Geometría digital - Digital geometry

La geometría digital se ocupa de conjuntos discretos (normalmente conjuntos de puntos discretos ) que se consideran modelos o imágenes digitalizados de objetos del espacio euclidiano 2D o 3D .

En pocas palabras, digitalizar es reemplazar un objeto por un conjunto discreto de sus puntos. Las imágenes que vemos en la pantalla del televisor, la pantalla de trama de una computadora o en los periódicos son de hecho imágenes digitales .

Sus principales áreas de aplicación son la infografía y el análisis de imágenes .

Los principales aspectos del estudio son:

• Construir representaciones digitalizadas de objetos, con énfasis en la precisión y la eficiencia (ya sea mediante síntesis, ver, por ejemplo, el algoritmo de línea de Bresenham o discos digitales, o mediante la digitalización y posterior procesamiento de imágenes digitales).
• Estudio de propiedades de decodificadores digitales; ver, por ejemplo, el teorema de Pick , convexidad digital , rectitud digital o planaridad digital.
• Transformar representaciones digitalizadas de objetos, por ejemplo (A) en formas simplificadas como (i) esqueletos, mediante la eliminación repetida de puntos simples de manera que la topología digital de una imagen no cambie, o (ii) eje medial, mediante el cálculo de máximos locales en una transformación de distancia de la representación del objeto digitalizado dado, o (B) en formas modificadas usando morfología matemática .
• Reconstruir objetos "reales" o sus propiedades (área, longitud, curvatura, volumen, superficie, etc.) a partir de imágenes digitales.
• Estudio de curvas digitales, superficies digitales y colectores digitales .
• Diseño de algoritmos de seguimiento de objetos digitales.
• Funciones en el espacio digital.
• Bosquejo de curvas, un método para dibujar una curva píxel por píxel.

Trazar una curva en una malla triangular

La geometría digital se superpone en gran medida con la geometría discreta y puede considerarse como parte de la misma.

Espacio digital

Un espacio digital 2D generalmente significa un espacio de cuadrícula 2D que solo contiene puntos enteros en el espacio euclidiano 2D. Una imagen 2D es una función en un espacio digital 2D (ver procesamiento de imágenes ).

En el libro de Rosenfeld y Kak, la conectividad digital se define como la relación entre elementos en el espacio digital. Por ejemplo, conectividad 4 y conectividad 8 en 2D. Consulte también la conectividad de píxeles . Un espacio digital y su conectividad (digital) determinan una topología digital .

En el espacio digital, se propusieron de forma independiente la función digitalmente continua (A. Rosenfeld, 1986) y la función gradualmente variada (L. Chen, 1989).

Una función digital continua significa una función en la que el valor (un número entero) en un punto digital es el mismo o está desviado como máximo en 1 de sus vecinos. En otras palabras, si x y y son dos puntos adyacentes en un espacio digital, | f ( x ) -  f ( y ) | ≤ 1.

Una función gradualmente variada es una función desde un espacio digital hasta donde y son números reales. Esta función posee la siguiente propiedad: Si x y y son dos puntos adyacentes en , supongamos , a continuación , o . Entonces podemos ver que la función de variación gradual se define como más general que la función digital continua. ${\ Displaystyle \ Sigma}$${\ Displaystyle \ {A_ {1}, \ dots, A_ {m} \}}$${\ Displaystyle A_ {1} <\ cdots <A_ {m}}$${\ Displaystyle A_ {i}}$${\ Displaystyle \ Sigma}$${\ Displaystyle f (x) = A_ {i}}$${\ Displaystyle f (y) = A_ {i}}$${\ Displaystyle f (x) = A_ {i + 1}}$${\ Displaystyle A_ {i-1}}$

Un teorema de extensión relacionado con las funciones anteriores fue mencionado por A. Rosenfeld (1986) y completado por L. Chen (1989). Este teorema establece: Sea y . La condición necesaria y suficiente para la existencia de la extensión gradualmente variada de es: para cada par de puntos y en , asumimos y , tenemos , donde es la distancia (digital) entre y . ${\ Displaystyle D \ subconjunto \ Sigma}$${\ Displaystyle f: D \ rightarrow \ {A_ {1}, \ dots, A_ {m} \}}$${\ displaystyle F}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle f (x) = A_ {i}}$${\ Displaystyle f (y) = A_ {j}}$${\ Displaystyle | ij | \ leq d (x, y)}$${\ Displaystyle d (x, y)}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle y}$

Ver también

• Geometría Computacional
• Topología digital
• Geometría discreta
• Geometría combinatoria
• Tomografía

Referencias

• A. Rosenfeld, Funciones `continuas 'en imágenes digitales, letras de reconocimiento de patrones, v.4 n.3, p. 177-184, 1986.
• L. Chen, La condición necesaria y suficiente y los algoritmos eficientes para el relleno gradualmente variado, Chinese Sci. Toro. 35 (10), págs. 870–873, 1990.

Otras lecturas

• Rosenfeld, Azriel (1969). Procesamiento de imágenes por computadora . Prensa académica. ISBN ???.
• Rosenfeld, Azriel (1976). Análisis de imágenes digitales . Berlín: Springer-Verlag. ISBN   0-387-07579-8 .
• Rosenfeld, Azriel ; Kak, Avinash C. (1982). Procesamiento de imágenes digitales . Boston: Prensa académica. ISBN   0-12-597301-2 .
• Rosenfeld, Azriel (1979). Idiomas de imagen . Prensa académica. ISBN   0-12-597340-3 .
• Chassery, J .; A. Montanvert. (1991). Geometrie discrete en analyse d'imágenes . Hermes. ISBN   2-86601-271-2 .
• Kong, TY y A. Rosenfeld (editores) (1996). Algoritmos topológicos para el procesamiento de imágenes digitales . Elsevier. ISBN   0-444-89754-2 . CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace ) CS1 maint: texto adicional: lista de autores ( enlace )
• Voss, K. (1993). Imágenes, objetos y funciones discretas en Zn . Saltador. ISBN   0-387-55943-4 .
• Herman, GT (1998). Geometría de espacios digitales . Birkhauser. ISBN   0-8176-3897-0 .
• Marchand-Maillet, S .; YM Sharaiha (2000). Procesamiento de imágenes digitales binarias . Prensa académica. ISBN   0-12-470505-7 .
• Soille, P. (2003). Análisis de imágenes morfológicas: principios y aplicaciones . Saltador. ISBN   3-540-42988-3 .
• Chen, L. (2004). Superficies discretas y colectores: una teoría de la topología y geometría digital discreta . Computación SP. ISBN   0-9755122-1-8 .
• Rosenfeld, Azriel ; Klette, Reinhard (2004). Geometría digital: métodos geométricos para el análisis de imágenes digitales (Serie Morgan Kaufmann en gráficos por computadora) . San Diego: Morgan Kaufmann. ISBN   1-55860-861-3 .
• Chen, L. (2014). Geometría digital y discreta: teoría y algoritmos . Saltador. ISBN   978-3-319-12099-7 .

enlaces externos

• Comité Técnico de Geometría Discreta de la IAPR
• Sitio web sobre topología y geometría digital
• Curso de geometría digital y morfología matemática (Ch. Kiselman)
• DGtal: caja de herramientas de geometría digital de código abierto y biblioteca de algoritmos