Ecuación de onda electromagnética - Electromagnetic wave equation

La ecuación de ondas electromagnéticas es una ecuación diferencial parcial de segundo orden que describe la propagación de ondas electromagnéticas a través de un medio o en el vacío . Es una forma tridimensional de la ecuación de onda . La forma homogénea de la ecuación, escrita en términos del campo eléctrico E o del campo magnético B , toma la forma:

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ left (v _ {\ mathrm {ph}} ^ {2} \ nabla ^ {2} - {\ frac {\ parcial ^ {2}} {\ parcial t ^ {2} }} \ right) \ mathbf {E} & = \ mathbf {0} \\\ left (v _ {\ mathrm {ph}} ^ {2} \ nabla ^ {2} - {\ frac {\ partial ^ {2 }} {\ t parcial ^ {2}}} \ right) \ mathbf {B} & = \ mathbf {0} \ end {alineado}}}$

dónde

${\ Displaystyle v _ {\ mathrm {ph}} = {\ frac {1} {\ sqrt {\ mu \ varepsilon}}}}$

es la velocidad de la luz (es decir , la velocidad de fase ) en un medio con permeabilidad μ y permitividad ε , y ∇ ² es el operador de Laplace . En el vacío, v _ph = c ₀ =299 792 458  m / s , una constante física fundamental. La ecuación de onda electromagnética se deriva de las ecuaciones de Maxwell . En la mayoría de la literatura más antigua, B se denomina densidad de flujo magnético o inducción magnética .

El origen de la ecuación de ondas electromagnéticas.

En su artículo de 1865 titulado A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field , James Clerk Maxwell utilizó la corrección a la ley circuital de Ampère que había hecho en la parte III de su artículo de 1861 On Physical Lines of Force . En la Parte VI de su artículo de 1864 titulado Teoría electromagnética de la luz , Maxwell combinó la corriente de desplazamiento con algunas de las otras ecuaciones del electromagnetismo y obtuvo una ecuación de onda con una velocidad igual a la velocidad de la luz. Comentó:

La concordancia de los resultados parece mostrar que la luz y el magnetismo son afecciones de la misma sustancia, y que la luz es una perturbación electromagnética que se propaga a través del campo según las leyes electromagnéticas.

La derivación de Maxwell de la ecuación de ondas electromagnéticas ha sido reemplazada en la educación física moderna por un método mucho menos engorroso que implica combinar la versión corregida de la ley circuital de Ampère con la ley de inducción de Faraday .

Para obtener la ecuación de ondas electromagnéticas en el vacío utilizando el método moderno, comenzamos con la forma moderna ' Heaviside' de las ecuaciones de Maxwell . En un espacio libre de vacío y carga, estas ecuaciones son:

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ nabla \ cdot \ mathbf {E} & = 0 \\\ nabla \ times \ mathbf {E} & = - {\ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}} \\\ nabla \ cdot \ mathbf {B} & = 0 \\\ nabla \ times \ mathbf {B} & = \ mu _ {0} \ varepsilon _ {0} {\ frac {\ partial \ mathbf {E}} {\ parcial t}} \\\ end {alineado}}}$

Estas son las ecuaciones generales de Maxwell especializadas para el caso con carga y corriente ajustadas a cero. Tomando el rizo de las ecuaciones rizo da:

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ nabla \ times \ left (\ nabla \ times \ mathbf {E} \ right) & = \ nabla \ times \ left (- {\ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ parcial t}} \ derecha) = - {\ frac {\ parcial} {\ parcial t}} \ izquierda (\ nabla \ veces \ mathbf {B} \ derecha) = - \ mu _ {0} \ varepsilon _ {0} {\ frac {\ parcial ^ {2} \ mathbf {E}} {\ parcial t ^ {2}}} \\\ nabla \ times \ left (\ nabla \ times \ mathbf {B} \ right) & = \ nabla \ veces \ izquierda (\ mu _ {0} \ varepsilon _ {0} {\ frac {\ parcial \ mathbf {E}} {\ parcial t}} \ derecha) = \ mu _ {0} \ varepsilon _ {0} {\ frac {\ parcial} {\ parcial t}} \ left (\ nabla \ times \ mathbf {E} \ right) = - \ mu _ {0} \ varepsilon _ {0} {\ frac {\ parcial ^ {2} \ mathbf {B}} {\ parcial t ^ {2}}} \ end {alineado}}}$

Podemos usar la identidad vectorial

${\ Displaystyle \ nabla \ times \ left (\ nabla \ times \ mathbf {V} \ right) = \ nabla \ left (\ nabla \ cdot \ mathbf {V} \ right) - \ nabla ^ {2} \ mathbf { V}}$

donde V es cualquier función vectorial del espacio. Y

${\ Displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {V} = \ nabla \ cdot \ left (\ nabla \ mathbf {V} \ right)}$

donde ∇ V es una diádica que cuando es operada por el operador de divergencia ∇ ⋅ produce un vector. Ya que

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ nabla \ cdot \ mathbf {E} & = 0 \\\ nabla \ cdot \ mathbf {B} & = 0 \ end {alineado}}}$

luego el primer término de la derecha en la identidad desaparece y obtenemos las ecuaciones de onda:

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {1} {c_ {0} ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} \ mathbf {E}} {\ partial t ^ {2} }} - \ nabla ^ {2} \ mathbf {E} & = 0 \\ {\ frac {1} {c_ {0} ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} \ mathbf {B }} {\ t parcial ^ {2}}} - \ nabla ^ {2} \ mathbf {B} & = 0 \ end {alineado}}}$

dónde

${\ Displaystyle c_ {0} = {\ frac {1} {\ sqrt {\ mu _ {0} \ varepsilon _ {0}}}} = 2.99792458 \ times 10 ^ {8} \; {\ textrm {m / s}}}$

es la velocidad de la luz en el espacio libre.

Forma covariante de la ecuación de onda homogénea

Estas ecuaciones relativistas se pueden escribir en forma contravariante como

${\ Displaystyle \ Box A ^ {\ mu} = 0}$

donde el cuatro potencial electromagnético es

${\ Displaystyle A ^ {\ mu} = \ left ({\ frac {\ phi} {c}}, \ mathbf {A} \ right)}$

con la condición del calibre de Lorenz :

${\ Displaystyle \ partial _ {\ mu} A ^ {\ mu} = 0,}$

y donde

${\ Displaystyle \ Box = \ nabla ^ {2} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ parcial ^ {2}} {\ parcial t ^ {2}}}}$

es el operador de d'Alembert .

Ecuación de onda homogénea en el espacio-tiempo curvo

La ecuación de onda electromagnética se modifica de dos formas, la derivada se reemplaza por la derivada covariante y aparece un nuevo término que depende de la curvatura.

${\ Displaystyle - {A ^ {\ alpha; \ beta}} _ {; \ beta} + {R ^ {\ alpha}} _ {\ beta} A ^ {\ beta} = 0}$

donde es el tensor de curvatura de Ricci y el punto y coma indica diferenciación covariante. ${\ displaystyle {R ^ {\ alpha}} _ {\ beta}}$

Se asume la generalización de la condición de calibre de Lorenz en el espacio-tiempo curvo:

${\ displaystyle {A ^ {\ mu}} _ {; \ mu} = 0.}$

Ecuación de onda electromagnética no homogénea

Las densidades de carga y corriente localizadas que varían en el tiempo pueden actuar como fuentes de ondas electromagnéticas en el vacío. Las ecuaciones de Maxwell se pueden escribir en forma de ecuación de onda con fuentes. La adición de fuentes a las ecuaciones de onda hace que las ecuaciones diferenciales parciales no sean homogéneas.

Soluciones a la ecuación de ondas electromagnéticas homogéneas

La solución general a la ecuación de ondas electromagnéticas es una superposición lineal de ondas de la forma

${\ Displaystyle \ mathbf {E} (\ mathbf {r}, t) = g (\ phi (\ mathbf {r}, t)) = g (\ omega t- \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r })}$

${\ Displaystyle \ mathbf {B} (\ mathbf {r}, t) = g (\ phi (\ mathbf {r}, t)) = g (\ omega t- \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r })}$

para prácticamente cualquier función g de buen comportamiento del argumento adimensional φ , donde ω es la frecuencia angular (en radianes por segundo) y k = ( k _x , k _y , k _z ) es el vector de onda (en radianes por metro).

Aunque la función g puede ser y a menudo es una onda sinusoidal monocromática , no tiene que ser sinusoidal, ni siquiera periódica. En la práctica, g no puede tener una periodicidad infinita porque cualquier onda electromagnética real debe tener siempre una extensión finita en el tiempo y el espacio. Como resultado, y según la teoría de la descomposición de Fourier , una onda real debe consistir en la superposición de un conjunto infinito de frecuencias sinusoidales.

Además, para una solución válida, el vector de onda y la frecuencia angular no son independientes; deben adherirse a la relación de dispersión :

${\ Displaystyle k = | \ mathbf {k} | = {\ omega \ over c} = {2 \ pi \ over \ lambda}}$

donde k es el número de onda y λ es la longitud de onda . La variable c solo se puede usar en esta ecuación cuando la onda electromagnética está en el vacío.

Estado estacionario monocromático, sinusoidal

El conjunto más simple de soluciones a la ecuación de onda resulta de suponer formas de onda sinusoidales de una sola frecuencia en forma separable:

${\ Displaystyle \ mathbf {E} (\ mathbf {r}, t) = \ Re \ left \ {\ mathbf {E} (\ mathbf {r}) e ^ {i \ omega t} \ right \}}$

dónde

• yo es la unidad imaginaria ,
• ω = 2 π  f  es la frecuencia angular en radianes por segundo ,
•  f  es la frecuencia en hercios , y
• ${\ Displaystyle e ^ {i \ omega t} = \ cos (\ omega t) + i \ sin (\ omega t)}$es la fórmula de Euler .

Soluciones de onda plana

Considere un plano definido por un vector normal unitario

${\ Displaystyle \ mathbf {n} = {\ mathbf {k} \ over k}.}$

Entonces, las soluciones de ondas viajeras planas de las ecuaciones de ondas son

${\ Displaystyle \ mathbf {E} (\ mathbf {r}) = \ mathbf {E} _ {0} e ^ {- i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r}}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {B} (\ mathbf {r}) = \ mathbf {B} _ {0} e ^ {- i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r}}}$

donde r = ( x , y , z ) es el vector de posición (en metros).

Estas soluciones representan ondas planas que viajan en la dirección del vector normal n . Si definimos la dirección z como la dirección de n . y la dirección x como la dirección de E , entonces, según la ley de Faraday, el campo magnético se encuentra en la dirección y y está relacionado con el campo eléctrico por la relación

${\ Displaystyle c ^ {2} {\ parcial B \ sobre \ parcial z} = {\ parcial E \ sobre \ parcial t}.}$

Debido a que la divergencia de los campos eléctrico y magnético es cero, no hay campos en la dirección de propagación.

Esta solución es la solución linealmente polarizada de las ecuaciones de onda. También hay soluciones polarizadas circularmente en las que los campos giran alrededor del vector normal.

Descomposición espectral

Debido a la linealidad de las ecuaciones de Maxwell en el vacío, las soluciones se pueden descomponer en una superposición de sinusoides . Esta es la base del método de la transformada de Fourier para la solución de ecuaciones diferenciales. La solución sinusoidal de la ecuación de ondas electromagnéticas toma la forma

${\ Displaystyle \ mathbf {E} (\ mathbf {r}, t) = \ mathbf {E} _ {0} \ cos (\ omega t- \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r} + \ phi _ {0})}$

${\ Displaystyle \ mathbf {B} (\ mathbf {r}, t) = \ mathbf {B} _ {0} \ cos (\ omega t- \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r} + \ phi _ {0})}$

dónde

• t es el tiempo (en segundos),
• ω es la frecuencia angular (en radianes por segundo),
• k = ( k _x , k _y , k _z ) es el vector de onda (en radianes por metro), y
• ${\ Displaystyle \ phi _ {0}}$es el ángulo de fase (en radianes).

El vector de onda está relacionado con la frecuencia angular por

${\ Displaystyle k = | \ mathbf {k} | = {\ omega \ over c} = {2 \ pi \ over \ lambda}}$

donde k es el número de onda y λ es la longitud de onda .

El espectro electromagnético es un gráfico de las magnitudes (o energías) de campo en función de la longitud de onda.

Expansión multipolar

Suponiendo campos monocromáticos que varían en el tiempo como , si uno usa las ecuaciones de Maxwell para eliminar B , la ecuación de onda electromagnética se reduce a la ecuación de Helmholtz para E : ${\ Displaystyle e ^ {- i \ omega t}}$

${\ Displaystyle (\ nabla ^ {2} + k ^ {2}) \ mathbf {E} = 0, \, \ mathbf {B} = - {\ frac {i} {k}} \ nabla \ times \ mathbf {E},}$

con k = ω / c como se indica arriba. Alternativamente, se puede eliminar E a favor de B para obtener:

${\ Displaystyle (\ nabla ^ {2} + k ^ {2}) \ mathbf {B} = 0, \, \ mathbf {E} = - {\ frac {i} {k}} \ nabla \ times \ mathbf {B} .}$

Un campo electromagnético genérico con frecuencia ω se puede escribir como una suma de soluciones a estas dos ecuaciones. Las soluciones tridimensionales de la ecuación de Helmholtz se pueden expresar como expansiones en armónicos esféricos con coeficientes proporcionales a las funciones esféricas de Bessel . Sin embargo, aplicar esta expansión a cada componente vectorial de E o B dará soluciones que no son genéricamente libres de divergencia ( ∇ ⋅ E = ∇ ⋅ B = 0 ) y, por lo tanto, requieren restricciones adicionales sobre los coeficientes.

La expansión multipolar evita esta dificultad expandiendo no E o B , sino r ⋅ E o r ⋅ B en armónicos esféricos. Estas expansiones aún resuelven las ecuaciones de Helmholtz originales para E y B porque para un campo libre de divergencia F , ∇ ² ( r ⋅ F ) = r ⋅ (∇ ² F ) . Las expresiones resultantes para un campo electromagnético genérico son:

${\ Displaystyle \ mathbf {E} = e ^ {- i \ omega t} \ sum _ {l, m} {\ sqrt {l (l + 1)}} \ left [a_ {E} (l, m) \ mathbf {E} _ {l, m} ^ {(E)} + a_ {M} (l, m) \ mathbf {E} _ {l, m} ^ {(M)} \ right]}$

${\ Displaystyle \ mathbf {B} = e ^ {- i \ omega t} \ sum _ {l, m} {\ sqrt {l (l + 1)}} \ left [a_ {E} (l, m) \ mathbf {B} _ {l, m} ^ {(E)} + a_ {M} (l, m) \ mathbf {B} _ {l, m} ^ {(M)} \ right]}$,

donde y son los campos eléctricos multipolares de orden (l, m) , y y son los correspondientes campos magnéticos multipolares , y a _E ( l , m ) y a _M ( l , m ) son los coeficientes de expansión. Los campos multipolares están dados por ${\ Displaystyle \ mathbf {E} _ {l, m} ^ {(E)}}$${\ Displaystyle \ mathbf {B} _ {l, m} ^ {(E)}}$${\ Displaystyle \ mathbf {E} _ {l, m} ^ {(M)}}$${\ Displaystyle \ mathbf {B} _ {l, m} ^ {(M)}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {B} _ {l, m} ^ {(E)} = {\ sqrt {l (l + 1)}} \ left [B_ {l} ^ {(1)} h_ {l} ^ {(1)} (kr) + B_ {l} ^ {(2)} h_ {l} ^ {(2)} (kr) \ right] \ mathbf {\ Phi} _ {l, m}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {E} _ {l, m} ^ {(E)} = {\ frac {i} {k}} \ nabla \ times \ mathbf {B} _ {l, m} ^ {(E )}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {E} _ {l, m} ^ {(M)} = {\ sqrt {l (l + 1)}} \ left [E_ {l} ^ {(1)} h_ {l} ^ {(1)} (kr) + E_ {l} ^ {(2)} h_ {l} ^ {(2)} (kr) \ right] \ mathbf {\ Phi} _ {l, m}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {B} _ {l, m} ^ {(M)} = - {\ frac {i} {k}} \ nabla \ times \ mathbf {E} _ {l, m} ^ {( METRO)}}$,

donde h _l ^(1,2) ( x ) son las funciones esféricas de Hankel , E _l ^(1,2) y B _l ^(1,2) están determinadas por condiciones de contorno, y

${\ Displaystyle \ mathbf {\ Phi} _ {l, m} = {\ frac {1} {\ sqrt {l (l + 1)}}} (\ mathbf {r} \ times \ nabla) Y_ {l, metro}}$

son armónicos esféricos vectoriales normalizados de modo que

${\ Displaystyle \ int \ mathbf {\ Phi} _ {l, m} ^ {*} \ cdot \ mathbf {\ Phi} _ {l ', m'} d \ Omega = \ delta _ {l, l '} \ delta _ {m, m '}.}$

La expansión multipolar del campo electromagnético encuentra aplicación en una serie de problemas que involucran simetría esférica, por ejemplo , patrones de radiación de antenas o desintegración gamma nuclear . En estas aplicaciones, a menudo uno está interesado en la potencia irradiada en el campo lejano . En estas regiones, los campos E y B asíntota a

${\ Displaystyle \ mathbf {B} \ approx {\ frac {e ^ {i (kr- \ omega t)}} {kr}} \ sum _ {l, m} (- i) ^ {l + 1} \ izquierda [a_ {E} (l, m) \ mathbf {\ Phi} _ {l, m} + a_ {M} (l, m) \ mathbf {\ hat {r}} \ times \ mathbf {\ Phi} _ {l, m} \ right]}$

${\ Displaystyle \ mathbf {E} \ approx \ mathbf {B} \ times \ mathbf {\ hat {r}}.}$

La distribución angular de la potencia radiada promediada en el tiempo viene dada por

${\ Displaystyle {\ frac {dP} {d \ Omega}} \ approx {\ frac {1} {2k ^ {2}}} \ left | \ sum _ {l, m} (- i) ^ {l + 1} \ left [a_ {E} (l, m) \ mathbf {\ Phi} _ {l, m} \ times \ mathbf {\ hat {r}} + a_ {M} (l, m) \ mathbf { \ Phi} _ {l, m} \ right] \ right | ^ {2}.}$

Ver también

Teoría y experimento

Aplicaciones

Biografias

Notas

Otras lecturas

Electromagnetismo

artículos periodísticos

• Maxwell, James Clerk, " Una teoría dinámica del campo electromagnético ", Transacciones filosóficas de la Royal Society of London 155, 459-512 (1865). (Este artículo acompañó a una presentación del 8 de diciembre de 1864 de Maxwell a la Royal Society).

Libros de texto de nivel universitario

• Griffiths, David J. (1998). Introducción a la electrodinámica (3ª ed.) . Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.
• Tipler, Paul (2004). Física para científicos e ingenieros: electricidad, magnetismo, luz y física moderna elemental (5ª ed.) . WH Freeman. ISBN 0-7167-0810-8.
• Edward M. Purcell, Electricidad y magnetismo (McGraw-Hill, Nueva York, 1985). ISBN  0-07-004908-4 .
• Hermann A. Haus y James R. Melcher, Campos electromagnéticos y energía (Prentice-Hall, 1989) ISBN  0-13-249020-X .
• Banesh Hoffmann, La relatividad y sus raíces (Freeman, Nueva York, 1983). ISBN  0-7167-1478-7 .
• David H. Staelin , Ann W. Morgenthaler y Jin Au Kong, Ondas electromagnéticas (Prentice-Hall, 1994) ISBN  0-13-225871-4 .
• Charles F. Stevens, Las seis teorías fundamentales de la física moderna , (MIT Press, 1995) ISBN  0-262-69188-4 .
• Markus Zahn, Teoría del campo electromagnético: un enfoque de resolución de problemas , (John Wiley & Sons, 1979) ISBN  0-471-02198-9

Libros de texto de nivel de posgrado

• Jackson, John D. (1998). Electrodinámica clásica (3ª ed.) . Wiley. ISBN 0-471-30932-X.
• Landau, LD , The Classical Theory of Fields ( Curso de Física Teórica : Volumen 2), (Butterworth-Heinemann: Oxford, 1987). ISBN  0-08-018176-7 .
• Maxwell, James C. (1954). Tratado sobre electricidad y magnetismo . Dover. ISBN 0-486-60637-6.
• Charles W. Misner, Kip S. Thorne , John Archibald Wheeler , Gravitation , (1970) WH Freeman, Nueva York; ISBN  0-7167-0344-0 . (Proporciona un tratamiento de las ecuaciones de Maxwell en términos de formas diferenciales).

Cálculo vectorial

• Cálculo vectorial de PC Matthews , Springer 1998, ISBN  3-540-76180-2
• HM Schey, Div Grad Curl y todo eso: un texto informal sobre cálculo vectorial , 4ª edición (WW Norton & Company, 2005) ISBN  0-393-92516-1 .