Lema de Goursat - Goursat's lemma

El lema de Goursat , que lleva el nombre del matemático francés Édouard Goursat , es un teorema algebraico sobre subgrupos del producto directo de dos grupos .

Puede enunciarse de forma más general en una variedad Goursat (y, por tanto, también en cualquier variedad Maltsev ), de la que se recupera una versión más general del lema de la mariposa de Zassenhaus . De esta forma, el teorema de Goursat también implica el lema de la serpiente .

Grupos

El lema de Goursat para grupos se puede enunciar de la siguiente manera.

Sea , sea ​​grupos y sea ​​un subgrupo de tal que las dos proyecciones y sean sobreyectivas (es decir, sea ​​un producto subdirecto de y ). Sea el núcleo de y el núcleo de . Uno puede identificarse como un subgrupo normal de y como un subgrupo normal de . Entonces la imagen de en es la gráfica de un isomorfismo .

Una consecuencia inmediata de esto es que el producto subdirecto de dos grupos puede describirse como un producto de fibra y viceversa.

Observe que si es cualquier subgrupo de (las proyecciones y no necesitan ser sobreyectivas), entonces las proyecciones de sobre y son sobreyectivas. Entonces se puede aplicar el lema de Goursat .

Para motivar a la prueba, tenga en cuenta el corte de , por cualquier arbitraria . Por la sobrejetividad del mapa de proyección a , esto tiene una intersección no trivial con . Entonces, esencialmente, esta intersección representa exactamente una clase lateral particular de . De hecho, si tuviéramos elementos distintos con y , a continuación, ser un grupo, obtenemos que , por lo tanto, . Pero esto es una contradicción, ya que pertenecen a clases distintas de , y por lo tanto , y por lo tanto el elemento no puede pertenecer al núcleo del mapa de proyección de a . Por lo tanto, la intersección de con cada corte "horizontal" isomorfo a es exactamente una clase lateral particular de in . Por un argumento idéntico, la intersección de con cada corte "vertical" isomorfo a es exactamente una clase lateral particular de in .

Todas las clases sociales de están presentes en el grupo y, según el argumento anterior, existe una correspondencia exacta de 1: 1 entre ellas. La siguiente prueba muestra además que el mapa es un isomorfismo.

Prueba

Antes de continuar con la prueba , y se muestra normal en y , respectivamente. Es en este sentido que y se puede identificar como normal en G y G ' , respectivamente.

Desde es un homomorfismo , su núcleo N es normal en H . Además, dado , existe , ya que es sobreyectiva. Por lo tanto, es normal en G , a saber:

.

De ello se deduce que es normal en desde

.

La prueba de que es normal procede de manera similar.

Teniendo en cuenta la identificación de con , podemos escribir y en lugar de y , . Del mismo modo, podemos escribir y , .

A la prueba. Considere el mapa definido por . La imagen de debajo de este mapa es . Desde es sobreyectiva, esta relación es la gráfica de una bien definida la función proporcionada por cada , esencialmente una aplicación de la prueba de línea vertical .

Dado que (más correctamente, ), tenemos . Por lo tanto , de dónde , es decir, .

Además, por cada uno que tenemos . De ello se deduce que esta función es un homomorfismo de grupo.

Por simetría, es la gráfica de un homomorfismo bien definido . Estos dos homomorfismos son claramente inversos entre sí y, por lo tanto, son isomorfismos.

Variedades Goursat

Como consecuencia del teorema de Goursat, se puede derivar una versión muy general del teorema de Jordan-Hölder - Schreier en las variedades de Goursat.

Referencias

  • Édouard Goursat, "Sur les substitutions orthogonales et les divisions régulières de l'espace", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure (1889), Volumen: 6, páginas 9-102
  • J. Lambek (1996). "La Mariposa y la Serpiente". En Aldo Ursini; Paulo Agliano (eds.). Lógica y Álgebra . Prensa CRC. págs. 161–180. ISBN   978-0-8247-9606-8 .
  • Kenneth A. Ribet (otoño de 1976), " Acción de Galois sobre puntos de división de variedades abelianas con multiplicaciones reales", American Journal of Mathematics , vol. 98, núm. 3, 751–804.