesia para transformar las coordenadas del punto de un sistema de coordenadas a otro. Utilizándolo, es posible convertir los puntos topográficos regionales en las ubicaciones WGS84 utilizadas por GPS .

Por ejemplo, empezando con la de Gauss-Krüger de coordenadas , x y y , además de la altura, h , se convierten en valores en 3D en pasos:

  1. Deshacer la proyección del mapa : cálculo de la latitud, longitud y altura elipsoidal ( W , L , H )
  2. Convertir de coordenadas geodésicas a coordenadas geocéntricas : Cálculo de x , y y z con respecto al elipsoide de referencia de Topografía
  3. Transformación 7-parámetro (donde x , y y z cambio casi uniformemente, unos pocos cientos de metros a lo sumo, y las distancias cambian unos pocos mm por km).
  4. Debido a esto, las posiciones medidas terrestres se pueden comparar con los datos del GPS; estos pueden luego incorporarse al levantamiento topográfico como nuevos puntos, transformados en el orden opuesto.

El tercer paso consiste en la aplicación de una matriz de rotación , la multiplicación con el factor de escala (con un valor cercano a 1) y la suma de las tres traslaciones, c x , c y , c z .

Las coordenadas de un sistema de referencia B se derivan del sistema de referencia A mediante la siguiente fórmula:

o para cada parámetro de la coordenada:

Para la transformación inversa, cada elemento se multiplica por -1.

Los siete parámetros se determinan para cada región con tres o más "puntos idénticos" de ambos sistemas. Para ponerlos de acuerdo, las pequeñas inconsistencias (generalmente solo unos pocos cm) se ajustan utilizando el método de mínimos cuadrados , es decir, se eliminan de una manera estadísticamente plausible.

Parámetros estándar

Nota: los ángulos de rotación dados en la tabla están en segundos de arco y deben convertirse a radianes antes de usarlos en el cálculo.
Región Inicio datum Dátum objetivo c x ( metro ) c y (metro) c z (metro) s ( ppm ) r x ( segundo de arco ) r y ( segundo de arco ) r z ( segundo de arco )
Eslovenia ETRS89 D48 D96 409.545 72.164 486.872 17,919665 −3,085957 −5,469110 11.020289
Inglaterra, Escocia, Gales WGS84 OSGB36 −446,448 125.157 −542,06 20.4894 −0,1502 −0,247 −0,8421
Irlanda WGS84 Irlanda 1965 −482,53 130.596 −564,557 −8,15 1.042 0,214 0,631
Alemania WGS84 DHDN −591,28 −81,35 −396,39 −9,82 1,4770 −0,0736 −1,4580
Alemania WGS84 Bessel 1841 −582 −105 −414 −8,3 −1,04 −0,35 3,08
Alemania WGS84 Krassovski 1940 −24 123 94 −1,1 −0,02 0,26 0,13
Austria (BEV) WGS84 MGI −577,326 −90,129 −463,920 −2,423 5.137 1,474 5.297
Estados Unidos WGS84 Clarke 1866 8 −160 −176 0 0 0 0

Estos son conjuntos de parámetros estándar para la transformación de 7 parámetros (o transformación de datos) entre dos referencias. Para una transformación en la dirección opuesta, se deben calcular los parámetros de transformación inversa o se debe aplicar la transformación inversa (como se describe en el artículo "Sobre transformaciones geodésicas"). Las traslaciones c x , c y , c z a veces se describen como t x , t y , t z , o dx , dy , dz . Las rotaciones r x , r y y r z a veces también se describen como , y . En el Reino Unido, el interés principal es la transformación entre el datum OSGB36 utilizado por el estudio Ordnance for Grid References en sus mapas Landranger y Explorer a la implementación WGS84 utilizada por la tecnología GPS. El sistema de coordenadas de Gauss-Krüger utilizado en Alemania normalmente se refiere al elipsoide de Bessel . Otro dato de interés fue ED50 (European Datum 1950) basado en el elipsoide de Hayford . ED50 era parte de los fundamentos de las coordenadas de la OTAN hasta la década de 1980, y muchos sistemas de coordenadas nacionales de Gauss-Krüger están definidos por ED50.

La tierra no tiene una forma elipsoidal perfecta, pero se describe como un geoide . En cambio, muchos elipsoides describen el geoide de la tierra. Dependiendo de la ubicación real, el "elipsoide mejor alineado localmente" se ha utilizado para fines topográficos y cartográficos. El conjunto de parámetros estándar proporciona una precisión de aproximadamente7 m para una transformación OSGB36 / WGS84. Esto no es lo suficientemente preciso para realizar encuestas, y Ordnance Survey complementa estos resultados mediante el uso de una tabla de búsqueda de traducciones adicionales para llegar aPrecisión de cm .

Estimando los parámetros

Si se desconocen los parámetros de transformación, se pueden calcular con puntos de referencia (es decir, puntos cuyas coordenadas se conocen antes y después de la transformación. Dado que hay que determinar un total de siete parámetros (tres traslaciones, una escala, tres rotaciones), Se deben conocer al menos dos puntos y una coordenada de un tercer punto (por ejemplo, la coordenada Z). Esto da un sistema con siete ecuaciones y siete incógnitas, que se pueden resolver.

En la práctica, es mejor utilizar más puntos. A través de esta correspondencia, se obtiene una mayor precisión y se hace posible una evaluación estadística de los resultados. En este caso, el cálculo se ajusta con el método de mínimos cuadrados gaussianos .

Se obtiene un valor numérico para la precisión de los parámetros de transformación calculando los valores en los puntos de referencia y ponderando los resultados en relación con el centroide de los puntos.

Si bien el método es matemáticamente riguroso, depende completamente de la precisión de los parámetros que se utilizan. En la práctica, estos parámetros se calculan a partir de la inclusión de al menos tres puntos conocidos en las redes. Sin embargo, la precisión de estos afectará los siguientes parámetros de transformación, ya que estos puntos contendrán errores de observación. Por lo tanto, una transformación del "mundo real" será solo una mejor estimación y debe contener una medida estadística de su calidad.

Ver también

Referencias

enlaces externos