Función de covarianza - Covariance function

En teoría de probabilidad y estadística , la covarianza es una medida de cuánto cambian dos variables juntas, y la función de covarianza , o núcleo , describe la covarianza espacial o temporal de un proceso o campo de variable aleatoria. Para un campo aleatorio o proceso estocástico Z ( x ) en un dominio D , una función de covarianza C ( x Y ) da la covarianza de los valores del campo de azar en los dos lugares x y y :

La misma C ( x Y ) se llama la autocovarianza función en dos casos: en series de tiempo (para denotar exactamente el mismo concepto, excepto que x y y se refieren a ubicaciones en el tiempo en lugar de en el espacio), y en campos aleatorios multivariantes (a se refieren a la covarianza de una variable consigo misma, en oposición a la covarianza cruzada entre dos variables diferentes en diferentes ubicaciones, Cov ( Z ( x 1 ),  Y ( x 2 ))).

Admisibilidad

Para ubicaciones x 1 , x 2 ,…, x N D la varianza de cada combinación lineal

se puede calcular como

Una función es una función de covarianza válida si y sólo si esta variación no es negativo para todas las opciones posibles de N y pesos w 1 , ...,  w N . Una función con esta propiedad se llama semidefinida positiva .

Simplificaciones con estacionariedad

En caso de un campo aleatorio débilmente estacionario , donde

para cualquier retraso h , la función de covarianza se puede representar mediante una función de un parámetro

que se llama covariograma y también función de covarianza . Implícitamente, el C ( x i x j ) se puede calcular a partir de C s ( h ) mediante:

La definición positiva de esta versión de un solo argumento de la función de covarianza puede comprobarse mediante el teorema de Bochner .

Familias paramétricas de funciones de covarianza

Una función de covarianza paramétrica estacionaria simple es la "función de covarianza exponencial"

donde V es un parámetro de escala y d  =  d ( x , y ) es la distancia entre dos puntos. Las rutas de muestra de un proceso gaussiano con la función de covarianza exponencial no son uniformes. La "función de covarianza exponencial al cuadrado"

es una función de covarianza estacionaria con rutas de muestra suaves.

La función de covarianza de Matérn y la función de covarianza cuadrática racional son dos familias paramétricas de funciones de covarianza estacionarias. La familia Matérn incluye las funciones de covarianza exponencial y exponencial al cuadrado como casos especiales.

Ver también

Referencias

  1. ^ Wackernagel, Hans (2003). Geoestadística multivariante . Saltador.
  2. a b Cressie, Noel AC (1993). Estadísticas para datos espaciales . Wiley-Interscience.