Cascada de energía - Energy cascade

Visualización del flujo de un chorro turbulento, realizado por fluorescencia inducida por láser . El chorro presenta una amplia gama de escalas de longitud, un requisito previo para la aparición de una cascada de energía en el modelado de turbulencia.

En la mecánica del continuo , una cascada de energía implica la transferencia de energía de grandes escalas de movimiento a pequeñas escalas (llamada cascada de energía directa ) o una transferencia de energía de pequeñas escalas a grandes escalas (llamada cascada de energía inversa ). Esta transferencia de energía entre diferentes escalas requiere que la dinámica del sistema no sea lineal . Estrictamente hablando, una cascada requiere que la transferencia de energía sea local en escala (solo entre fluctuaciones de casi el mismo tamaño), evocando una cascada en cascada de un grupo a otro sin transferencias de largo alcance a través del dominio de escala.

Este concepto juega un papel importante en el estudio de turbulencias bien desarrolladas . Lewis F. Richardson lo expresó de manera memorable en este poema en la década de 1920. Las cascadas de energía también son importantes para las olas de viento en la teoría de la turbulencia de las olas .

Considere, por ejemplo, la turbulencia generada por el flujo de aire alrededor de un edificio alto: los remolinos que contienen energía generados por la separación del flujo tienen tamaños del orden de decenas de metros. En algún lugar aguas abajo, la disipación por viscosidad tiene lugar, en su mayor parte, en remolinos en las microescalas de Kolmogorov : del orden de un milímetro para el presente caso. En estas escalas intermedias, no hay un forzamiento directo del flujo ni una cantidad significativa de disipación viscosa, pero hay una transferencia neta no lineal de energía de las escalas grandes a las pequeñas.

Este rango intermedio de escalas, si está presente, se denomina subrango inercial . La dinámica en estas escalas se describe mediante el uso de auto-semejanza , o por suposiciones - para cierre de turbulencia - sobre las propiedades estadísticas del flujo en el subrango inercial. Un trabajo pionero fue la deducción por Andrey Kolmogorov en la década de 1940 del espectro de número de onda esperado en el subrango de inercia de turbulencia.

Espectros en el subrango inercial de flujo turbulento

Ilustración esquemática de producción, cascada de energía y disipación en el espectro energético de turbulencia.

Los movimientos más grandes, o remolinos, de turbulencia contienen la mayor parte de la energía cinética , mientras que los remolinos más pequeños son responsables de la disipación viscosa de la energía cinética de la turbulencia. Kolmogorov planteó la hipótesis de que cuando estas escalas están bien separadas, el rango intermedio de escalas de longitud sería estadísticamente isótropo, y que sus características en equilibrio dependerían solo de la velocidad a la que se disipa la energía cinética en las escalas pequeñas. Disipación es la fricción conversión de energía mecánica a energía térmica . La tasa de disipación`` puede escribirse en términos de las tasas fluctuantes de deformación en el flujo turbulento y la viscosidad cinemática del fluido, v . Tiene dimensiones de energía por unidad de masa por segundo. En equilibrio, la producción de energía cinética de turbulencia en las grandes escalas de movimiento es igual a la disipación de esta energía en las pequeñas escalas. ${\ Displaystyle \ varepsilon}$

Espectro energético de turbulencia

El espectro de energía de la turbulencia, E ( k ), está relacionado con la energía cinética de turbulencia media por unidad de masa como

${\ Displaystyle {\ frac {1} {2}} \ left ({\ overline {u_ {i} u_ {i}}} \ right) = \ int _ {0} ^ {\ infty} E (k) \ ; dk,}$

donde u _i son los componentes de la velocidad fluctuante, la barra superior denota un promedio del conjunto, la suma sobre i está implícita y k es el número de onda . El espectro de energía, E ( k ), representa así la contribución a la energía cinética de la turbulencia por los números de onda de k a k  + d k . Los remolinos más grandes tienen un número de onda bajo y los pequeños remolinos tienen un número de onda alto.

Dado que la difusión es la laplaciana de la velocidad, la tasa de disipación se puede escribir en términos del espectro de energía como:

${\ Displaystyle \ varepsilon = 2 \ nu \ int _ {0} ^ {\ infty} k ^ {2} E (k) \; dk,}$

con ν la viscosidad cinemática del fluido. A partir de esta ecuación, se puede observar nuevamente que la disipación se asocia principalmente con números de onda altos (pequeños remolinos) aunque la energía cinética se asocia principalmente con números de onda más bajos (remolinos grandes).

Espectro de energía en el subrango inercial

La transferencia de energía de los números de onda bajos a los números de onda altos es la cascada de energía. Esta transferencia trae energía cinética de turbulencia de las escalas grandes a las escalas pequeñas, en las que la fricción viscosa la disipa. En el rango intermedio de escalas, el llamado subrango inercial, las hipótesis de Kolmogorov llevaron a la siguiente forma universal para el espectro de energía:

${\ Displaystyle E (k) = C \ varepsilon ^ {2/3} k ^ {- 5/3}.}$

Un extenso cuerpo de evidencia experimental respalda este resultado, en una amplia gama de condiciones. Experimentalmente, se observa el valor C = 1,5 .

Espectro de fluctuaciones de presión

Las fluctuaciones de presión en un flujo turbulento se pueden caracterizar de manera similar. La fluctuación de la presión cuadrática media en un flujo turbulento puede representarse mediante un espectro de presión, π ( k ):

${\ Displaystyle {\ overline {p ^ {2}}} = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ pi (k) \; dk.}$

Para el caso de turbulencia sin gradiente de velocidad media (turbulencia isotrópica), el espectro en el subrango inercial viene dado por

${\ Displaystyle \ pi (k) = \ alpha \ rho ^ {2} \ varepsilon ^ {4/3} k ^ {- 7/3},}$

donde ρ es la densidad del fluido y α = 1.32 C ² = 2.97. Un gradiente de velocidad de flujo medio ( flujo de cizallamiento ) crea una contribución adicional y aditiva al espectro de presión de subrango de inercia que varía como k ^−11/3 ; pero el comportamiento k ^−7/3 es dominante en números de onda más altos.

Espectro de perturbaciones capilares en una superficie de líquido libre

Las fluctuaciones de presión debajo de la superficie libre de un líquido pueden generar desplazamientos fluctuantes de la superficie del líquido. Esta interacción superficie libre-turbulencia también puede caracterizarse por un espectro de números de onda . Si δ es el desplazamiento instantáneo de la superficie desde su posición promedio, el desplazamiento cuadrático medio puede representarse con un espectro de desplazamiento G ( k ) como:

${\ Displaystyle {\ overline {\ delta ^ {2}}} = \ int _ {0} ^ {\ infty} G (k) \; dk.}$

Se puede combinar una forma tridimensional del espectro de presión con la ecuación de Young-Laplace para mostrar que:

${\ Displaystyle G (k) \ propto k ^ {- 19/3}.}$

La observación experimental de esta ley k- ^19/3 se ha obtenido mediante mediciones ópticas de la superficie de chorros de líquido libres turbulentos.

Notas

Referencias

• Chorin, AJ (1994), Vorticidad y turbulencia , Ciencias Matemáticas Aplicadas, 103 , Springer, ISBN 978-0-387-94197-4
• Falkovich, G .; Sreenivasan, KR , "Lecciones de la turbulencia hidrodinámica", Physics Today , 59 (4): 43–49, Bibcode : 2006PhT .... 59d..43F , doi : 10.1063 / 1.2207037
• Frisch, U. (1995), Turbulence: The Legacy of AN Kolmogorov , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-45713-2
• Newell, AC ; Rumpf, B. (2011), "Wave turbulence", Annual Review of Fluid Mechanics , 43 : 59–78, Bibcode : 2011AnRFM..43 ... 59N , doi : 10.1146 / annurev-fluid-122109-160807
• Richardson, LF (1922), predicción meteorológica por proceso numérico , Cambridge University Press, OCLC  3494280

enlaces externos

• G. Falkovich (ed.). "Cascada y escalado" . Scholarpedia .