Conductividad cerca del umbral de percolación - Conductivity near the percolation threshold

En una mezcla entre un componente dieléctrico y un componente metálico, la conductividad y la constante dieléctrica de esta mezcla muestran un comportamiento crítico si la fracción del componente metálico alcanza el umbral de percolación . El comportamiento de la conductividad cerca de este umbral de percolación mostrará un cambio suave de la conductividad del componente dieléctrico a la conductividad del componente metálico y se puede describir usando dos exponentes críticos syt , mientras que la constante dieléctrica divergerá si el umbral se aborda desde cualquier lado. Para incluir el comportamiento dependiente de la frecuencia , se utiliza un modelo resistor - condensador (modelo RC). ${\ Displaystyle \ sigma}$ ${\ Displaystyle \ epsilon}$

Percolación geométrica

Para describir tal mezcla de un componente dieléctrico y metálico, usamos el modelo de percolación de enlaces. En una red regular, el vínculo entre dos vecinos más cercanos puede estar ocupado con probabilidad o no ocupado con probabilidad . Existe un valor crítico . Para las probabilidades de ocupación, se forma un grupo infinito de enlaces ocupados. Este valor se denomina umbral de percolación . La región cercana a este umbral de percolación se puede describir mediante los dos exponentes críticos y (ver exponentes críticos de percolación ). ${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle 1-p}$${\ Displaystyle p_ {c}}$${\ Displaystyle p> p_ {c}}$${\ Displaystyle p_ {c}}$${\ Displaystyle \ nu}$${\ Displaystyle \ beta}$

Con estos exponentes críticos tenemos la longitud de correlación ,${\ Displaystyle \ xi}$

${\ Displaystyle \ xi (p) \ propto (p_ {c} -p) ^ {- \ nu}}$

y la probabilidad de percolación , P:

${\ Displaystyle P (p) \ propto (p-p_ {c}) ^ {\ beta}}$

Percolación eléctrica

Para la descripción de la percolación eléctrica, identificamos los enlaces ocupados del modelo de enlace-percolación con el componente metálico que tiene una conductividad . Y el componente dieléctrico con conductividad corresponde a enlaces no ocupados. Consideramos los dos casos bien conocidos siguientes de una mezcla de conductor-aislante y una mezcla de superconductor-conductor . ${\ Displaystyle \ sigma _ {m}}$${\ Displaystyle \ sigma _ {d}}$

Mezcla conductor-aislante

En el caso de una mezcla conductor-aislante tenemos . Este caso describe el comportamiento, si el umbral de percolación se alcanza desde arriba: ${\ Displaystyle \ sigma _ {d} = 0}$

${\ Displaystyle \ sigma _ {DC} (p) \ propto \ sigma _ {m} (p-p_ {c}) ^ {t}}$

por ${\ Displaystyle p> p_ {c}}$

Por debajo del umbral de percolación no tenemos conductividad, debido al aislante perfecto y a los racimos metálicos finitos. El exponente t es uno de los dos exponentes críticos de la percolación eléctrica.

Mezcla de superconductor-conductor

En el otro caso bien conocido de una mezcla de superconductor- conductor tenemos . Este caso es útil para la descripción debajo del umbral de percolación: ${\ Displaystyle \ sigma _ {m} = \ infty}$

${\ Displaystyle \ sigma _ {DC} (p) \ propto \ sigma _ {d} (p_ {c} -p) ^ {- s}}$

por ${\ Displaystyle p <p_ {c}}$

Ahora, por encima del umbral de percolación, la conductividad se vuelve infinita, debido a los racimos superconductores infinitos. Y también obtenemos el segundo exponente crítico s para la percolación eléctrica.

Conductividad cerca del umbral de percolación

En la región alrededor del umbral de percolación, la conductividad asume una forma de escala:

${\ Displaystyle \ sigma (p) \ propto \ sigma _ {m} | \ Delta p | ^ {t} \ Phi _ {\ pm} \ left (h | \ Delta p | ^ {- st} \ right)}$

con y${\ Displaystyle \ Delta p \ equiv p-p_ {c}}$${\ Displaystyle h \ equiv {\ frac {\ sigma _ {d}} {\ sigma _ {m}}}}$

En el umbral de percolación, la conductividad alcanza el valor:

${\ Displaystyle \ sigma _ {DC} (p_ {c}) \ propto \ sigma _ {m} \ left ({\ frac {\ sigma _ {d}} {\ sigma _ {m}}} \ right) ^ {u}}$

con ${\ Displaystyle u = {\ frac {t} {t + s}}}$

Valores de los exponentes críticos

En diferentes fuentes existen algunos valores diferentes para los exponentes críticos s, t y u en 3 dimensiones:

Valores de los exponentes críticos en 3 dimensiones

	Efros y col.	Clerc y col.	Bergman y col.
t	1,60	1,90	2,00
s	1,00	0,73	0,76
tu	0,62	0,72	0,72

Constante dieléctrica

La constante dieléctrica también muestra un comportamiento crítico cerca del umbral de percolación. Para la parte real de la constante dieléctrica tenemos:

${\ Displaystyle \ epsilon _ {1} (\ omega = 0, p) = {\ frac {\ epsilon _ {d}} {| p-p_ {c} | ^ {s}}}}$

El modelo RC

Dentro del modelo RC, los enlaces en el modelo de percolación están representados por resistencias puras con conductividad para los enlaces ocupados y por condensadores perfectos con conductividad (donde representa la frecuencia angular ) para los enlaces no ocupados. Ahora la ley de escala toma la forma: ${\ Displaystyle \ sigma _ {m} = 1 / R}$${\ Displaystyle \ sigma _ {d} = iC \ omega}$${\ Displaystyle \ omega}$

${\ Displaystyle \ sigma (p, \ omega) \ propto {\ frac {1} {R}} | \ Delta p | ^ {t} \ Phi _ {\ pm} \ left ({\ frac {i \ omega} {\ omega _ {0}}} | \ Delta p | ^ {- (s + t)} \ right)}$

Esta ley de escala contiene una variable de escala puramente imaginaria y una escala de tiempo crítica

${\ Displaystyle \ tau ^ {*} = {\ frac {1} {\ omega _ {0}}} | \ Delta p | ^ {- (s + t)}}$

que diverge si el umbral de percolación se alcanza tanto desde arriba como desde abajo.

Conductividad para redes densas

Para una red densa, los conceptos de percolación no son directamente aplicables y la resistencia efectiva se calcula en términos de propiedades geométricas de la red. Suponiendo que la longitud del borde << espacio entre electrodos y los bordes se distribuyan uniformemente, se puede considerar que el potencial desciende uniformemente de un electrodo a otro. La resistencia de la hoja de una red aleatoria ( ) se puede escribir en términos de densidad de borde (cable) ( ), resistividad ( ), ancho ( ) y grosor ( ) de los bordes (cables) como: ${\ Displaystyle R_ {sn}}$${\ Displaystyle N_ {E}}$${\ Displaystyle \ rho}$${\ Displaystyle w}$${\ Displaystyle t}$

${\ Displaystyle R_ {sn} \, = \, {\ frac {\ pi} {2}} {\ frac {\ rho} {w \, t \, {\ sqrt {N_ {E}}}}} \ , \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,}$

Referencias

Ver también

• Teoría de la filtración