Esencialmente único - Essentially unique
En matemáticas , el término esencialmente único se usa para describir una forma más débil de unicidad, donde un objeto que satisface una propiedad es "único" sólo en el sentido de que todos los objetos que satisfacen la propiedad son equivalentes entre sí. La noción de unicidad esencial presupone alguna forma de "igualdad", que a menudo se formaliza utilizando una relación de equivalencia .
Una noción relacionada es una propiedad universal , donde un objeto no solo es esencialmente único, sino único hasta un isomorfismo único (lo que significa que tiene un grupo de automorfismo trivial ). En general, puede haber más de un isomorfismo entre ejemplos de un objeto esencialmente único.
Ejemplos
Teoría de conjuntos
En el nivel más básico, existe un conjunto esencialmente único de cualquier cardinalidad dada , ya sea que se etiqueten los elementos o . En este caso, la no unicidad del isomorfismo (por ejemplo, emparejar 1 con o 1 con ) se refleja en el grupo simétrico .
Por otro lado, hay una esencialmente único ordenado conjunto de cualquier cardinalidad finito dado: si uno escribe y , a continuación, el único isomorfismo orden de preservación es el uno que mapea 1 a , 2 a , y 3 a .
Teoría de los números
El teorema fundamental de la aritmética establece que la factorización de cualquier entero positivo en números primos es esencialmente única, es decir, única hasta el orden de los factores primos.
Teoría de grupos
En el contexto de la clasificación de grupos , existe un grupo esencialmente único que contiene exactamente 2 elementos. De manera similar, también hay un grupo esencialmente único que contiene exactamente 3 elementos: el grupo cíclico de orden tres. De hecho, independientemente de cómo se elija escribir los tres elementos y denotar la operación de grupo, se puede demostrar que todos esos grupos son isomorfos entre sí y, por lo tanto, son "iguales".
Por otro lado, no existe un grupo esencialmente único con exactamente 4 elementos, ya que en este caso hay dos grupos no isomorfos en total: el grupo cíclico de orden 4 y el grupo de Klein cuatro .
Teoría de la medida
Existe una medida esencialmente única que es la traducción : invariante , estrictamente positiva y localmente finita en la línea real . De hecho, cualquier medida de este tipo debe ser un múltiplo constante de la medida de Lebesgue , especificando que la medida del intervalo unitario debe ser 1, antes de determinar la solución de forma única.
Topología
Existe un colector bidimensional, compacto y de conexión simple , esencialmente único : el de 2 esferas . En este caso, es único hasta el homeomorfismo .
En el área de la topología conocida como teoría de nudos , existe un análogo del teorema fundamental de la aritmética: la descomposición de un nudo en una suma de nudos primos es esencialmente única.
Teoría de la mentira
Un subgrupo compacto máximo de un grupo de Lie semisimple puede no ser único, pero es único hasta la conjugación.
Teoría de categorías
Un objeto que es el límite o colimit sobre un diagrama dado es esencialmente único, ya que existe un isomorfismo único para cualquier otro objeto limitante / colimitante.
Teoría de la codificación
Dada la tarea de utilizar palabras de 24 bits para almacenar 12 bits de información de tal manera que se puedan detectar errores de 7 bits y corregir errores de 3 bits, la solución es esencialmente única: el código binario extendido Golay .
Ver también
- Teorema de clasificación
- Módulo , un término matemático perteneciente a la equivalencia de objetos
- Propiedad universal
- Hasta