Paradoja de Condorcet - Condorcet paradox

La paradoja de Condorcet (también conocida como la paradoja del voto o la paradoja del voto ) en la teoría de la elección social es una situación señalada por el marqués de Condorcet a finales del siglo XVIII, en la que las preferencias colectivas pueden ser cíclicas, incluso si las preferencias de los votantes individuales no son cíclicos. Esto es paradójico , porque significa que los deseos de la mayoría pueden entrar en conflicto entre sí: las mayorías prefieren, por ejemplo, el candidato A sobre B, B sobre C y, sin embargo, C sobre A. Cuando esto ocurre, es porque las mayorías en conflicto son cada uno compuesto por diferentes grupos de individuos.

Por tanto, la expectativa de que la transitividad por parte de las preferencias de todos los individuos resulte en la transitividad de las preferencias sociales es un ejemplo de una falacia de composición .

La paradoja fue descubierta de forma independiente por Lewis Carroll y Edward J. Nanson , pero su importancia no fue reconocida hasta que Duncan Black la popularizó en la década de 1940.

Ejemplo

3 puntos azules en un triángulo.  3 puntos rojos en un triángulo, conectados por flechas que apuntan en sentido antihorario.
Votantes (azul) y candidatos (rojo) representados en un espacio de preferencia bidimensional. Cada votante prefiere un candidato más cercano a otro más lejano. Las flechas muestran el orden en que los votantes prefieren a los candidatos.

Suponga que tenemos tres candidatos, A, B y C, y que hay tres votantes con las siguientes preferencias (los candidatos se enumeran de izquierda a derecha para cada votante en orden decreciente de preferencia):

Votante Primera preferencia Segunda preferencia Tercera preferencia
Votante 1 A B C
Votante 2 B C A
Votante 3 C A B

Si se elige a C como ganador, se puede argumentar que B debería ganar en su lugar, ya que dos votantes (1 y 2) prefieren B a C y solo un votante (3) prefiere C a B. Sin embargo, según el mismo argumento, A es se prefiere a B, y se prefiere C a A, por un margen de dos a uno en cada ocasión. Por lo tanto, las preferencias de la sociedad muestran el ciclo: se prefiere A sobre B, que se prefiere a C, que se prefiere a A.Una característica paradójica de las relaciones entre las preferencias de los votantes descritas anteriormente es que, aunque la mayoría de los votantes están de acuerdo en que A es preferible a B B a C, y C a A, los tres coeficientes de correlación de rango entre las preferencias de dos votantes son negativos (es decir, –.5), como se calcula con la fórmula del coeficiente de correlación de rango de Spearman diseñada por Charles Spearman mucho más tarde.

Calificaciones cardinales

Tenga en cuenta que en la votación por puntuación, el poder de un votante se reduce en ciertos emparejamientos por pares en relación con Condorcet. Esto garantiza que nunca pueda ocurrir una preferencia social cíclica.

Tenga en cuenta que en el ejemplo gráfico, los votantes y los candidatos no son simétricos, pero el sistema de votación clasificado "aplana" sus preferencias en un ciclo simétrico. Los sistemas de votación cardinal brindan más información que las clasificaciones, lo que permite encontrar un ganador. Por ejemplo, en la votación por puntaje , las boletas pueden ser:

A B C
1 6 3 0
2 0 6 1
3 5 0 6
Total: 11 9 7

El candidato A obtiene la puntuación más alta y es el ganador, ya que A es el más cercano a todos los votantes. Sin embargo, la mayoría de los votantes tiene un incentivo para darle a A un 0 y a C un 10, lo que permite que C le gane a A, lo que ellos prefieren, momento en el que la mayoría tendrá un incentivo para darle a C un 0 y B un 10, para hacer que B gane, etc. (En este ejemplo en particular, sin embargo, el incentivo es débil, ya que aquellos que prefieren C a A solo obtienen C 1 punto por encima de A; en un método clasificado de Condorcet, es muy posible que simplemente clasifiquen igualmente A y C debido a lo débil que es su preferencia, en cuyo caso no se habría formado un ciclo de Condorcet en primer lugar, y A habría sido el ganador de Condorcet). Entonces, aunque el ciclo no ocurre en ningún conjunto de votos dado, puede aparecer a través de elecciones repetidas con votantes estratégicos con calificaciones cardinales.

Condición necesaria para la paradoja

Suponga que x es la fracción de votantes que prefieren A sobre B y que y es la fracción de votantes que prefieren B sobre C. Se ha demostrado que la fracción z de votantes que prefieren A sobre C es siempre al menos ( x + y  - 1). Dado que la paradoja (una mayoría que prefiere C sobre A) requiere z  <1/2, una condición necesaria para la paradoja es que

Probabilidad de la paradoja

Es posible estimar la probabilidad de la paradoja extrapolando datos electorales reales o utilizando modelos matemáticos de comportamiento de los votantes, aunque los resultados dependen en gran medida del modelo que se utilice. En particular, Andranik Tangian ha demostrado que la probabilidad de la paradoja de Condorcet es insignificante en una sociedad grande.

Modelo de cultura imparcial

Podemos calcular la probabilidad de ver la paradoja para el caso especial en el que las preferencias de los votantes se distribuyen uniformemente entre los candidatos. (Este es el modelo de " cultura imparcial ", que se sabe que no es realista, por lo que, en la práctica, una paradoja de Condorcet puede ser más o menos probable que este cálculo).

Para los votantes que proporcionan una lista de preferencias de tres candidatos A, B, C, escribimos (resp. , ) La variable aleatoria igual al número de votantes que colocaron A delante de B (respectivamente B delante de C, C delante de A). La probabilidad buscada es (duplicamos porque también existe el caso simétrico A> C> B> A). Mostramos que, por extraño , donde lo que hace que uno necesite saber solo la distribución conjunta de y .

Si ponemos , nos muestran la relación que hace posible calcular esta distribución por recurrencia: .

Entonces se obtienen los siguientes resultados:

3 101 201 301 401 501 601
5,556% 8,690% 8,732% 8,746% 8,753% 8,757% 8,760%

La secuencia parece tender hacia un límite finito.

Usando el teorema del límite central , mostramos que tiende a donde es una variable que sigue una distribución de Cauchy , lo que da (constante citada en el OEIS ).

La probabilidad asintótica de encontrar la paradoja de Condorcet es, por tanto, la que da el valor 8,77%.

Se han calculado algunos resultados para el caso de más de tres objetos.

Modelos de coherencia grupal

Cuando se modela con preferencias de votantes más realistas, las paradojas de Condorcet en elecciones con un número pequeño de candidatos y un gran número de votantes se vuelven muy raras.

Estudios empíricos

Se han hecho muchos intentos para encontrar ejemplos empíricos de la paradoja.

Un resumen de 37 estudios individuales, que cubren un total de 265 elecciones del mundo real, grandes y pequeñas, encontró 25 instancias de una paradoja de Condorcet, para una probabilidad total del 9,4% (y esto puede ser una estimación alta, ya que los casos de la paradoja es más probable que se notifiquen que los casos sin ellos). Por otro lado, la identificación empírica de una paradoja de Condorcet presupone una gran cantidad de datos sobre las preferencias de los responsables de la toma de decisiones sobre todas las alternativas, algo que muy pocas veces está disponible.

Si bien los ejemplos de la paradoja parecen ocurrir ocasionalmente en entornos pequeños (por ejemplo, parlamentos), se han encontrado muy pocos ejemplos en grupos más grandes (por ejemplo, electorados), aunque se han identificado algunos.

Trascendencia

Cuando se utiliza un método de Condorcet para determinar una elección, la paradoja del voto de las preferencias cíclicas de la sociedad implica que la elección no tiene un ganador de Condorcet : ningún candidato que pueda ganar una elección uno a uno contra los demás candidatos. Sin embargo, todavía habrá un grupo más pequeño de candidatos, de modo que cada candidato en el grupo pueda ganar una elección uno a uno contra los demás candidatos, lo que se conoce como el conjunto Smith . Las diversas variantes del método Condorcet difieren en cómo resuelven tales ambigüedades cuando surgen para determinar un ganador. Los métodos de Condorcet que siempre eligen a alguien del conjunto de Smith cuando no hay un ganador de Condorcet se conocen como Smith-eficientes . Tenga en cuenta que si se utilizan solo clasificaciones, no existe una resolución justa y determinista para el ejemplo trivial dado anteriormente porque cada candidato se encuentra en una situación exactamente simétrica.

Las situaciones que tienen la paradoja de la votación pueden hacer que los mecanismos de votación violen el axioma de independencia de las alternativas irrelevantes: la elección del ganador mediante un mecanismo de votación podría verse influenciada por la disponibilidad o no de un candidato perdedor.

Contrariamente a una opinión generalizada promovida entre otros por Élisabeth Badinter y Robert Badinter (en su biografía de Condorcet), esta paradoja cuestiona solo la coherencia de ciertos sistemas de votación y no la de la democracia en sí.

Procesos de votación en dos etapas

Una implicación importante de la posible existencia de la paradoja de la votación en una situación práctica es que en un proceso de votación de dos etapas, el eventual ganador puede depender de la forma en que se estructuran las dos etapas. Por ejemplo, supongamos que el ganador de A contra B en la contienda primaria abierta por el liderazgo de un partido se enfrentará al líder del segundo partido, C, en las elecciones generales. En el ejemplo anterior, A derrotaría a B por la nominación del primer partido y luego perdería ante C en las elecciones generales. Pero si B estuviera en el segundo partido en lugar del primero, B derrotaría a C por la nominación de ese partido y luego perdería ante A en las elecciones generales. Por lo tanto, la estructura de las dos etapas marca la diferencia para que A o C sea el ganador final.

Asimismo, la estructura de una secuencia de votaciones en una legislatura puede ser manipulada por la persona que organiza las votaciones para asegurar un resultado preferido.

La estructura de la paradoja de Condorcet se puede reproducir en dispositivos mecánicos que demuestran intransibilidad de relaciones como "rotar más rápido que", "levantar y no ser elevado", "ser más fuerte que" en algunas construcciones geométricas.

Ver también

Referencias

Otras lecturas