Juego continuo - Continuous game

Un juego continuo es un concepto matemático, utilizado en la teoría de juegos , que generaliza la idea de un juego ordinario como tic-tac-toe (ceros y cruces) o damas (borradores). En otras palabras, amplía la noción de un juego discreto, donde los jugadores eligen entre un conjunto finito de estrategias puras. Los conceptos de juego continuo permiten que los juegos incluyan conjuntos más generales de estrategias puras, que pueden ser incontables veces infinitas .

En general, un juego con incontables conjuntos de estrategias infinitos no necesariamente tendrá una solución de equilibrio de Nash . Sin embargo, si se requiere que los conjuntos de estrategias sean compactos y las funciones de utilidad sean continuas , se garantizará un equilibrio de Nash; esto es por la generalización de Glicksberg del teorema del punto fijo de Kakutani . Por esta razón, la clase de juegos continuos generalmente se define y estudia como un subconjunto de la clase más grande de juegos infinitos (es decir, juegos con conjuntos de estrategias infinitos) en los que los conjuntos de estrategias son compactos y las funciones de utilidad continuas.

Definicion formal

Definir el juego continuo de n jugadores donde ${\ Displaystyle G = (P, \ mathbf {C}, \ mathbf {U})}$

${\ Displaystyle P = {1,2,3, \ ldots, n}}$es el conjunto de jugadores,${\ Displaystyle n \,}$

${\ Displaystyle \ mathbf {C} = (C_ {1}, C_ {2}, \ ldots, C_ {n})}$donde cada uno es un conjunto compacto , en un espacio métrico , que corresponde a la XX conjunto de estrategias puras del jugador,${\ Displaystyle C_ {i} \,}$${\ Displaystyle i \,}$

${\ Displaystyle \ mathbf {U} = (u_ {1}, u_ {2}, \ ldots, u_ {n})}$¿Dónde está la función de utilidad del jugador?${\ Displaystyle u_ {i}: \ mathbf {C} \ to \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle i \,}$

Definimos como el conjunto de medidas de probabilidad de Borel en , dándonos el espacio de estrategia mixta del jugador i .${\ Displaystyle \ Delta _ {i} \,}$${\ Displaystyle C_ {i} \,}$

Definir el perfil de estrategia donde${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} = (\ sigma _ {1}, \ sigma _ {2}, \ ldots, \ sigma _ {n})}$${\ Displaystyle \ sigma _ {i} \ in \ Delta _ {i} \,}$

Sea un perfil de estrategia de todos los jugadores excepto del jugador . Al igual que con los juegos discretos, podemos definir una mejor respuesta de correspondencia para el jugador , . es una relación del conjunto de todas las distribuciones de probabilidad sobre los perfiles del jugador oponente a un conjunto de estrategias del jugador , de modo que cada elemento de ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} _ {- i}}$${\ Displaystyle i}$ ${\ Displaystyle i \,}$${\ Displaystyle b_ {i} \}$${\ Displaystyle b_ {i} \,}$${\ Displaystyle i}$

${\ Displaystyle b_ {i} (\ sigma _ {- i}) \,}$

es la mejor respuesta a . Definir ${\ Displaystyle \ sigma _ {- i}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {b} ({\ boldsymbol {\ sigma}}) = b_ {1} (\ sigma _ {- 1}) \ times b_ {2} (\ sigma _ {- 2}) \ times \ cdots \ times b_ {n} (\ sigma _ {- n})}$.

Un perfil de estrategia es un equilibrio de Nash si y sólo si se puede probar la existencia de un equilibrio de Nash para cualquier juego continuo con funciones de utilidad continuas utilizando la generalización de Irving Glicksberg del teorema del punto fijo de Kakutani . En general, puede que no haya solución si permitimos espacios de estrategia, que no son compactos, o si permitimos funciones de utilidad no continuas. ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} *}$${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} * \ in \ mathbf {b} ({\ boldsymbol {\ sigma}} *)}$${\ Displaystyle C_ {i} \,}$

Juegos separables

Un juego separable es un juego continuo donde, para cualquier i, la función de utilidad se puede expresar en la forma de suma de productos: ${\ Displaystyle u_ {i}: \ mathbf {C} \ to \ mathbb {R}}$

${\ Displaystyle u_ {i} (\ mathbf {s}) = \ sum _ {k_ {1} = 1} ^ {m_ {1}} \ ldots \ sum _ {k_ {n} = 1} ^ {m_ { n}} a_ {i \ ,, \, k_ {1} \ ldots k_ {n}} f_ {1} (s_ {1}) \ ldots f_ {n} (s_ {n})}$, En donde , , , y las funciones son continuas.${\ Displaystyle \ mathbf {s} \ in \ mathbf {C}}$${\ Displaystyle s_ {i} \ en C_ {i}}$${\ Displaystyle a_ {i \ ,, \, k_ {1} \ ldots k_ {n}} \ in \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle f_ {i \ ,, \, k}: C_ {i} \ to \ mathbb {R}}$

Un juego polinomial es un juego separable donde cada uno es un intervalo compacto y cada función de utilidad se puede escribir como un polinomio multivariado. ${\ Displaystyle C_ {i} \,}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} \,}$

En general, los equilibrios de Nash mixtos de juegos separables son más fáciles de calcular que los juegos no separables, como implica el siguiente teorema:

Para cualquier juego separable existe al menos un equilibrio de Nash donde el jugador i mezcla como máximo estrategias puras. ${\ Displaystyle m_ {i} +1 \,}$

Mientras que una estrategia de equilibrio para un juego no separable puede requerir un apoyo infinito incontable , se garantiza que un juego separable tendrá al menos un equilibrio de Nash con estrategias mixtas de apoyo finito.

Ejemplos

Juegos separables

Un juego de polinomios

Considere un juego de suma cero para 2 jugadores entre los jugadores X e Y , con . Denoten elementos de y as y respectivamente. Definir las funciones de utilidad donde ${\ Displaystyle C_ {X} = C_ {Y} = \ left [0,1 \ right]}$${\ Displaystyle C_ {X} \,}$${\ Displaystyle C_ {Y} \,}$${\ Displaystyle x \,}$${\ Displaystyle y \,}$${\ Displaystyle H (x, y) = u_ {x} (x, y) = - u_ {y} (x, y) \,}$

${\ Displaystyle H (x, y) = (xy) ^ {2} \,}$.

Las relaciones de mejor respuesta de la estrategia pura son:

${\ Displaystyle b_ {X} (y) = {\ begin {cases} 1, & {\ mbox {if}} y \ in \ left [0,1 / 2 \ right) \\ 0 {\ text {or} } 1, & {\ mbox {if}} y = 1/2 \\ 0, & {\ mbox {if}} y \ in \ left (1 / 2,1 \ right] \ end {cases}}}$

${\ Displaystyle b_ {Y} (x) = x \,}$

${\ Displaystyle b_ {X} (y) \,}$ y no se cruzan, por lo que hay ${\ Displaystyle b_ {Y} (x) \,}$

sin estrategia pura equilibrio de Nash. Sin embargo, debería haber un equilibrio de estrategia mixta. Para encontrarlo, exprese el valor esperado, como una combinación lineal del primer y segundo momento de las distribuciones de probabilidad de X e Y : ${\ Displaystyle v = \ mathbb {E} [H (x, y)]}$

${\ Displaystyle v = \ mu _ {X2} -2 \ mu _ {X1} \ mu _ {Y1} + \ mu _ {Y2} \,}$

(donde y de forma similar para Y ). ${\ Displaystyle \ mu _ {XN} = \ mathbb {E} [x ^ {N}]}$

Hausdorff da las restricciones sobre y (con restricciones similares para y ) como: ${\ Displaystyle \ mu _ {X1} \,}$${\ Displaystyle \ mu _ {X2}}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ mu _ {X1} \ geq \ mu _ {X2} \\\ mu _ {X1} ^ {2} \ leq \ mu _ {X2} \ end {alineado}} \ qquad {\ begin {alineado} \ mu _ {Y1} \ geq \ mu _ {Y2} \\\ mu _ {Y1} ^ {2} \ leq \ mu _ {Y2} \ end {alineado}}}$

Cada par de restricciones define un subconjunto convexo compacto en el plano. Dado que es lineal, cualquier extremo con respecto a los dos primeros momentos de un jugador se ubicará en el límite de este subconjunto. La estrategia de equilibrio del jugador i se basará en ${\ Displaystyle v \,}$

${\ Displaystyle \ mu _ {i1} = \ mu _ {i2} {\ text {o}} \ mu _ {i1} ^ {2} = \ mu _ {i2}}$

Tenga en cuenta que la primera ecuación solo permite mezclas de 0 y 1, mientras que la segunda ecuación solo permite estrategias puras. Además, si la mejor respuesta en un punto determinado para el jugador i se encuentra en , se ubicará en toda la línea, de modo que tanto 0 como 1 son la mejor respuesta. simplemente da la estrategia pura , por lo que nunca dará 0 y 1. Sin embargo, da 0 y 1 cuando y = 1/2. Existe un equilibrio de Nash cuando: ${\ Displaystyle \ mu _ {i1} = \ mu _ {i2} \,}$${\ Displaystyle b_ {Y} (\ mu _ {X1}, \ mu _ {X2}) \,}$${\ Displaystyle y = \ mu _ {X1} \,}$${\ Displaystyle b_ {Y} \,}$${\ Displaystyle b_ {x} \,}$

${\ Displaystyle (\ mu _ {X1} *, \ mu _ {X2} *, \ mu _ {Y1} *, \ mu _ {Y2} *) = (1 / 2,1 / 2,1 / 2, 1/4) \,}$

Esto determina un equilibrio único donde el jugador X juega una mezcla aleatoria de 0 durante la mitad del tiempo y 1 la otra mitad del tiempo. El jugador Y juega la estrategia pura de 1/2. El valor del juego es 1/4.

Juegos no separables

Una función de pago racional

Considere un juego de suma cero para 2 jugadores entre los jugadores X e Y , con . Denoten elementos de y as y respectivamente. Definir las funciones de utilidad donde ${\ Displaystyle C_ {X} = C_ {Y} = \ left [0,1 \ right]}$${\ Displaystyle C_ {X} \,}$${\ Displaystyle C_ {Y} \,}$${\ Displaystyle x \,}$${\ Displaystyle y \,}$${\ Displaystyle H (x, y) = u_ {x} (x, y) = - u_ {y} (x, y) \,}$

${\ Displaystyle H (x, y) = {\ frac {(1 + x) (1 + y) (1-xy)} {(1 + xy) ^ {2}}}.}$

Este juego no tiene un equilibrio de Nash de estrategia pura. Se puede demostrar que existe un equilibrio de Nash de estrategia mixta único con el siguiente par de funciones de densidad de probabilidad :

${\ Displaystyle f ^ {*} (x) = {\ frac {2} {\ pi {\ sqrt {x}} (1 + x)}} \ qquad g ^ {*} (y) = {\ frac { 2} {\ pi {\ sqrt {y}} (1 + y)}}.}$

El valor del juego es . ${\ Displaystyle 4 / \ pi}$

Requerir una distribución de Cantor

Considere un juego de suma cero para 2 jugadores entre los jugadores X e Y , con . Denoten elementos de y as y respectivamente. Definir las funciones de utilidad donde ${\ Displaystyle C_ {X} = C_ {Y} = \ left [0,1 \ right]}$${\ Displaystyle C_ {X} \,}$${\ Displaystyle C_ {Y} \,}$${\ Displaystyle x \,}$${\ Displaystyle y \,}$${\ Displaystyle H (x, y) = u_ {x} (x, y) = - u_ {y} (x, y) \,}$

${\ Displaystyle H (x, y) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2 ^ {n}}} \ left (2x ^ {n} - \ left (\ izquierda (1 - {\ frac {x} {3}} \ derecha) ^ {n} - \ izquierda ({\ frac {x} {3}} \ derecha) ^ {n} \ derecha) \ derecha) \ izquierda (2y ^ {n} - \ left (\ left (1 - {\ frac {y} {3}} \ right) ^ {n} - \ left ({\ frac {y} {3}} \ right) ^ {n} \ derecha) \ derecha)}$.

Este juego tiene un equilibrio de estrategia mixta único en el que cada jugador juega una estrategia mixta con la función de cantor singular como función de distribución acumulativa .

Otras lecturas

• HW Kuhn y AW Tucker, eds. (1950). Contribuciones a la teoría de los juegos: Vol. II. Anales de estudios matemáticos 28 . Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN  0-691-07935-8 .

Ver también

• Gráfico continuo

Referencias