El posicionamiento del sistema global de navegación por satélite (GNSS) para la posición del receptor se obtiene mediante los pasos de cálculo, o algoritmo, que se indican a continuación. En esencia, un receptor GNSS mide el tiempo de transmisión de las señales GNSS emitidas por cuatro o más satélites GNSS (dando el pseudodistancia ) y estas mediciones se utilizan para obtener su posición (es decir, coordenadas espaciales ) y tiempo de recepción.
Pasos de cálculo
Un receptor del sistema global de navegación por satélite (GNSS) mide el tiempo de transmisión aparente , o "fase", de las señales GNSS emitidas por cuatro o más satélites GNSS ( ), simultáneamente.
t
~
I
{\ Displaystyle \ Displaystyle {\ tilde {t}} _ {i}}
I
=
1
,
2
,
3
,
4
,
.
.
,
norte
{\ Displaystyle \ Displaystyle i \; = \; 1, \, 2, \, 3, \, 4, \, .., \, n}
Satélites GNSS transmiten los mensajes de satélites de efemérides , y desviación de reloj intrínseca (es decir, el avance del reloj), como las funciones de ( atómico ) de tiempo estándar , por ejemplo, GPST .
r
I
(
t
)
{\ Displaystyle \ Displaystyle {\ boldsymbol {r}} _ {i} (t)}
δ
t
reloj, sv
,
I
(
t
)
{\ Displaystyle \ Displaystyle \ delta t _ {{\ text {reloj, sv}}, i} (t)}
El tiempo de transmisión de las señales de los satélites GNSS , se deriva así de las ecuaciones de forma no cerrada y , donde está el sesgo del reloj relativista , se eleva periódicamente desde la excentricidad orbital del satélite y el campo gravitatorio de la Tierra . La posición y la velocidad del satélite se determinan de la siguiente manera: y .
t
I
{\ Displaystyle \ Displaystyle t_ {i}}
t
~
I
=
t
I
+
δ
t
reloj
,
I
(
t
I
)
{\ Displaystyle \ Displaystyle {\ tilde {t}} _ {i} \; = \; t_ {i} \, + \, \ delta t _ {{\ text {clock}}, i} (t_ {i}) }
δ
t
reloj
,
I
(
t
I
)
=
δ
t
reloj, sv
,
I
(
t
I
)
+
δ
t
órbita-relativ
,
I
(
r
I
,
r
˙
I
)
{\ Displaystyle \ Displaystyle \ delta t _ {{\ text {reloj}}, i} (t_ {i}) \; = \; \ delta t _ {{\ text {reloj, sv}}, i} (t_ {i }) \, + \, \ delta t _ {{\ text {órbita-relativ}}, \, i} ({\ boldsymbol {r}} _ {i}, \, {\ dot {\ boldsymbol {r}} }_{I})}
δ
t
órbita-relativ
,
I
(
r
I
,
r
˙
I
)
{\ Displaystyle \ Displaystyle \ delta t _ {{\ text {órbita-relativ}}, i} ({\ boldsymbol {r}} _ {i}, \, {\ dot {\ boldsymbol {r}}} _ {i })}
t
I
{\ Displaystyle \ Displaystyle t_ {i}}
r
I
=
r
I
(
t
I
)
{\ Displaystyle \ Displaystyle {\ boldsymbol {r}} _ {i} \; = \; {\ boldsymbol {r}} _ {i} (t_ {i})}
r
˙
I
=
r
˙
I
(
t
I
)
{\ Displaystyle \ Displaystyle {\ dot {\ boldsymbol {r}}} _ {i} \; = \; {\ dot {\ boldsymbol {r}}} _ {i} (t_ {i})}
En el campo de GNSS, "rango geométrico",, se define como rango recto, o distancia tridimensional , de a en marco inercial (por ejemplo, inercial centrado en la Tierra (ECI) uno), no en marco giratorio .
r
(
r
A
,
r
B
)
{\ Displaystyle \ Displaystyle r ({\ boldsymbol {r}} _ {A}, \, {\ boldsymbol {r}} _ {B})}
r
A
{\ Displaystyle \ Displaystyle {\ boldsymbol {r}} _ {A}}
r
B
{\ Displaystyle \ Displaystyle {\ boldsymbol {r}} _ {B}}
La posición del receptor , y el tiempo de recepción , satisfacen la ecuación del cono de luz de en un marco inercial , donde es la velocidad de la luz . El tiempo de la señal de vuelo del satélite al receptor es .
r
rec
{\ Displaystyle \ Displaystyle {\ boldsymbol {r}} _ {\ text {rec}}}
t
rec
{\ Displaystyle \ Displaystyle t _ {\ text {rec}}}
r
(
r
I
,
r
rec
)
/
C
+
(
t
I
-
t
rec
)
=
0
{\ Displaystyle \ Displaystyle r ({\ boldsymbol {r}} _ {i}, \, {\ boldsymbol {r}} _ {\ text {rec}}) / c \, + \, (t_ {i} - t _ {\ text {rec}}) \; = \; 0}
C
{\ Displaystyle \ Displaystyle c}
-
(
t
I
-
t
rec
)
{\ Displaystyle \ Displaystyle - (t_ {i} \, - \, t _ {\ text {rec}})}
Lo anterior se extiende a la de navegación por satélite de posicionamiento ecuación , donde es retardo atmosférica (= retardo ionosférico + retraso troposférico ) a lo largo de trayectoria de la señal y es el error de medición.
r
(
r
I
,
r
rec
)
/
C
+
(
t
I
-
t
rec
)
+
δ
t
atmos
,
I
-
δ
t
medir-err
,
I
=
0
{\ Displaystyle \ Displaystyle r ({\ boldsymbol {r}} _ {i}, \, {\ boldsymbol {r}} _ {\ text {rec}}) / c \, + \, (t_ {i} \ , - \, t _ {\ text {rec}}) \, + \, \ delta t _ {{\ text {atmos}}, i} \, - \, \ delta t _ {{\ text {mens-err}} , i} \; = \; 0}
δ
t
atmos
,
I
{\ Displaystyle \ Displaystyle \ delta t _ {{\ text {atmos}}, i}}
δ
t
medir-err
,
I
{\ Displaystyle \ Displaystyle \ delta t _ {{\ text {medida-err}}, i}}
El método de Gauss-Newton se puede utilizar para resolver el problema de mínimos cuadrados no lineales para la solución:, donde . Tenga en cuenta que debe considerarse como una función de y .
(
r
^
rec
,
t
^
rec
)
=
arg
min
ϕ
(
r
rec
,
t
rec
)
{\ Displaystyle \ Displaystyle ({\ hat {\ boldsymbol {r}}} _ {\ text {rec}}, \, {\ hat {t}} _ {\ text {rec}}) \; = \; \ arg \ min \ phi ({\ boldsymbol {r}} _ {\ text {rec}}, \, t _ {\ text {rec}})}
ϕ
(
r
rec
,
t
rec
)
=
∑
I
=
1
norte
(
δ
t
medir-err
,
I
/
σ
δ
t
medir-err
,
I
)
2
{\ Displaystyle \ Displaystyle \ phi ({\ boldsymbol {r}} _ {\ text {rec}}, \, t _ {\ text {rec}}) \; = \; \ sum _ {i = 1} ^ { n} (\ delta t _ {{\ text {error de medición}}, i} / \ sigma _ {\ delta t _ {{\ text {error de medición}}, i}}) ^ {2}}
δ
t
medir-err
,
I
{\ Displaystyle \ Displaystyle \ delta t _ {{\ text {medida-err}}, i}}
r
rec
{\ Displaystyle \ Displaystyle {\ boldsymbol {r}} _ {\ text {rec}}}
t
rec
{\ Displaystyle \ Displaystyle t _ {\ text {rec}}}
La distribución posterior de y es proporcional a , cuya moda es . Su inferencia se formaliza como estimación máxima a posteriori .
r
rec
{\ Displaystyle \ Displaystyle {\ boldsymbol {r}} _ {\ text {rec}}}
t
rec
{\ Displaystyle \ Displaystyle t _ {\ text {rec}}}
Exp
(
-
1
2
ϕ
(
r
rec
,
t
rec
)
)
{\ Displaystyle \ Displaystyle \ exp (- {\ frac {1} {2}} \ phi ({\ boldsymbol {r}} _ {\ text {rec}}, \, t _ {\ text {rec}})) }
(
r
^
rec
,
t
^
rec
)
{\ Displaystyle \ Displaystyle ({\ hat {\ boldsymbol {r}}} _ {\ text {rec}}, \, {\ hat {t}} _ {\ text {rec}})}
La distribución posterior de es proporcional a .
r
rec
{\ Displaystyle \ Displaystyle {\ boldsymbol {r}} _ {\ text {rec}}}
∫
-
∞
∞
Exp
(
-
1
2
ϕ
(
r
rec
,
t
rec
)
)
D
t
rec
{\ Displaystyle \ Displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ exp (- {\ frac {1} {2}} \ phi ({\ boldsymbol {r}} _ {\ text {rec}} , \, t _ {\ text {rec}})) \, dt _ {\ text {rec}}}
La solución ilustrada
Esencialmente, la solución es la intersección de conos de luz .
(
r
^
rec
,
t
^
rec
)
{\ Displaystyle \ scriptstyle ({\ hat {\ boldsymbol {r}}} _ {\ text {rec}}, \, {\ hat {t}} _ {\ text {rec}})}
El caso del GPS
{
Δ
t
I
(
t
I
,
mi
I
)
≜
t
I
+
δ
t
reloj
,
I
(
t
I
,
mi
I
)
-
t
~
I
=
0
,
Δ
METRO
I
(
t
I
,
mi
I
)
≜
METRO
I
(
t
I
)
-
(
mi
I
-
mi
I
pecado
mi
I
)
=
0
,
{\ Displaystyle \ scriptstyle {\ begin {cases} \ scriptstyle \ Delta t_ {i} (t_ {i}, \, E_ {i}) \; \ triangleq \; t_ {i} \, + \, \ delta t_ {{\ text {reloj}}, i} (t_ {i}, \, E_ {i}) \, - \, {\ tilde {t}} _ {i} \; = \; 0, \\\ estilo de escritura \ Delta M_ {i} (t_ {i}, \, E_ {i}) \; \ triangleq \; M_ {i} (t_ {i}) \, - \, (E_ {i} \, - \ , e_ {i} \ sin E_ {i}) \; = \; 0, \ end {cases}}}
en el que está la anomalía excéntrica orbital del satélite , es la anomalía media , es la excentricidad , y .
mi
I
{\ Displaystyle \ scriptstyle E_ {i}}
I
{\ Displaystyle i}
METRO
I
{\ Displaystyle \ scriptstyle M_ {i}}
mi
I
{\ Displaystyle \ scriptstyle e_ {i}}
δ
t
reloj
,
I
(
t
I
,
mi
I
)
=
δ
t
reloj, sv
,
I
(
t
I
)
+
δ
t
órbita-relativ
,
I
(
mi
I
)
{\ Displaystyle \ scriptstyle \ delta t _ {{\ text {reloj}}, i} (t_ {i}, \, E_ {i}) \; = \; \ delta t _ {{\ text {reloj, sv}} , i} (t_ {i}) \, + \, \ delta t _ {{\ text {órbita-relativ}}, i} (E_ {i})}
Lo anterior se puede resolver utilizando el método bivariado de Newton-Raphson en y . Dos veces de iteración serán necesarias y suficientes en la mayoría de los casos. Su actualización iterativa se describirá utilizando la inversa aproximada de la matriz jacobiana de la siguiente manera:
t
I
{\ Displaystyle \ scriptstyle t_ {i}}
mi
I
{\ Displaystyle \ scriptstyle E_ {i}}
(
t
I
mi
I
)
←
(
t
I
mi
I
)
-
(
1
0
METRO
˙
I
(
t
I
)
1
-
mi
I
porque
mi
I
-
1
1
-
mi
I
porque
mi
I
)
(
Δ
t
I
Δ
METRO
I
)
{\ Displaystyle \ scriptstyle {\ begin {pmatrix} t_ {i} \\ E_ {i} \\\ end {pmatrix}} \ leftarrow {\ begin {pmatrix} t_ {i} \\ E_ {i} \\\ end {pmatrix}} - {\ begin {pmatrix} 1 && 0 \\ {\ frac {{\ dot {M}} _ {i} (t_ {i})} {1-e_ {i} \ cos E_ {i} }} && - {\ frac {1} {1-e_ {i} \ cos E_ {i}}} \\\ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} \ Delta t_ {i} \\\ Delta M_ {i} \\\ end {pmatrix}}}
El caso GLONASS
Las efemérides GLONASS no proporcionan sesgos de reloj , pero .
δ
t
reloj, sv
,
I
(
t
)
{\ Displaystyle \ scriptstyle \ delta t _ {{\ text {reloj, sv}}, i} (t)}
δ
t
reloj
,
I
(
t
)
{\ Displaystyle \ scriptstyle \ delta t _ {{\ text {reloj}}, i} (t)}
Nota
En el campo de GNSS, se denomina pseudodistancia , donde es un tiempo de recepción provisional del receptor. se denomina sesgo de reloj del receptor (es decir, avance de reloj).
r
~
I
=
-
C
(
t
~
I
-
t
~
rec
)
{\ Displaystyle \ scriptstyle {\ tilde {r}} _ {i} \; = \; - c ({\ tilde {t}} _ {i} \, - \, {\ tilde {t}} _ {\ texto {rec}})}
t
~
rec
{\ Displaystyle \ scriptstyle {\ tilde {t}} _ {\ text {rec}}}
δ
t
reloj, rec
=
t
~
rec
-
t
rec
{\ Displaystyle \ scriptstyle \ delta t _ {\ text {reloj, rec}} \; = \; {\ tilde {t}} _ {\ text {rec}} \, - \, t _ {\ text {rec}} }
Salida de receptores GNSS estándar y por época de observación .
r
~
I
{\ Displaystyle \ scriptstyle {\ tilde {r}} _ {i}}
t
~
rec
{\ Displaystyle \ scriptstyle {\ tilde {t}} _ {\ text {rec}}}
La variación temporal en el sesgo del reloj relativista del satélite es lineal si su órbita es circular (y por lo tanto su velocidad es uniforme en el marco inercial).
El tiempo de vuelo de la señal desde el satélite al receptor se expresa como , cuyo lado derecho es resistivo al error de redondeo durante el cálculo.
-
(
t
I
-
t
rec
)
=
r
~
I
/
C
+
δ
t
reloj
,
I
-
δ
t
reloj, rec
{\ Displaystyle \ scriptstyle - (t_ {i} -t _ {\ text {rec}}) \; = \; {\ tilde {r}} _ {i} / c \, + \, \ delta t _ {{\ text {reloj}}, i} \, - \, \ delta t _ {\ text {reloj, rec}}}
El rango geométrico se calcula como , donde el marco giratorio centrado en la Tierra, fijo en la Tierra (ECEF) (por ejemplo, WGS84 o ITRF ) se usa en el lado derecho y es la matriz giratoria de la Tierra con el argumento del tiempo de tránsito de la señal . La matriz se puede factorizar como .
r
(
r
I
,
r
rec
)
=
|
Ω
mi
(
t
I
-
t
rec
)
r
I
,
ECEF
-
r
rec, ECEF
|
{\ Displaystyle \ scriptstyle r ({\ boldsymbol {r}} _ {i}, \, {\ boldsymbol {r}} _ {\ text {rec}}) \; = \; | \ Omega _ {\ text { E}} (t_ {i} \, - \, t _ {\ text {rec}}) {\ boldsymbol {r}} _ {i, {\ text {ECEF}}} \, - \, {\ boldsymbol { r}} _ {\ text {rec, ECEF}} |}
Ω
mi
{\ Displaystyle \ scriptstyle \ Omega _ {\ text {E}}}
Ω
mi
(
t
I
-
t
rec
)
=
Ω
mi
(
δ
t
reloj, rec
)
Ω
mi
(
-
r
~
I
/
C
-
δ
t
reloj
,
I
)
{\ Displaystyle \ scriptstyle \ Omega _ {\ text {E}} (t_ {i} \, - \, t _ {\ text {rec}}) \; = \; \ Omega _ {\ text {E}} ( \ delta t _ {\ text {reloj, rec}}) \ Omega _ {\ text {E}} (- {\ tilde {r}} _ {i} / c \, - \, \ delta t _ {{\ text {reloj}}, i})}
El vector de unidad de línea de visión de satélite Observado en se describe como: .
r
rec, ECEF
{\ Displaystyle \ scriptstyle {\ boldsymbol {r}} _ {\ text {rec, ECEF}}}
mi
I
,
rec, ECEF
=
-
∂
r
(
r
I
,
r
rec
)
∂
r
rec, ECEF
{\ Displaystyle \ scriptstyle {\ boldsymbol {e}} _ {i, {\ text {rec, ECEF}}} \; = \; - {\ frac {\ parcial r ({\ boldsymbol {r}} _ {i }, \, {\ boldsymbol {r}} _ {\ text {rec}})} {\ partial {\ boldsymbol {r}} _ {\ text {rec, ECEF}}}}}
La ecuación de posicionamiento de la navegación por satélite puede expresarse utilizando las variables y .
r
rec, ECEF
{\ Displaystyle \ scriptstyle {\ boldsymbol {r}} _ {\ text {rec, ECEF}}}
δ
t
reloj, rec
{\ Displaystyle \ scriptstyle \ delta t _ {\ text {reloj, rec}}}
La no linealidad de la dependencia vertical del retardo troposférico degrada la eficiencia de la convergencia en las iteraciones de Gauss-Newton en el paso 7.
La notación anterior es diferente a la de los artículos de Wikipedia, 'Introducción al cálculo de posición' y 'Cálculo de posición avanzado', del Sistema de posicionamiento global (GPS).
Ver también
Referencias
^ a b Misra, P. y Enge, P., Global Positioning System: Signals, Measurements, and Performance, 2nd, Ganga-Jamuna Press, 2006.
^ a b c d e f La especificación de interfaz del SISTEMA DE POSICIONAMIENTO GLOBAL NAVSTAR
^ La distancia tridimensional viene dada por dónde y representada en un marco inercial .
r
(
r
A
,
r
B
)
=
|
r
A
-
r
B
|
=
(
X
A
-
X
B
)
2
+
(
y
A
-
y
B
)
2
+
(
z
A
-
z
B
)
2
{\ displaystyle \ displaystyle r ({\ boldsymbol {r}} _ {A}, \, {\ boldsymbol {r}} _ {B}) = | {\ boldsymbol {r}} _ {A} - {\ boldsymbol {r}} _ {B} | = {\ sqrt {(x_ {A} -x_ {B}) ^ {2} + (y_ {A} -y_ {B}) ^ {2} + (z_ {A } -z_ {B}) ^ {2}}}}
r
A
=
(
X
A
,
y
A
,
z
A
)
{\ Displaystyle \ Displaystyle {\ boldsymbol {r}} _ {A} = (x_ {A}, y_ {A}, z_ {A})}
r
B
=
(
X
B
,
y
B
,
z
B
)
{\ Displaystyle \ Displaystyle {\ boldsymbol {r}} _ {B} = (x_ {B}, y_ {B}, z_ {B})}
enlaces externos
PVT (posición, velocidad, tiempo): procedimiento de cálculo en el GNSS-SDR de código abierto y el RTKLIB subyacente
<img src="https://en.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">