Regla de Cramer - Cramer's rule

En álgebra lineal , la regla de Cramer es una fórmula explícita para la solución de un sistema de ecuaciones lineales con tantas ecuaciones como incógnitas, válida siempre que el sistema tenga una solución única. Expresa la solución en términos de los determinantes de la matriz de coeficientes (cuadrados) y de las matrices obtenidas de ella reemplazando una columna por el vector de columna de los lados derechos de las ecuaciones. Lleva el nombre de Gabriel Cramer (1704-1752), quien publicó la regla para un número arbitrario de incógnitas en 1750, aunque Colin Maclaurin también publicó casos especiales de la regla en 1748 (y posiblemente supo de ella ya en 1729).

La regla de Cramer implementada de manera ingenua es computacionalmente ineficiente para sistemas de más de dos o tres ecuaciones. En el caso de $n$ ecuaciones en $n$ incógnitas, se requiere el cálculo de $n + 1$ determinantes, mientras que la eliminación gaussiana produce el resultado con la misma complejidad computacional que el cálculo de un único determinante. La regla de Cramer también puede ser numéricamente inestable incluso para sistemas 2 × 2. Sin embargo, recientemente se ha demostrado que la regla de Cramer se puede implementar en el tiempo O ( n ³ ), que es comparable a los métodos más comunes para resolver sistemas de ecuaciones lineales, como la eliminación gaussiana (que requiere constantemente 2,5 veces más operaciones aritméticas para todos tamaños de matriz), mientras que exhibe una estabilidad numérica comparable en la mayoría de los casos.

Caso general

Considere un sistema de $n$ ecuaciones lineales para $n$ incógnitas, representadas en forma de multiplicación de matrices de la siguiente manera:

{\ Displaystyle A \ mathbf {x} = \ mathbf {b}}

donde la matriz $A$ $n \times n$ tiene un determinante distinto de cero, y el vector es el vector columna de las variables. Entonces el teorema establece que en este caso el sistema tiene una solución única, cuyos valores individuales para las incógnitas vienen dados por: ${\ Displaystyle \ mathbf {x} = (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) ^ {\ mathsf {T}}}$

{\ Displaystyle x_ {i} = {\ frac {\ det (A_ {i})} {\ det (A)}} \ qquad i = 1, \ ldots, n}

donde es la matriz formada al reemplazar la $i$ -ésima columna de $A$ por el vector columna $b$ . ${\ Displaystyle A_ {i}}$

Una versión más general de la regla de Cramer considera la ecuación matricial

{\ Displaystyle AX = B}

donde la matriz $A de$ $n \times n$ tiene un determinante distinto de cero, y $X$ , $B$ son matrices de $n$ $\times$ $m$ . Dadas las secuencias y , sea la submatriz $k$ $\times$ $k$ de $X$ con filas y columnas adentro . Sea la matriz $n$ $\times$ $n$ formada al reemplazar la columna de $A$ por la columna de $B$ , para todos . Luego ${\ Displaystyle 1 \ leq i_ {1} <i_ {2} <\ cdots <i_ {k} \ leq n}$ ${\ Displaystyle 1 \ leq j_ {1} <j_ {2} <\ cdots <j_ {k} \ leq m}$ ${\ Displaystyle X_ {I, J}}$ ${\ Displaystyle I: = (i_ {1}, \ ldots, i_ {k})}$ ${\ Displaystyle J: = (j_ {1}, \ ldots, j_ {k})}$ ${\ Displaystyle A_ {B} (I, J)}$ ${\ Displaystyle i_ {s}}$ ${\ Displaystyle j_ {s}}$ ${\ Displaystyle s = 1, \ ldots, k}$

{\ Displaystyle \ det X_ {I, J} = {\ frac {\ det (A_ {B} (I, J))} {\ det (A)}}.}

En el caso , esto se reduce a la regla normal de Cramer. ${\ Displaystyle k = 1}$

La regla es válida para sistemas de ecuaciones con coeficientes e incógnitas en cualquier campo , no solo en los números reales .

Prueba

La prueba de la regla de Cramer usa las siguientes propiedades de los determinantes : linealidad con respecto a cualquier columna dada y el hecho de que el determinante es cero siempre que dos columnas son iguales, lo cual está implícito en la propiedad de que el signo del determinante cambia si cambia Dos columnas.

Corrige el índice j de una columna. La linealidad significa que si consideramos solo la columna j como variable (fijando las otras arbitrariamente), la función resultante $R n \to R$ (asumiendo que las entradas de la matriz están en $R$ ) puede estar dada por una matriz, con una fila yn columnas, que actúa sobre columna j . De hecho, esto es precisamente lo que hace la expansión de Laplace , escribiendo $det (A) = C 1 a 1, j + \dots + C n a n, j$ para ciertos coeficientes C ₁ , ..., C _n que dependen de las columnas de $A$ aparte de la columna j (la expresión precisa de estos cofactores no es importante aquí). El valor $det (A)$ es entonces el resultado de la aplicación de la matriz de una línea $L (j) = (C 1 C 2 \dots C n)$ a la columna j de $A$ . Si $L (j)$ se aplica a cualquier otra columna k de $A$ , entonces el resultado es el determinante de la matriz obtenido de $A$ al reemplazar la columna j por una copia de la columna k , por lo que el determinante resultante es 0 (el caso de dos iguales columnas).

Ahora considere un sistema de $n$ ecuaciones lineales en $n$ incógnitas , cuya matriz de coeficientes es $A$ , con det ( A ) asumido que no es cero: ${\ Displaystyle x_ {1}, \ ldots, x_ {n}}$

{\ Displaystyle {\ begin {matrix} a_ {11} x_ {1} + a_ {12} x_ {2} + \ cdots + a_ {1n} x_ {n} & = & b_ {1} \\ a_ {21} x_ {1} + a_ {22} x_ {2} + \ cdots + a_ {2n} x_ {n} & = & b_ {2} \\ & \ vdots & \\ a_ {n1} x_ {1} + a_ { n2} x_ {2} + \ cdots + a_ {nn} x_ {n} & = & b_ {n}. \ end {matriz}}}

Si uno combina estas ecuaciones tomando C _{1 por} la primera ecuación, más C _{2 por} la segunda, y así sucesivamente hasta C _{n por} la última, entonces el coeficiente de $x j$ se convertirá en $C 1 a 1, j + \dots + C n a n, j = det (A)$ , mientras que los coeficientes de todas las demás incógnitas se vuelven 0; el lado izquierdo se convierte simplemente en det ( A ) x _j . El lado derecho es $C 1 b 1 + \dots + C n b n$ , que es $L (j)$ aplicado al vector de columna b del lado derecho $b i$ . De hecho, lo que se ha hecho aquí es multiplicar la ecuación matricial $A x = b$ de la izquierda por $L (j)$ . Dividiendo por el número distinto de cero det ( A ) se encuentra la siguiente ecuación, necesaria para satisfacer el sistema:

{\ Displaystyle x_ {j} = {\ frac {L _ {(j)} \ cdot \ mathbf {b}} {\ det (A)}}.}

Pero por construcción, el numerador es el determinante de la matriz obtenida de $A$ al reemplazar la columna j por b , por lo que obtenemos la expresión de la regla de Cramer como condición necesaria para una solución. El mismo procedimiento se puede repetir para otros valores de j para encontrar valores para las otras incógnitas.

El único punto que queda por demostrar es que estos valores de las incógnitas, los únicos posibles, forman una solución en conjunto. Pero si la matriz $A$ es invertible con $A -1$ inversa , entonces $x = A -1 b$ será una solución, mostrando así su existencia. Para ver que $A$ es invertible cuando det ( A ) es distinto de cero, considere la matriz $n \times n$ M obtenida apilando las matrices unifilares $L (j) una$ encima de la otra para j = 1, ..., n (este da la matriz adjunta para $A$ ). Se demostró que $L (j) A = (0 \dots 0 det (A) 0 \dots 0)$ donde $det (A)$ aparece en la posición j ; de esto se sigue que $MA = det (A) I n$ . Por lo tanto,

{\ Displaystyle {\ frac {1} {\ det (A)}} M = A ^ {- 1},}

completando la prueba.

Para otras pruebas, consulte a continuación .

Encontrar matriz inversa

Deje que $A$ sea un $n \times n$ matriz con entradas en un campo $F$ . Luego

{\ Displaystyle A \, \ operatorname {adj} (A) = \ operatorname {adj} (A) \, A = \ det (A) I}

donde $adj (A)$ denota la matriz adjunta , $det (A)$ es el determinante e $I$ es la matriz identidad . Si $det (A)$ es distinto de cero, entonces la matriz inversa de $A$ es

{\ Displaystyle A ^ {- 1} = {\ frac {1} {\ det (A)}} \ operatorname {adj} (A).}

Esto da una fórmula para la inversa de $A$ , siempre que $det (A) \neq 0$ . De hecho, esta fórmula funciona siempre que $F$ es un anillo conmutativo , siempre que $det (A)$ sea una unidad . Si $det (A)$ no es una unidad, entonces $A$ no es invertible sobre el anillo (puede ser invertible sobre un anillo más grande en el que algunos elementos no unitarios de $F$ pueden ser invertibles).

Aplicaciones

Fórmulas explícitas para sistemas pequeños

Considere el sistema lineal

{\ Displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} a_ {1} x + b_ {1} y & = {\ color {red} c_ {1}} \\ a_ {2} x + b_ {2} y & = {\ color {rojo} c_ {2}} \ end {matriz}} \ right.}

que en formato matricial es

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a_ {1} & b_ {1} \\ a_ {2} & b_ {2} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} x \\ y \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} {\ color {rojo} c_ {1}} \\ {\ color {rojo} c_ {2}} \ end {bmatrix}}.}

Suponga que $a 1 b 2 - b 1 a 2$ distinto $de$ cero. Luego, con ayuda de los factores determinantes , $x$ e $y$ se puede encontrar con la regla de Cramer como

{\ displaystyle {\ begin {align} x & = {\ frac {\ begin {vmatrix} {\ color {red} {c_ {1}}} & b_ {1} \\ {\ color {red} {c_ {2} }} & b_ {2} \ end {vmatrix}} {\ begin {vmatrix} a_ {1} & b_ {1} \\ a_ {2} & b_ {2} \ end {vmatrix}}} = {{\ color {rojo } c_ {1}} b_ {2} -b_ {1} {\ color {red} c_ {2}} \ over a_ {1} b_ {2} -b_ {1} a_ {2}}, \ quad y = {\ frac {\ begin {vmatrix} a_ {1} & {\ color {red} {c_ {1}}} \\ a_ {2} & {\ color {red} {c_ {2}}} \ end {vmatrix}} {\ begin {vmatrix} a_ {1} & b_ {1} \\ a_ {2} & b_ {2} \ end {vmatrix}}} = {a_ {1} {\ color {red} c_ {2 }} - {\ color {red} c_ {1}} a_ {2} \ over a_ {1} b_ {2} -b_ {1} a_ {2}} \ end {alineado}}.}

Las reglas para matrices de $3 \times 3$ son similares. Dado

{\ Displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} a_ {1} x + b_ {1} y + c_ {1} z & = {\ color {red} d_ {1}} \\ a_ {2} x + b_ {2} y + c_ {2} z & = {\ color {rojo} d_ {2}} \\ a_ {3} x + b_ {3} y + c_ {3} z & = {\ color {rojo} d_ {3}} \ end {matriz}} \ right.}

que en formato matricial es

{\ Displaystyle {\ begin {bmatrix} a_ {1} & b_ {1} & c_ {1} \\ a_ {2} & b_ {2} & c_ {2} \\ a_ {3} & b_ {3} & c_ {3} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} x \\ y \\ z \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} {\ color {red} d_ {1}} \\ {\ color {red} d_ {2}} \\ {\ color {rojo} d_ {3}} \ end {bmatrix}}.}

Entonces, los valores de $x, y$ y $z$ se pueden encontrar de la siguiente manera:

{\ displaystyle x = {\ frac {\ begin {vmatrix} {\ color {red} d_ {1}} & b_ {1} & c_ {1} \\ {\ color {red} d_ {2}} & b_ {2} & c_ {2} \\ {\ color {red} d_ {3}} & b_ {3} & c_ {3} \ end {vmatrix}} {\ begin {vmatrix} a_ {1} & b_ {1} & c_ {1} \ \ a_ {2} & b_ {2} & c_ {2} \\ a_ {3} & b_ {3} & c_ {3} \ end {vmatrix}}}, \ quad y = {\ frac {\ begin {vmatrix} a_ { 1} & {\ color {red} d_ {1}} & c_ {1} \\ a_ {2} & {\ color {red} d_ {2}} & c_ {2} \\ a_ {3} & {\ color {red} d_ {3}} & c_ {3} \ end {vmatrix}} {\ begin {vmatrix} a_ {1} & b_ {1} & c_ {1} \\ a_ {2} & b_ {2} & c_ {2} \\ a_ {3} & b_ {3} & c_ {3} \ end {vmatrix}}}, {\ text {and}} z = {\ frac {\ begin {vmatrix} a_ {1} & b_ {1} & { \ color {red} d_ {1}} \\ a_ {2} & b_ {2} & {\ color {red} d_ {2}} \\ a_ {3} & b_ {3} & {\ color {red} d_ {3}} \ end {vmatrix}} {\ begin {vmatrix} a_ {1} & b_ {1} & c_ {1} \\ a_ {2} & b_ {2} & c_ {2} \\ a_ {3} & b_ { 3} & c_ {3} \ end {vmatrix}}}.}

Geometría diferencial

Cálculo de Ricci

La regla de Cramer se usa en el cálculo de Ricci en varios cálculos que involucran los símbolos de Christoffel del primer y segundo tipo.

En particular, la regla de Cramer puede usarse para probar que el operador de divergencia en una variedad de Riemann es invariante con respecto al cambio de coordenadas. Damos una prueba directa, suprimiendo el papel de los símbolos de Christoffel. Sea una variedad de Riemann equipada con coordenadas locales . Sea un campo vectorial . Usamos la convención de suma en todo momento. ${\ Displaystyle (M, g)}$ ${\ Displaystyle (x ^ {1}, x ^ {2}, \ dots, x ^ {n})}$ ${\ displaystyle A = A ^ {i} {\ frac {\ parcial} {\ parcial x ^ {i}}}}$

Teorema .

La divergencia de , ${\ Displaystyle A}$

{\ Displaystyle \ operatorname {div} A = {\ frac {1} {\ sqrt {\ det g}}} {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {i}}} \ left (A ^ {i } {\ sqrt {\ det g}} \ right),}

es invariante bajo cambio de coordenadas.

Prueba

Sea una transformación de coordenadas con jacobiano no singular . Entonces, las leyes de transformación clásicas implican que dónde . Del mismo modo, si , entonces . Escribir esta ley de transformación en términos de matrices produce , lo que implica . ${\ displaystyle (x ^ {1}, x ^ {2}, \ ldots, x ^ {n}) \ mapsto ({\ bar {x}} ^ {1}, \ ldots, {\ bar {x}} ^ {n})}$ ${\ displaystyle A = {\ bar {A}} ^ {k} {\ frac {\ parcial} {\ parcial {\ bar {x}} ^ {k}}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {A}} ^ {k} = {\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ {k}} {\ partial x ^ {j}}} A ^ {j}}$ ${\ Displaystyle g = g_ {mk} \, dx ^ {m} \ otimes dx ^ {k} = {\ bar {g}} _ {ij} \, d {\ bar {x}} ^ {i} \ a veces d {\ bar {x}} ^ {j}}$ ${\ Displaystyle {\ bar {g}} _ {ij} = \, {\ frac {\ parcial x ^ {m}} {\ parcial {\ bar {x}} ^ {i}}} {\ frac {\ parcial x ^ {k}} {\ parcial {\ bar {x}} ^ {j}}} g_ {mk}}$ ${\ displaystyle {\ bar {g}} = \ left ({\ frac {\ parcial x} {\ parcial {\ bar {x}}}} \ right) ^ {\ text {T}} g \ left ({ \ frac {\ parciales x} {\ parciales {\ bar {x}}}} \ derecha)}$ ${\ Displaystyle \ det {\ bar {g}} = \ left (\ det \ left ({\ frac {\ partial x} {\ partial {\ bar {x}}}} \ right) \ right) ^ {2 } \ det g}$

Ahora uno calcula

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ operatorname {div} A & = {\ frac {1} {\ sqrt {\ det g}}} {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {i}}} \ izquierda (A ^ {i} {\ sqrt {\ det g}} \ right) \\ & = \ det \ left ({\ frac {\ partial x} {\ partial {\ bar {x}}}} \ right ) {\ frac {1} {\ sqrt {\ det {\ bar {g}}}}} {\ frac {\ parcial {\ bar {x}} ^ {k}} {\ parcial x ^ {i}} } {\ frac {\ parcial} {\ parcial {\ bar {x}} ^ {k}}} \ izquierda ({\ frac {\ parcial x ^ {i}} {\ parcial {\ bar {x}} ^ {\ ell}}} {\ bar {A}} ^ {\ ell} \ det \! \ left ({\ frac {\ partial x} {\ partial {\ bar {x}}}} \ right) ^ { \! \! - 1} \! {\ Sqrt {\ det {\ bar {g}}}} \ right). \ End {alineado}}}

Para demostrar que esto es igual , es necesario y suficiente demostrar que ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {\ det {\ bar {g}}}}} {\ frac {\ partial} {\ partial {\ bar {x}} ^ {k}}} \ left ({\ bar {A}} ^ {k} {\ sqrt {\ det {\ bar {g}}}} \ right)}$

{\ displaystyle {\ frac {\ parcial {\ bar {x}} ^ {k}} {\ parcial x ^ {i}}} {\ frac {\ parcial} {\ parcial {\ bar {x}} ^ { k}}} \ left ({\ frac {\ Partical x ^ {i}} {\ Partical {\ bar {x}} ^ {\ ell}}} \ det \! \ left ({\ frac {\ Partical x } {\ parcial {\ bar {x}}}} \ right) ^ {\! \! \! - 1} \ right) = 0 \ qquad {\ text {para todos}} \ ell,}

que es equivalente a

{\ Displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ ell}}} \ det \ left ({\ frac {\ partial x} {\ partial {\ bar {x}} }} \ right) = \ det \ left ({\ frac {\ partial x} {\ partial {\ bar {x}}}} \ right) {\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ {k }} {\ parcial x ^ {i}}} {\ frac {\ parcial ^ {2} x ^ {i}} {\ parcial {\ bar {x}} ^ {k} \ parcial {\ bar {x} } ^ {\ ell}}}.}

Realizando la diferenciación del lado izquierdo, obtenemos:

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {\ parcial} {\ parcial {\ bar {x}} ^ {\ ell}}} \ det \ left ({\ frac {\ parcial x} {\ parcial { \ bar {x}}}} \ right) & = (- 1) ^ {i + j} {\ frac {\ partial ^ {2} x ^ {i}} {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ ell} \ parcial {\ bar {x}} ^ {j}}} \ det M (i | j) \\ & = {\ frac {\ parcial ^ {2} x ^ {i}} {\ parcial {\ bar {x}} ^ {\ ell} \ parcial {\ bar {x}} ^ {j}}} \ det \ left ({\ frac {\ partial x} {\ partial {\ bar {x}} }} \ right) {\ frac {(-1) ^ {i + j}} {\ det \ left ({\ frac {\ partial x} {\ partial {\ bar {x}}}} \ right)} } \ det M (i | j) = (\ ast), \ end {alineado}}}

donde denota la matriz obtenida al eliminar la fila y la columna. Pero la regla de Cramer dice que ${\ Displaystyle M (i | j)}$ ${\ estilo de visualización \ izquierda ({\ frac {\ parcial x} {\ parcial {\ bar {x}}}} \ derecha)}$ ${\ Displaystyle i}$ ${\ Displaystyle j}$

{\ Displaystyle {\ frac {(-1) ^ {i + j}} {\ det \ left ({\ frac {\ partial x} {\ partial {\ bar {x}}}} \ right)}} \ det M (i | j)}

es la entrada de la matriz . Por lo tanto ${\ Displaystyle (j, i)}$ ${\ estilo de visualización \ izquierda ({\ frac {\ parcial {\ bar {x}}} {\ parcial x}} \ derecha)}$

{\ displaystyle (\ ast) = \ det \ left ({\ frac {\ parcial x} {\ parcial {\ bar {x}}}} \ right) {\ frac {\ parcial ^ {2} x ^ {i }} {\ parcial {\ bar {x}} ^ {\ ell} \ parcial {\ bar {x}} ^ {j}}} {\ frac {\ parcial {\ bar {x}} ^ {j}} {\ partial x ^ {i}}},}

completando la prueba.

Calcular derivados implícitamente

Considere las dos ecuaciones y . Cuando U y V son variables independientes, podemos definir y ${\ Displaystyle F (x, y, u, v) = 0}$ ${\ Displaystyle G (x, y, u, v) = 0}$ ${\ Displaystyle x = X (u, v)}$ ${\ Displaystyle y = Y (u, v).}$

Se puede encontrar una ecuación para aplicando la regla de Cramer. ${\ Displaystyle {\ dfrac {\ Particular x} {\ Particular u}}}$

Calculo de ${\ Displaystyle {\ dfrac {\ Particular x} {\ Particular u}}}$

En primer lugar, el cálculo de las primeras derivadas de F , G , x , y y :

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} dF & = {\ frac {\ parcial F} {\ parcial x}} dx + {\ frac {\ parcial F} {\ parcial y}} dy + {\ frac {\ parcial F} { \ parcial u}} du + {\ frac {\ parcial F} {\ parcial v}} dv = 0 \\ [6 puntos] dG & = {\ frac {\ parcial G} {\ parcial x}} dx + {\ frac {\ parcial G} {\ parcial y}} dy + {\ frac {\ parcial G} {\ parcial u}} du + {\ frac {\ parcial G} {\ parcial v}} dv = 0 \\ [6pt] dx & = { \ frac {\ parcial X} {\ parcial u}} du + {\ frac {\ parcial X} {\ parcial v}} dv \\ [6pt] dy & = {\ frac {\ parcial Y} {\ parcial u}} du + {\ frac {\ parcial Y} {\ parcial v}} dv. \ end {alineado}}}

Sustituyendo dx , dy en dF y dG , tenemos:

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} dF & = \ left ({\ frac {\ parcial F} {\ parcial x}} {\ frac {\ parcial x} {\ parcial u}} + {\ frac {\ parcial F } {\ y parcial}} {\ frac {\ y parcial} {\ parcial u}} + {\ frac {\ parcial F} {\ parcial u}} \ derecha) du + \ izquierda ({\ frac {\ parcial F } {\ parciales x}} {\ frac {\ parciales x} {\ parciales v}} + {\ frac {\ parciales F} {\ parciales y}} {\ frac {\ parciales y} {\ parciales v}} + {\ frac {\ parcial F} {\ parcial v}} \ derecha) dv = 0 \\ [6 puntos] dG & = \ izquierda ({\ frac {\ parcial G} {\ parcial x}} {\ frac {\ parcial x} {\ parcial u}} + {\ frac {\ parcial G} {\ parcial y}} {\ frac {\ parcial y} {\ parcial u}} + {\ frac {\ parcial G} {\ parcial u}} \ derecha) du + \ izquierda ({\ frac {\ G parcial} {\ parcial x}} {\ frac {\ parcial x} {\ parcial v}} + {\ frac {\ parcial G} {\ parcial y}} {\ frac {\ y parcial} {\ parcial v}} + {\ frac {\ parcial G} {\ parcial v}} \ derecha) dv = 0. \ end {alineado}}}

Como u , v son independientes, los coeficientes de du , dv deben ser cero. Entonces podemos escribir ecuaciones para los coeficientes:

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {\ parcial F} {\ parcial x}} {\ frac {\ parcial x} {\ parcial u}} + {\ frac {\ parcial F} {\ parcial y }} {\ frac {\ parcial y} {\ parcial u}} & = - {\ frac {\ parcial F} {\ parcial u}} \\ [6pt] {\ frac {\ parcial G} {\ parcial x }} {\ frac {\ parcial x} {\ parcial u}} + {\ frac {\ parcial G} {\ parcial y}} {\ frac {\ parcial y} {\ parcial u}} & = - {\ frac {\ parcial G} {\ parcial u}} \\ [6pt] {\ frac {\ parcial F} {\ parcial x}} {\ frac {\ parcial x} {\ parcial v}} + {\ frac { \ parcial F} {\ parcial y}} {\ frac {\ parcial y} {\ parcial v}} & = - {\ frac {\ parcial F} {\ parcial v}} \\ [6pt] {\ frac { \ parcial G} {\ parcial x}} {\ frac {\ parcial x} {\ parcial v}} + {\ frac {\ parcial G} {\ parcial y}} {\ frac {\ parcial y} {\ parcial v}} & = - {\ frac {\ parcial G} {\ parcial v}}. \ end {alineado}}}

Ahora, según la regla de Cramer, vemos que:

{\ Displaystyle {\ frac {\ parcial x} {\ parcial u}} = {\ frac {\ begin {vmatrix} - {\ frac {\ parcial F} {\ parcial u}} y {\ frac {\ parcial F } {\ y parcial}} \\ - {\ frac {\ parcial G} {\ parcial u}} & {\ frac {\ parcial G} {\ parcial y}} \ end {vmatrix}} {\ begin {vmatrix } {\ frac {\ parcial F} {\ parcial x}} & {\ frac {\ parcial F} {\ parcial y}} \\ {\ frac {\ parcial G} {\ parcial x}} & {\ frac {\ parcial G} {\ parcial y}} \ end {vmatrix}}}.}

Esta es ahora una fórmula en términos de dos jacobianos :

{\ Displaystyle {\ frac {\ parcial x} {\ parcial u}} = - {\ frac {\ izquierda ({\ frac {\ parcial (F, G)} {\ parcial (u, y)}} \ derecha )} {\ izquierda ({\ frac {\ parcial (F, G)} {\ parcial (x, y)}} \ derecha)}}.}

Se pueden derivar fórmulas similares para ${\ Displaystyle {\ frac {\ parcial x} {\ parcial v}}, {\ frac {\ parcial y} {\ parcial u}}, {\ frac {\ parcial y} {\ parcial v}}.}$

Programación de enteros

La regla de Cramer puede usarse para probar que un problema de programación de enteros cuya matriz de restricciones es totalmente unimodular y cuyo lado derecho es un entero, tiene soluciones básicas enteras. Esto hace que el programa de números enteros sea mucho más fácil de resolver.

Ecuaciones diferenciales ordinarias

La regla de Cramer se utiliza para derivar la solución general de una ecuación diferencial lineal no homogénea mediante el método de variación de parámetros .

Interpretación geométrica

Interpretación geométrica de la regla de Cramer. Las áreas del segundo y tercer paralelogramos sombreados son iguales y el segundo es multiplicado por el primero. De esta igualdad se sigue la regla de Cramer.

{\ Displaystyle x_ {1}}

La regla de Cramer tiene una interpretación geométrica que puede considerarse también una prueba o simplemente dar una idea de su naturaleza geométrica. Estos argumentos geométricos funcionan en general y no solo en el caso de dos ecuaciones con dos incógnitas presentadas aquí.

Dado el sistema de ecuaciones

{\ Displaystyle {\ begin {matrix} a_ {11} x_ {1} + a_ {12} x_ {2} & = b_ {1} \\ a_ {21} x_ {1} + a_ {22} x_ {2 } & = b_ {2} \ end {matriz}}}

se puede considerar como una ecuación entre vectores

{\ Displaystyle x_ {1} {\ binom {a_ {11}} {a_ {21}}} + x_ {2} {\ binom {a_ {12}} {a_ {22}}} = {\ binom {b_ {1}} {b_ {2}}}.}

El área del paralelogramo determinada por y viene dada por el determinante del sistema de ecuaciones: ${\ Displaystyle {\ binom {a_ {11}} {a_ {21}}}}$ ${\ Displaystyle {\ binom {a_ {12}} {a_ {22}}}}$

{\ displaystyle {\ begin {vmatrix} a_ {11} & a_ {12} \\ a_ {21} & a_ {22} \ end {vmatrix}}.}

En general, cuando hay más variables y ecuaciones, el determinante de $n$ vectores de longitud $n$ dará el volumen del paralelepípedo determinado por esos vectores en el $n$ -ésimo espacio euclidiano dimensional .

Por lo tanto, el área del paralelogramo determinada por y tiene que ser multiplicada por el área del primero ya que uno de los lados se ha multiplicado por este factor. Ahora, este último paralelogramo, por el principio de Cavalieri , tiene la misma área que el paralelogramo determinado por y ${\ Displaystyle x_ {1} {\ binom {a_ {11}} {a_ {21}}}}$ ${\ Displaystyle {\ binom {a_ {12}} {a_ {22}}}}$ ${\ Displaystyle x_ {1}}$ ${\ Displaystyle {\ binom {b_ {1}} {b_ {2}}} = x_ {1} {\ binom {a_ {11}} {a_ {21}}} + x_ {2} {\ binom {a_ {12}} {a_ {22}}}}$ ${\ Displaystyle {\ binom {a_ {12}} {a_ {22}}}.}$

Al igualar las áreas de este último y el segundo paralelogramo se obtiene la ecuación

{\ displaystyle {\ begin {vmatrix} b_ {1} & a_ {12} \\ b_ {2} & a_ {22} \ end {vmatrix}} = {\ begin {vmatrix} a_ {11} x_ {1} & a_ { 12} \\ a_ {21} x_ {1} & a_ {22} \ end {vmatrix}} = x_ {1} {\ begin {vmatrix} a_ {11} & a_ {12} \\ a_ {21} & a_ {22 } \ end {vmatrix}}}

de donde se sigue la regla de Cramer.

Otras pruebas

Una prueba por álgebra lineal abstracta

Esta es una reafirmación de la prueba anterior en lenguaje abstracto.

Considere el mapa donde se sustituye la matriz con en la columna th, como en la regla de Cramer. Debido a la linealidad del determinante en cada columna, este mapa es lineal. Observe que envía la columna de al vector base (con 1 en el lugar), porque el determinante de una matriz con una columna repetida es 0. Entonces tenemos un mapa lineal que concuerda con el inverso de en el espacio de la columna. ; por lo tanto, concuerda con el tramo del espacio de la columna. Dado que es invertible, los vectores de columna abarcan todo , por lo que nuestro mapa es realmente el inverso de . Sigue la regla de Cramer. ${\ Displaystyle \ mathbf {x} = (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ mapsto {\ frac {1} {\ det A}} \ left (\ det (A_ {1}), \ ldots, \ det (A_ {n}) \ right),}$ ${\ Displaystyle A_ {i}}$ ${\ Displaystyle A}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {x}}$ ${\ Displaystyle i}$ ${\ Displaystyle i}$ ${\ Displaystyle A}$ ${\ Displaystyle i}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {i} = (0, \ ldots, 1, \ ldots, 0)}$ ${\ Displaystyle i}$ ${\ Displaystyle A}$ ${\ Displaystyle A ^ {- 1}}$ ${\ Displaystyle A}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle A}$

Una breve prueba

Se puede dar una breve prueba de la regla de Cramer al notar que es el determinante de la matriz ${\ Displaystyle x_ {1}}$

{\ displaystyle X_ {1} = {\ begin {bmatrix} x_ {1} & 0 & 0 & \ cdots & 0 \\ x_ {2} & 1 & 0 & \ cdots & 0 \\ x_ {3} & 0 & 1 & \ cdots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ x_ {n} & 0 & 0 & \ cdots & 1 \ end {bmatrix}}}

Por otra parte, suponiendo que nuestra matriz original $A$ es invertible, esta matriz tiene columnas , donde es la n columna -ésimo de la matriz $A$ . Recuerde que la matriz tiene columnas , y por lo tanto . Por lo tanto, al usar que el determinante del producto de dos matrices es el producto de los determinantes, tenemos ${\ Displaystyle X_ {1}}$ ${\ Displaystyle A ^ {- 1} \ mathbf {b}, A ^ {- 1} \ mathbf {v} _ {2}, \ ldots, A ^ {- 1} \ mathbf {v} _ {n}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {n}}$ ${\ Displaystyle A_ {1}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {b}, \ mathbf {v} _ {2}, \ ldots, \ mathbf {v} _ {n}}$ ${\ Displaystyle X_ {1} = A ^ {- 1} A_ {1}}$

{\ Displaystyle x_ {1} = \ det (X_ {1}) = \ det (A ^ {- 1}) \ det (A_ {1}) = {\ frac {\ det (A_ {1})} { \ det (A)}}.}

La prueba para otros es similar. ${\ Displaystyle x_ {j}}$

Casos incompatibles e indeterminados

Se dice que un sistema de ecuaciones es incompatible o inconsistente cuando no hay soluciones y se llama indeterminado cuando hay más de una solución. Para las ecuaciones lineales, un sistema indeterminado tendrá infinitas soluciones (si está sobre un campo infinito), ya que las soluciones se pueden expresar en términos de uno o más parámetros que pueden tomar valores arbitrarios.

La regla de Cramer se aplica al caso donde el determinante del coeficiente es distinto de cero. En el caso de 2 × 2, si el determinante del coeficiente es cero, entonces el sistema es incompatible si los determinantes del numerador son distintos de cero, o indeterminado si los determinantes del numerador son cero.

Para sistemas de 3 × 3 o superiores, lo único que se puede decir cuando el determinante del coeficiente es igual a cero es que si alguno de los determinantes del numerador es distinto de cero, entonces el sistema debe ser incompatible. Sin embargo, tener todos los determinantes cero no implica que el sistema sea indeterminado. Un ejemplo simple en el que todos los determinantes desaparecen (igual a cero) pero el sistema sigue siendo incompatible es el sistema 3 × 3 x + y + z = 1, x + y + z = 2, x + y + z = 3.

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