Endomorfismo de Frobenius - Frobenius endomorphism

En álgebra conmutativa y teoría de campos , el endomorfismo de Frobenius (después de Ferdinand Georg Frobenius ) es un endomorfismo especial de anillos conmutativos con la característica principal p , una clase importante que incluye campos finitos . El endomorfismo asigna cada elemento a su p -ésima potencia. En ciertos contextos es un automorfismo , pero esto no es cierto en general.

Definición

Sea R un anillo conmutativo con característica principal p (un dominio integral de característica positiva siempre tiene característica principal, por ejemplo). El endomorfismo F de Frobenius se define por

${\ Displaystyle F (r) = r ^ {p}}$

para todos r en R . Respeta la multiplicación de R :

${\ Displaystyle F (rs) = (rs) ^ {p} = r ^ {p} s ^ {p} = F (r) F (s),}$

y F (1) es claramente 1 también. Lo que es interesante, sin embargo, es que también respeta la adición de R . La expresión ( r + s ) ^p se puede expandir usando el teorema del binomio . Como p es primo, divide p ! pero no cualquier q ! para q < p ; por tanto, dividirá el numerador , pero no el denominador , de la fórmula explícita de los coeficientes binomiales

${\ displaystyle {\ frac {p!} {k! (pk)!}},}$

si 1 ≤ k ≤ p - 1 . Por lo tanto, los coeficientes de todos los términos excepto r ^p y s ^p son divisibles por p , la característica, y por lo tanto desaparecen. Por lo tanto

${\ Displaystyle F (r + s) = (r + s) ^ {p} = r ^ {p} + s ^ {p} = F (r) + F (s).}$

Esto muestra que F es un homomorfismo de anillo.

Si φ  : R → S es un homomorfismo de anillos de característica p , entonces

${\ Displaystyle \ phi (x ^ {p}) = \ phi (x) ^ {p}.}$

Si F _R y F _S son los endomorfismos de Frobenius de R y S , entonces esto se puede reescribir como:

${\ Displaystyle \ phi \ circ F_ {R} = F_ {S} \ circ \ phi.}$

Esto significa que el endomorfismo de Frobenius es una transformación natural del funtor de identidad en la categoría de anillos p característicos a sí mismo.

Si el anillo R es un anillo sin elementos nilpotentes , entonces el endomorfismo de Frobenius es inyectivo: F ( r ) = 0 significa r ^p = 0 , que por definición significa que r es nilpotente de orden como máximo p . De hecho, esto es necesario y suficiente, porque si r es nilpotente, entonces una de sus potencias será nilpotente de orden como mucho p . En particular, si R es un campo, entonces el endomorfismo de Frobenius es inyectivo.

El morfismo de Frobenius no es necesariamente sobreyectivo , incluso cuando R es un campo. Por ejemplo, sea K = F _p ( t ) el campo finito de p elementos junto con un solo elemento trascendental; de manera equivalente, K es el campo de funciones racionales con coeficientes en F _p . Entonces la imagen de F no contiene t . Si fuera así, entonces habría una función racional q ( t ) / r ( t ) cuya p -ésima potencia q ( t ) ^p / r ( t ) ^p sería igual a t . Pero el grado de esta p -ésima potencia es p deg ( q ) - p deg ( r ) , que es un múltiplo de p . En particular, no puede ser 1, que es el grado de t . Ésta es una contradicción; así t no está en la imagen de F .

Un campo K se llama perfecto si es de característica cero o es de característica positiva y su endomorfismo de Frobenius es un automorfismo. Por ejemplo, todos los campos finitos son perfectos.

Puntos fijos del endomorfismo de Frobenius

Considere el campo finito F _p . Según el pequeño teorema de Fermat , todo elemento x de F _p satisface x ^p = x . De manera equivalente, es una raíz del polinomio X ^p - X . Por lo tanto, los elementos de F _p determinan p raíces de esta ecuación, y debido a que esta ecuación tiene grado p, no tiene más de p raíces sobre cualquier extensión . En particular, si K es una extensión algebraica de F _p (tal como el cierre algebraico u otro campo finito), entonces F _p es el campo fijo de la automorphism Frobenius de K .

Sea R un anillo de característica p > 0 . Si R es un dominio integral, entonces por el mismo razonamiento, los puntos fijos de Frobenius son los elementos del campo primo. Sin embargo, si R no es un dominio, entonces X ^p - X puede tener más de p raíces; por ejemplo, esto sucede si R = F _p × F _p .

Una propiedad similar es disfrutado en el campo finito por el n º iterate de la automorphism Frobenius: Cada elemento de una raíz de , por lo que si K es una extensión algebraica de y F es la automorphism Frobenius de K , entonces el campo fijo de F ⁿ es . Si R es un dominio que es un -algebra, entonces los puntos fijos de la n º iterate de Frobenius son los elementos de la imagen de . ${\ Displaystyle \ mathbf {F} _ {p ^ {n}}}$${\ Displaystyle \ mathbf {F} _ {p ^ {n}}}$${\ Displaystyle X ^ {p ^ {n}} - X}$${\ Displaystyle \ mathbf {F} _ {p ^ {n}}}$${\ Displaystyle \ mathbf {F} _ {p ^ {n}}}$${\ Displaystyle \ mathbf {F} _ {p ^ {n}}}$${\ Displaystyle \ mathbf {F} _ {p ^ {n}}}$

La iteración del mapa de Frobenius da una secuencia de elementos en R :

${\ Displaystyle x, x ^ {p}, x ^ {p ^ {2}}, x ^ {p ^ {3}}, \ ldots.}$

Esta secuencia de iteraciones se utiliza para definir el cierre de Frobenius y el cierre hermético de un ideal.

Como generador de grupos Galois

El grupo de Galois de una extensión de campos finitos se genera mediante una iteración del automorfismo de Frobenius. Primero, considere el caso donde el campo de tierra es el campo principal F _p . Sea F _q el campo finito de q elementos, donde q = p ⁿ . El automorfismo de Frobenius F de F _q fija el campo primo F _p , por lo que es un elemento del grupo Galois Gal ( F _q / F _p ) . De hecho, dado que es cíclico con q - 1 elementos , sabemos que el grupo de Galois es cíclico y F es un generador. El orden de F es n porque F ⁿ actúa sobre un elemento x enviándolo ax ^q , y esta es la identidad de los elementos de F _q . Cada automorfismo de F _q es una potencia de F , y los generadores son los poderes F ⁱ con i primos entre sí a n . ${\ Displaystyle \ mathbf {F} _ {q} ^ {\ times}}$

Ahora considere el campo finito F _{q ^f} como una extensión de F _q , donde q = p ⁿ como arriba. Si n > 1 , entonces el Frobenius automorphism F de F _{q ^f} no soluciona el campo suelo F _q , pero su n º iterar F ⁿ hace. El grupo de Galois Gal ( F _{q ^f}  / F _q ) es cíclico de orden f y es generado por F ⁿ . Es el subgrupo de Gal ( F _{q ^f}  / F _p ) generado por F ⁿ . Los generadores de Gal ( F _{q ^f}  / F _q ) son las potencias F ⁿⁱ donde i es coprime af .

El automorfismo de Frobenius no es un generador del grupo absoluto de Galois

${\ Displaystyle \ operatorname {Gal} \ left ({\ overline {\ mathbf {F} _ {q}}} / \ mathbf {F} _ {q} \ right),}$

porque este grupo de Galois es isomorfo a los enteros profinitos

${\ Displaystyle {\ widehat {\ mathbf {Z}}} = \ varprojlim _ {n} \ mathbf {Z} / n \ mathbf {Z},}$

que no son cíclicos. Sin embargo, debido a que el automorfismo de Frobenius es un generador del grupo de Galois de cada extensión finita de F _q , es un generador de cada cociente finito del grupo de Galois absoluto. En consecuencia, es un generador topológico en la topología habitual de Krull en el grupo de Galois absoluto.

Frobenius para esquemas

Hay varias formas diferentes de definir el morfismo de Frobenius para un esquema . El más fundamental es el morfismo absoluto de Frobenius. Sin embargo, el morfismo absoluto de Frobenius se comporta mal en la situación relativa porque no presta atención al esquema base. Hay varias formas diferentes de adaptar el morfismo de Frobenius a la situación relativa, cada una de las cuales es útil en determinadas situaciones.

Sea φ: X → S un morfismo de esquemas, y denote los morfismos absolutos de Frobenius de S y X por F _S y F _X , respectivamente. Definir X ^{( p )} para ser el cambio de base de X por F _S . Luego, el diagrama anterior conmuta y el cuadrado es cartesiano . El morfismo F _{X / S} es relativo Frobenius.

El morfismo absoluto de Frobenius

Suponga que X es un esquema de característica p > 0 . Elija una afín subconjunto abierto U = Spec Una de X . El anillo A es un F _p -álgebra, por lo que admite un endomorfismo de Frobenius. Si V es un subconjunto afín abierto de U , luego por la naturalidad de Frobenius, el morfismo Frobenius en U , cuando restringido a V , es el morfismo Frobenius en V . Por consiguiente, las colas de morfismos de Frobenius para dar un endomorfismo de X . Este endomorphism se llama la absoluta morfismo Frobenius de X , denotado F _X . Por definición, es un homeomorfismo de X consigo mismo. El morfismo absoluto de Frobenius es una transformación natural del funtor de identidad en la categoría de esquemas F _p a sí mismo.

Si X es un esquema S y el morfismo de Frobenius de S es la identidad, entonces el morfismo absoluto de Frobenius es un morfismo de esquemas S. En general, sin embargo, no lo es. Por ejemplo, considere el anillo . Deje que X y S sean ambos iguales a Spec A con el mapa de estructura X → S siendo la identidad. El morfismo de Frobenius en A envía una a una ^p . No es un morfismo de -álgebras. Si lo fuera, entonces multiplicar por un elemento b en conmutaría con la aplicación del endomorfismo de Frobenius. Pero esto no es cierto porque: ${\ Displaystyle A = \ mathbf {F} _ {p ^ {2}}}$${\ Displaystyle \ mathbf {F} _ {p ^ {2}}}$${\ Displaystyle \ mathbf {F} _ {p ^ {2}}}$

${\ Displaystyle b \ cdot a = ba \ neq F (b) \ cdot a = b ^ {p} a.}$

La primera es la acción de b en la estructura de -álgebra con la que comienza A , y la segunda es la acción de inducida por Frobenius. En consecuencia, el morfismo de Frobenius en Spec A no es un morfismo de esquemas. ${\ Displaystyle \ mathbf {F} _ {p ^ {2}}}$${\ Displaystyle \ mathbf {F} _ {p ^ {2}}}$${\ Displaystyle \ mathbf {F} _ {p ^ {2}}}$

El morfismo absoluto de Frobenius es un morfismo puramente inseparable de grado p . Su diferencial es cero. Conserva productos, lo que significa que para dos esquemas de X y de Y , F _{X × Y} = F _X × F _Y .

Restricción y extensión de escalares por Frobenius

Supongamos que φ  : X → S es el morfismo estructura para un S -Esquema X . El esquema de base de S tiene una Frobenius morfismo F _S . La composición de φ con F _S da como resultado un esquema S X _F llamado restricción de escalares por Frobenius . La restricción de escalares es en realidad un funtor, porque un S -morphism X → Y induce una S -morphism X _F → Y _F .

Por ejemplo, considere un anillo A de característica p > 0 y un álgebra finita sobre A :

${\ Displaystyle R = A [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}] / (f_ {1}, \ ldots, f_ {m}).}$

La acción de A sobre R viene dada por:

${\ Displaystyle c \ cdot \ sum a _ {\ alpha} X ^ {\ alpha} = \ sum ca _ {\ alpha} X ^ {\ alpha},}$

donde α es un índice múltiple. Deje que X = Spec R . Entonces X _F es el esquema afín Spec R , pero su morfismo de estructura Spec R → Spec A , y por lo tanto la acción de A sobre R , es diferente:

${\ Displaystyle c \ cdot \ sum a _ {\ alpha} X ^ {\ alpha} = \ sum F (c) a _ {\ alpha} X ^ {\ alpha} = \ sum c ^ {p} a _ {\ alpha} X ^ {\ alpha}.}$

Debido a que la restricción de escalares por Frobenius es simplemente composición, muchas propiedades de X son heredadas por X _F bajo hipótesis apropiadas sobre el morfismo de Frobenius. Por ejemplo, si X y S _F son tanto de tipo finito, entonces también lo es X _F .

La extensión de los escalares por Frobenius se define como:

${\ Displaystyle X ^ {(p)} = X \ times _ {S} S_ {F}.}$

La proyección sobre el factor S hace que X ^{( p ) sea} un esquema S. Si S no está claro en el contexto, entonces X ^{( p )} se denota por X ^{( p / S )} . Al igual que la restricción de escalares, la extensión de escalares es un funtor: un S -morfismo X → Y determina un S -morfismo X ^{( p )} → Y ^{( p )} .

Al igual que antes, considere un anillo A y un número finito presentado álgebra R sobre A , y de nuevo deje que X = Spec R . Luego:

${\ Displaystyle X ^ {(p)} = \ operatorname {Spec} R \ otimes _ {A} A_ {F}.}$

Una sección global de X ^{( p )} tiene la forma:

${\ Displaystyle \ sum _ {i} \ left (\ sum _ {\ alpha} a_ {i \ alpha} X ^ {\ alpha} \ right) \ a veces b_ {i} = \ sum _ {i} \ sum _ {\ alpha} X ^ {\ alpha} \ otimes a_ {i \ alpha} ^ {p} b_ {i},}$

donde α es un multi-índice y cada una _iα y b _i es un elemento de A . La acción de un elemento c de A en esta sección es:

${\ Displaystyle c \ cdot \ sum _ {i} \ left (\ sum _ {\ alpha} a_ {i \ alpha} X ^ {\ alpha} \ right) \ a veces b_ {i} = \ sum _ {i} \ left (\ sum _ {\ alpha} a_ {i \ alpha} X ^ {\ alpha} \ right) \ otimes b_ {i} c.}$

En consecuencia, X ^{( p )} es isomorfo a:

${\ Displaystyle \ operatorname {Spec} A [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}] / \ left (f_ {1} ^ {(p)}, \ ldots, f_ {m} ^ {(p) }\derecho),}$

donde, si:

${\ Displaystyle f_ {j} = \ sum _ {\ beta} f_ {j \ beta} X ^ {\ beta},}$

luego:

${\ Displaystyle f_ {j} ^ {(p)} = \ sum _ {\ beta} f_ {j \ beta} ^ {p} X ^ {\ beta}.}$

Una descripción similar es válida para A -algebras R arbitrarias .

Debido a que la extensión de los escalares es un cambio de base, conserva los límites y los coproductos. Esto implica en particular que si X tiene una estructura algebraica definida en términos de límites finitos (como ser un esquema de grupo), entonces también la tiene X ^{( p )} . Además, ser un cambio de base significa que la extensión de los escalares conserva propiedades como ser de tipo finito, presentación finita, separado, afín, etc.

La extensión de los escalares se comporta bien con respecto al cambio de base: Dado un morfismo S ′ → S , hay un isomorfismo natural:

${\ Displaystyle X ^ {(p / S)} \ times _ {S} S '\ cong (X \ times _ {S} S') ^ {(p / S ')}.}$

Frobenius relativo

Sea X un esquema S con morfismo de estructura φ . El morfismo relativo de Frobenius de X es el morfismo:

${\ Displaystyle F_ {X / S}: X \ a X ^ {(p)}}$

definido por la propiedad universal del retroceso X ^{( p )} (ver el diagrama de arriba):

${\ Displaystyle F_ {X / S} = (F_ {X}, \ varphi).}$

Debido a que el morfismo absoluto de Frobenius es natural, el morfismo relativo de Frobenius es un morfismo de esquemas- S .

Considere, por ejemplo, el álgebra A :

${\ Displaystyle R = A [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}] / (f_ {1}, \ ldots, f_ {m}).}$

Tenemos:

${\ Displaystyle R ^ {(p)} = A [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}] / (f_ {1} ^ {(p)}, \ ldots, f_ {m} ^ {(p )}).}$

El morfismo relativo de Frobenius es el homomorfismo R ^{( p )} → R definido por:

${\ Displaystyle \ sum _ {i} \ sum _ {\ alpha} X ^ {\ alpha} \ otimes a_ {i \ alpha} \ mapsto \ sum _ {i} \ sum _ {\ alpha} a_ {i \ alpha } X ^ {p \ alpha}.}$

El Frobenius relativo es compatible con el cambio de base en el sentido de que, bajo el isomorfismo natural de X ^{( p / S )} × _S S ′ y ( X × _S S ′) ^{( p / S ′)} , tenemos:

${\ Displaystyle F_ {X / S} \ times 1_ {S '} = F_ {X \ times _ {S} S' / S '}.}$

Frobenius relativo es un homeomorfismo universal. Si X → S es una inmersión abierta, entonces es la identidad. Si X → S es una inmersión cerrado determinado por un ideal gavilla I de O _S , entonces X ^{( p )} se determina por el ideal gavilla I ^p y relativa Frobenius es el mapa de aumento O _S / I ^p → O _S / I .

X no está ramificado sobre S si y solo si F _{X / S no} está ramificado y si y solo si F _{X / S} es un monomorfismo. X es étale sobre S si y sólo si F _{X / S} es étale y si y sólo si F _{X / S} es un isomorfismo.

Aritmética Frobenius

El morfismo aritmético de Frobenius de un esquema S X es un morfismo:

${\ Displaystyle F_ {X / S} ^ {a}: X ^ {(p)} \ a X \ times _ {S} S \ cong X}$

definido por:

${\ Displaystyle F_ {X / S} ^ {a} = 1_ {X} \ times F_ {S}.}$

Es decir, es el cambio de base de F _S por 1 _X .

Nuevamente, si:

${\ Displaystyle R = A [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}] / (f_ {1}, \ ldots, f_ {m}),}$

${\ Displaystyle R ^ {(p)} = A [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}] / (f_ {1}, \ ldots, f_ {m}) \ otimes _ {A} A_ {F },}$

entonces la aritmética Frobenius es el homomorfismo:

${\ Displaystyle \ sum _ {i} \ left (\ sum _ {\ alpha} a_ {i \ alpha} X ^ {\ alpha} \ right) \ a veces b_ {i} \ mapsto \ sum _ {i} \ sum _ {\ alpha} a_ {i \ alpha} b_ {i} ^ {p} X ^ {\ alpha}.}$

Si reescribimos R ^{( p )} como:

${\ Displaystyle R ^ {(p)} = A [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}] / \ left (f_ {1} ^ {(p)}, \ ldots, f_ {m} ^ { (p)} \ derecha),}$

entonces este homomorfismo es:

${\ Displaystyle \ sum a _ {\ alpha} X ^ {\ alpha} \ mapsto \ sum a _ {\ alpha} ^ {p} X ^ {\ alpha}.}$

Frobenius geométrico

Suponga que el morfismo absoluto de Frobenius de S es invertible con inverso . Vamos a denotar el S -Esquema . Luego hay una extensión de escalares de X por : ${\ Displaystyle F_ {S} ^ {- 1}}$${\ Displaystyle S_ {F ^ {- 1}}}$${\ Displaystyle F_ {S} ^ {- 1}: S \ a S}$${\ Displaystyle F_ {S} ^ {- 1}}$

${\ Displaystyle X ^ {(1 / p)} = X \ times _ {S} S_ {F ^ {- 1}}.}$

Si:

${\ Displaystyle R = A [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}] / (f_ {1}, \ ldots, f_ {m}),}$

luego extendiendo los escalares da: ${\ Displaystyle F_ {S} ^ {- 1}}$

${\ Displaystyle R ^ {(1 / p)} = A [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}] / (f_ {1}, \ ldots, f_ {m}) \ otimes _ {A} A_ {F ^ {- 1}}.}$

Si:

${\ Displaystyle f_ {j} = \ sum _ {\ beta} f_ {j \ beta} X ^ {\ beta},}$

luego escribimos:

${\ Displaystyle f_ {j} ^ {(1 / p)} = \ sum _ {\ beta} f_ {j \ beta} ^ {1 / p} X ^ {\ beta},}$

y luego hay un isomorfismo:

${\ Displaystyle R ^ {(1 / p)} \ cong A [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}] / (f_ {1} ^ {(1 / p)}, \ ldots, f_ {m } ^ {(1 / p)}).}$

El morfismo geométrico de Frobenius de un esquema S X es un morfismo:

${\ Displaystyle F_ {X / S} ^ {g}: X ^ {(1 / p)} \ a X \ times _ {S} S \ cong X}$

definido por:

${\ Displaystyle F_ {X / S} ^ {g} = 1_ {X} \ times F_ {S} ^ {- 1}.}$

Es el cambio de base de por 1 _X . ${\ Displaystyle F_ {S} ^ {- 1}}$

Continuando con nuestro ejemplo de A y R anterior, el Frobenius geométrico se define como:

${\ Displaystyle \ sum _ {i} \ left (\ sum _ {\ alpha} a_ {i \ alpha} X ^ {\ alpha} \ right) \ a veces b_ {i} \ mapsto \ sum _ {i} \ sum _ {\ alpha} a_ {i \ alpha} b_ {i} ^ {1 / p} X ^ {\ alpha}.}$

Después de reescribir R ^{(1 / p )} en términos de , Frobenius geométrico es: ${\ Displaystyle \ {f_ {j} ^ {(1 / p)} \}}$

${\ Displaystyle \ sum a _ {\ alpha} X ^ {\ alpha} \ mapsto \ sum a _ {\ alpha} ^ {1 / p} X ^ {\ alpha}.}$

Frobenius aritmético y geométrico como acciones de Galois

Suponga que el morfismo de Frobenius de S es un isomorfismo. Luego se genera un subgrupo del grupo automorphism de S . Si S = Spec k es el espectro de un campo finito, entonces su grupo de automorfismo es el grupo de Galois del campo sobre el campo principal, y el morfismo de Frobenius y su inverso son ambos generadores del grupo de automorfismo. Además, X ^{( p )} y X ^{(1 / p )} pueden ser identificados con X . Los morfismos Frobenius aritméticas y geométricas son entonces endomorfismos de X , y así conducen a una acción del grupo de Galois de k en X .

Considere el conjunto de puntos K X ( K ) . Este conjunto viene con una acción de Galois: cada uno de esos puntos x corresponde a un homomorfismo O _X → K de la estructura de la gavilla a K , que factoriza a través de k (x) , el campo de residuos en x , y la acción de Frobenius sobre x es el aplicación del morfismo de Frobenius al campo de residuos. Esta acción de Galois concuerda con la acción de la aritmética Frobenius: el morfismo compuesto

${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} \ to k (x) {\ xrightarrow {\ overset {} {F}}} k (x)}$

es lo mismo que el morfismo compuesto:

${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} {\ xrightarrow {{\ overset {} {F}} _ {X / S} ^ {a}}} {\ mathcal {O}} _ {X} \ to k (x)}$

por la definición de la aritmética Frobenius. En consecuencia, la aritmética Frobenius exhibe explícitamente la acción del grupo de Galois en puntos como un endomorfismo de X .

Frobenius para campos locales

Dada una extensión finita no ramificada L / K de campos locales , existe un concepto de endomorfismo de Frobenius que induce el endomorfismo de Frobenius en la extensión correspondiente de los campos de residuos .

Suponga que L / K es una extensión no ramificada de campos locales, con un anillo de números enteros O _K de K tal que el campo de residuos, los enteros de K módulo su ideal máximo único φ , es un campo finito de orden q , donde q es una potencia de una prima. Si Φ es un primo de L que se encuentra sobre φ , que L / K no está ramificado significa, por definición, que los números enteros de L módulo Φ , el campo de residuos de L , será un campo finito de orden q ^{f que} extiende el campo de residuos de K donde f es el grado de L / K . Podemos definir el mapa de Frobenius para elementos del anillo de enteros O _L de L como un automorfismo s _Φ de L tal que

${\ Displaystyle s _ {\ Phi} (x) \ equiv x ^ {q} \ mod \ Phi.}$

Frobenius para campos globales

En teoría algebraica de números , elementos de Frobenius se definen para las extensiones de L / K de los campos globales que son finitos extensiones de Galois de ideales primos phi de L que se unramified en L / K . Dado que la extensión no está ramificada, el grupo de descomposición de Φ es el grupo de Galois de la extensión de los campos de residuos. El elemento de Frobenius se puede definir entonces para elementos del anillo de números enteros de L como en el caso local, por

${\ Displaystyle s _ {\ Phi} (x) \ equiv x ^ {q} \ mod \ Phi,}$

donde q es el orden del campo de residuos O _K / (Φ ∩ O _K ) .

Las elevaciones del Frobenius están en correspondencia con las derivaciones p .

Ejemplos de

El polinomio

x ⁵ - x - 1

tiene discriminante

19 × 151 ,

y así está sin ramificar en el primer 3; también es irreducible mod 3. Por lo tanto, unir una raíz ρ del mismo al campo de 3 números ádicos Q ₃ da una extensión Q ₃ ( ρ ) sin ramificar de Q ₃ . Podemos encontrar la imagen de ρ bajo el mapa de Frobenius localizando la raíz más cercana a ρ ³ , lo que podemos hacer mediante el método de Newton . Obtenemos un elemento del anillo de números enteros Z ₃ [ ρ ] de esta manera; este es un polinomio de grado cuatro en ρ con coeficientes en los enteros 3 -ádicos Z ₃ . Módulo 3 ⁸ este polinomio es

${\ Displaystyle \ rho ^ {3} +3 (460 + 183 \ rho -354 \ rho ^ {2} -979 \ rho ^ {3} -575 \ rho ^ {4})}$.

Esto es algebraico sobre Q y es la imagen global correcta de Frobenius en términos de la incrustación de Q en Q ₃ ; además, los coeficientes son algebraicos y el resultado se puede expresar algebraicamente. Sin embargo, son de grado 120, el orden del grupo de Galois, lo que ilustra el hecho de que los cálculos explícitos se realizan mucho más fácilmente si los resultados p -ádicos son suficientes.

Si L / K es una extensión abeliana de los campos globales, obtenemos una congruencia mucho más fuerte, ya que sólo depende de la primer φ en el campo de base K . Por ejemplo, considere la extensión Q ( β ) de Q obtenida al unir una raíz β que satisface

${\ Displaystyle \ beta ^ {5} + \ beta ^ {4} -4 \ beta ^ {3} -3 \ beta ^ {2} +3 \ beta + 1 = 0}$

a Q . Esta extensión es cíclica de orden cinco, con raíces

${\ Displaystyle 2 \ cos {\ tfrac {2 \ pi n} {11}}}$

para entero n . Tiene raíces que son polinomios de Chebyshev de β :

β ² - 2, β ³ - 3 β , β ⁵ - 5 β ³ + 5 β

dar el resultado del mapa de Frobenius para los primos 2, 3 y 5, y así sucesivamente para los primos más grandes que no sean iguales a 11 o de la forma 22 n + 1 (que se dividen). Es inmediatamente evidente cómo el mapa de Frobenius da un resultado igual mod p a la p -ésima potencia de la raíz β .

Ver también

• Campo perfecto
• Frobenioide
• Campo finito § Automorfismo de Frobenius y teoría de Galois
• Homeomorfismo universal

Referencias

• "Automorfismo de Frobenius" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• "Endomorfismo de Frobenius" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]