Axiomas de Dirac – von Neumann - Dirac–von Neumann axioms

En física matemática , los axiomas de Dirac-von Neumann dan una formulación matemática de la mecánica cuántica en términos de operadores en un espacio de Hilbert . Fueron introducidos por Paul Dirac en 1930 y John von Neumann en 1932.

Formulación del espacio de Hilbert

El espacio es un espacio de Hilbert complejo fijo de dimensión infinita contable . ${\ Displaystyle \ mathbb {H}}$

• Los observables de un sistema cuántico se definen como los operadores autoadjuntos (posiblemente ilimitados ) en . ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle \ mathbb {H}}$
• Un estado del sistema cuántico es un vector unitario de hasta múltiplos escalares; o equivalentemente, un rayo del espacio de Hilbert . ${\ Displaystyle \ psi}$${\ Displaystyle \ mathbb {H}}$${\ Displaystyle \ mathbb {H}}$
• El valor esperado de un A observable para un sistema en un estado viene dado por el producto interno . ${\ Displaystyle \ psi}$ ${\ Displaystyle \ langle \ psi, A \ psi \ rangle}$

Formulación de álgebra de operador

Los axiomas de Dirac-von Neumann se pueden formular en términos de un álgebra C * de la siguiente manera.

• Los observables acotados del sistema mecánico cuántico se definen como los elementos autoadjuntos del álgebra C *.
• Los estados del sistema mecánico cuántico se definen como los estados del álgebra C * (en otras palabras, los funcionales lineales positivos normalizados ). ${\ Displaystyle \ omega}$
• El valor de un estado en un elemento es el valor esperado de lo observable si el sistema cuántico está en el estado . ${\ Displaystyle \ omega (A)}$${\ Displaystyle \ omega}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle \ omega}$

Ejemplo

Si el álgebra C * es el álgebra de todos los operadores acotados en un espacio de Hilbert , entonces los observables acotados son solo los operadores autoadjuntos acotados en . Si es un vector unitario de entonces es un estado en el álgebra C *, lo que significa que los vectores unitarios (hasta la multiplicación escalar) dan los estados del sistema. Esto es similar a la formulación de Dirac de la mecánica cuántica, aunque Dirac también permitió operadores ilimitados y no distinguió claramente entre operadores autoadjuntos y hermitianos. ${\ Displaystyle \ mathbb {H}}$${\ Displaystyle \ mathbb {H}}$${\ Displaystyle v}$${\ Displaystyle \ mathbb {H}}$${\ Displaystyle \ omega (A) = \ langle v, Av \ rangle}$

Ver también

• Derivación de la ecuación de Schrödinger
• Teoría de campos cuánticos axiomáticos

Referencias

• Dirac, Paul (1930), Los principios de la mecánica cuántica
• Strocchi, F. (2008), Introducción a la estructura matemática de la mecánica cuántica. Un curso corto para matemáticos , Advanced Series in Mathematical Physics, 28 (2 ed.), World Scientific Publishing Co., Bibcode : 2008ASMP ... 28 ..... S , doi : 10.1142 / 7038 , ISBN   9789812835222 , Señor   2484367
• Takhtajan, Leon A. (2008), Mecánica cuántica para matemáticos , Estudios de posgrado en matemáticas , 95 , Providence, RI: American Mathematical Society, doi : 10.1090 / gsm / 095 , ISBN   978-0-8218-4630-8 , MR   2433906
• von Neumann, John (1932), Fundamentos matemáticos de la mecánica cuántica , Berlín: Springer, MR   0066944