Operador de covarianza - Covariance operator

En la teoría de la probabilidad , para una medida de probabilidad P en un espacio de Hilbert H con producto interno , la covarianza de P es la forma bilineal Cov:  H  ×  H  →  R dada por ${\ Displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}$

${\ Displaystyle \ mathrm {Cov} (x, y) = \ int _ {H} \ langle x, z \ rangle \ langle y, z \ rangle \, \ mathrm {d} \ mathbf {P} (z)}$

para todos los x y y en H . El operador de covarianza C se define entonces por

${\ Displaystyle \ mathrm {Cov} (x, y) = \ langle Cx, y \ rangle}$

(del teorema de representación de Riesz , tal operador existe si Cov está acotado ). Dado que Cov es simétrico en sus argumentos, el operador de covarianza es autoadjunto (la analogía de dimensión infinita de la simetría de transposición en el caso de dimensión finita). Cuando P es una medida gaussiana centrada , C también es un operador nuclear . En particular, es un operador compacto de clase de seguimiento , es decir, tiene un seguimiento finito .

Incluso de manera más general, para una medida de probabilidad P en un espacio de Banach B , la covarianza de P es la forma bilineal en el dual algebraico B ^# , definida por

${\ Displaystyle \ mathrm {Cov} (x, y) = \ int _ {B} \ langle x, z \ rangle \ langle y, z \ rangle \, \ mathrm {d} \ mathbf {P} (z)}$

donde es ahora el valor de la funcional lineal x en el elemento z . ${\ Displaystyle \ langle x, z \ rangle}$

De manera muy similar, la función de covarianza de un elemento aleatorio con valor de función (en casos especiales se llama proceso aleatorio o campo aleatorio ) z es

${\ Displaystyle \ mathrm {Cov} (x, y) = \ int z (x) z (y) \, \ mathrm {d} \ mathbf {P} (z) = E (z (x) z (y) )}$

donde z ( x ) es ahora el valor de la función z en el punto x , es decir, el valor del funcional lineal evaluado en z . ${\ Displaystyle u \ mapsto u (x)}$

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