Tren de gravedad - Gravity train

Un tren de gravedad es un medio de transporte teórico con el propósito de desplazarse entre dos puntos en la superficie de una esfera , siguiendo un túnel recto que conecta los dos puntos a través del interior de la esfera.

En un cuerpo grande como un planeta , este tren podría dejarse acelerar usando solo la fuerza de gravedad , ya que durante la primera mitad del viaje (desde el punto de partida hasta el medio), el tirón hacia abajo hacia el centro de gravedad. lo arrastraría hacia el destino. Durante la segunda mitad del viaje, la aceleración sería en sentido opuesto respecto a la trayectoria, pero, ignorando los efectos de la fricción , la velocidad adquirida antes sería exactamente suficiente para superar esta desaceleración, y como resultado, la velocidad del tren. llegaría a cero precisamente en el momento en que el tren llegara a su destino.

Origen del concepto

En el siglo XVII, el científico británico Robert Hooke presentó la idea de un objeto que se acelera dentro de un planeta en una carta a Isaac Newton . Un proyecto de tren de gravedad se presentó seriamente a la Academia de Ciencias de Francia en el siglo XIX. La misma idea fue propuesta, sin cálculo, por Lewis Carroll en 1893 en Sylvie and Bruno Concluded . La idea fue redescubierta en la década de 1960 cuando el físico Paul Cooper publicó un artículo en el American Journal of Physics sugiriendo que se consideraran los trenes de gravedad para un futuro proyecto de transporte.

Consideraciones matemáticas

Bajo el supuesto de un planeta esférico con densidad uniforme, e ignorando los efectos relativistas y la fricción, un tren de gravedad tiene las siguientes propiedades:

• La duración de un viaje depende solo de la densidad del planeta y la constante gravitacional , pero no del diámetro del planeta.
• La velocidad máxima se alcanza en el punto medio de la trayectoria.

Para los trenes de gravedad entre puntos que no son las antípodas entre sí, se cumple lo siguiente:

• El túnel de tiempo más corto a través de una tierra homogénea es un hipocicloide ; en el caso especial de dos puntos antípodas, el hipocicloide degenera en línea recta.
• Todos los trenes de gravedad en línea recta en un planeta determinado toman exactamente la misma cantidad de tiempo para completar un viaje (es decir, sin importar en qué parte de la superficie se encuentren los dos puntos finales de su trayectoria).

En el planeta Tierra específicamente, dado que el movimiento de un tren de gravedad es la proyección del movimiento de un satélite de órbita terrestre muy baja sobre una línea, tiene los siguientes parámetros:

• El tiempo de viaje es igual a 2530,30 segundos (casi 42,2 minutos, la mitad del período de un satélite de órbita terrestre baja), suponiendo que la Tierra fuera una esfera perfecta de densidad uniforme.
• Teniendo en cuenta la distribución de densidad realista dentro de la Tierra, como se conoce del Modelo Terrestre de Referencia Preliminar , el tiempo de caída esperado se reduce de 42 a 38 minutos.
• Para un tren que atraviesa directamente el centro de la Tierra, la velocidad máxima es equivalente a la primera velocidad cósmica de la Tierra , también conocida como su velocidad orbital, hatque traerá un cohete u otro proyectil en órbita alrededor de la Tierra (un proyectil más lento que cae de regreso a la Tierra, uno más rápido que escapa por completo de la gravedad de la Tierra): aproximadamente 7,900  metros por segundo (28,440 km / h), equivalente a Mach  23.2 al nivel del mar y temperatura estándar.

Para poner algunos números en perspectiva, el pozo de perforación actual más profundo es el pozo Kola Superdeep Borehole con una profundidad real de 12,262 metros; Cubrir la distancia entre Londres y París (350 km) a través de un camino hipocicloídico requeriría la creación de un agujero de 111.408 metros de profundidad. Esta profundidad no solo es 9 veces mayor, sino que también necesitaría un túnel que atraviese el manto de la Tierra .

Derivación matemática

Usando las aproximaciones de que la Tierra es perfectamente esférica y de densidad uniforme , y el hecho de que dentro de una esfera hueca uniforme no hay gravedad, la aceleración gravitacional experimentada por un cuerpo dentro de la Tierra es proporcional a la razón de la distancia desde el centro a el radio de la Tierra . Esto se debe a que el subsuelo a distancia del centro es como estar en la superficie de un planeta de radio , dentro de una esfera hueca que no aporta nada. ${\ Displaystyle \ rho}$${\ Displaystyle a}$${\ Displaystyle r}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle r}$${\ Displaystyle r}$

${\ Displaystyle a = {\ frac {GM} {r ^ {2}}} = {\ frac {G \ rho V} {r ^ {2}}} = {\ frac {G \ rho {\ frac {4 } {3}} \ pi \, r ^ {3}} {r ^ {2}}} = G \ rho {\ frac {4} {3}} \ pi \, r}$

En la superficie, entonces la aceleración gravitacional es . Por tanto, la aceleración gravitacional en es ${\ Displaystyle r = R}$${\ Displaystyle g = G \ rho {\ frac {4} {3}} \ pi \, R}$${\ Displaystyle r}$

${\ Displaystyle a = {\ frac {r} {R}} \, g}$

Camino diametral a las antípodas

En el caso de una línea recta que atraviesa el centro de la Tierra, la aceleración del cuerpo es igual a la de la gravedad: cae libremente hacia abajo. Comenzamos a caer en la superficie, por lo que en el momento (tratando la aceleración y la velocidad como positivas hacia abajo): ${\ Displaystyle t}$

${\ Displaystyle r_ {t} = R- \ int _ {0} ^ {t} v_ {t} \, dt = R- \ int _ {0} ^ {t} \ int _ {0} ^ {t} a_ {t} \, dt \, dt}$

Diferenciando dos veces:

${\ Displaystyle {\ frac {d ^ {2} r} {dt ^ {2}}} = - a_ {t} = - {\ frac {r} {R}} \, g = - \ omega ^ {2 } \, r}$

donde . Esta clase de problemas, donde hay una fuerza de restauración proporcional al desplazamiento desde cero, tiene soluciones generales de la forma y describe un movimiento armónico simple como en un resorte o péndulo . ${\ Displaystyle \ omega = {\ sqrt {\ frac {g} {R}}}}$${\ Displaystyle r = k \ cos (\ omega t + \ varphi)}$

En este caso, de manera que , comenzamos en la superficie en el momento cero, y de vuelta oscilar adelante y hacia atrás para siempre. ${\ Displaystyle r_ {t} = R \ cos {\ sqrt {\ frac {g} {R}}} \, t}$${\ Displaystyle r_ {0} = R}$

El tiempo de viaje a las antípodas es la mitad de un ciclo de este oscilador, que es el tiempo que tarda el argumento en barrer los radianes. Usar aproximaciones simples de ese tiempo es ${\ Displaystyle \ cos {\ sqrt {\ frac {g} {R}}} \, t}$${\ Displaystyle {\ pi}}$${\ displaystyle g = 10 {\ text {m}} / {\ text {s}} ^ {2}, R = 6500 {\ text {km}}}$

${\ Displaystyle T = {\ frac {\ pi} {\ omega}} = {\ frac {\ pi} {\ sqrt {\ frac {g} {R}}}} \ approx {\ frac {3.1415926} {\ sqrt {\ frac {10} {6500000}}}} \ approx 2532 {\ text {s}}}$

Camino recto entre dos puntos arbitrarios

Camino del tren de gravedad

Para el caso más general de la trayectoria en línea recta entre dos puntos cualesquiera de la superficie de una esfera, calculamos la aceleración del cuerpo a medida que se mueve sin fricción a lo largo de su trayectoria recta.

El cuerpo viaja a lo largo de AOB, siendo O el punto medio del camino y el punto más cercano al centro de la Tierra en este camino. A distancia a lo largo de este camino, la fuerza de gravedad depende de la distancia al centro de la Tierra como se muestra arriba. Usando la abreviatura para la longitud OC: ${\ Displaystyle r}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle b = R \ sin \ theta}$

${\ Displaystyle g_ {r} = {\ frac {x} {R}} \, g = {\ frac {\ sqrt {r ^ {2} + b ^ {2}}} {R}} \, g}$

La aceleración resultante en el cuerpo, debido a que se encuentra en una superficie inclinada sin fricción , es : ${\ Displaystyle g_ {r} \ cos \ varphi}$

Diagrama de fuerzas en un tren de gravedad en una trayectoria en línea recta no diametral

${\ Displaystyle a_ {r} = g_ {r} \ cos \ varphi = {\ frac {\ sqrt {r ^ {2} + b ^ {2}}} {R}} \, g \ cos \ varphi}$

Pero es , por lo tanto, sustituyendo: ${\ Displaystyle \ cos \ varphi}$${\ Displaystyle r / x = {\ frac {r} {\ sqrt {r ^ {2} + b ^ {2}}}}}$

${\ Displaystyle a_ {r} = {\ frac {\ sqrt {r ^ {2} + b ^ {2}}} {R}} \, g \, {\ frac {r} {\ sqrt {r ^ { 2} + b ^ {2}}}} = {\ frac {r} {R}} \, g}$

que es exactamente la misma para esta nueva distancia a lo largo de AOB lejos de O, que en el caso diametral a lo largo de ACD. Entonces el análisis restante es el mismo, acomodando la condición inicial de que el máximo es la ecuación de movimiento completa es ${\ Displaystyle r}$${\ Displaystyle r}$${\ Displaystyle r}$${\ Displaystyle R \ cos \ theta = AO}$

${\ Displaystyle r_ {t} = R \ cos \ theta \ cos {\ sqrt {\ frac {g} {R}}} \, t}$

La constante de tiempo es la misma que en el caso diametral, por lo que el tiempo de viaje sigue siendo de 42 minutos; es solo que todas las distancias y velocidades están escaladas por la constante . ${\ Displaystyle \ omega = {\ sqrt {\ frac {g} {R}}}}$${\ Displaystyle \ cos \ theta}$

Dependencia del radio del planeta

La constante de tiempo depende solo de, por lo tanto, si expandimos, obtenemos ${\ Displaystyle \ omega}$${\ Displaystyle {\ frac {g} {R}}}$

${\ Displaystyle {\ frac {g} {R}} = {\ frac {GM / R ^ {2}} {R}} = {\ frac {GM} {R ^ {3}}} = {\ frac { G \ rho \, V} {R ^ {3}}} = {\ frac {G \ rho \, {\ frac {4} {3}} \ pi \, R ^ {3}} {R ^ {3 }}} = G \ rho \, {\ frac {4} {3}} \ pi}$

que depende solo de la constante gravitacional y la densidad del planeta. El tamaño del planeta es irrelevante; el tiempo de viaje es el mismo si la densidad es la misma. ${\ Displaystyle \ rho}$

En ficción

El libro de 1914 Tik-Tok de Oz tiene un tubo, que pasó de Oz, a través del centro de la tierra, emergiendo en el país del Gran Jinjin, Tittiti-Hoochoo.

En la película de 2012 Total Recall , un tren de gravedad llamado "The Fall" atraviesa el centro de la Tierra para viajar entre Europa Occidental y Australia.

En el videojuego Super Mario Galaxy , hay varios planetas con agujeros por los que Mario puede saltar para ilustrar el efecto del tren de gravedad.

La serie "Tierra alternativa" de Jasper Fforde Thursday Next utiliza este método de transporte para largas distancias, llamado Gravitube o "DeepDrop".

La novela Ultima de Stephen Baxter presenta 'túneles de gravedad' aburridos alrededor de Per Ardua , un mundo rocoso habitable y ficticio ambientado en el sistema Proxima Centauri .

Ver también

• Curva braquistocrona
• Funicular
• Hyperloop
• Almacenamiento de energía ferroviaria
• Afinación Schuler

Referencias

• Descripción del concepto Tren de gravedad y solución matemática ( página web de Alexandre Eremenko en la Universidad de Purdue ).

enlaces externos

• Una simulación de este movimiento; incluye túneles que no pasan por el centro de la tierra. También muestra un satélite con el mismo período.
• El Gravity Express
• A todas partes en 42 minutos
• El túnel ficticio Alameda Weehawken Burrito es un tren de gravedad.