Filtro de peine - Comb filter

En el procesamiento de señales , un filtro de peine es un filtro implementado agregando una versión retardada de una señal a sí mismo, causando interferencia constructiva y destructiva . La respuesta de frecuencia de un filtro de peine consiste en una serie de muescas espaciadas regularmente, dando la apariencia de un peine .

Aplicaciones

Los filtros de peine se emplean en una variedad de aplicaciones de procesamiento de señales, que incluyen:

• En cascada integrador-peine (CIC) filtros, comúnmente utilizados para anti-aliasing durante interpolación y decimación operaciones que cambian la frecuencia de muestreo de un sistema de tiempo discreto.
• Los filtros de peine 2D y 3D implementados en hardware (y ocasionalmente en software) en decodificadores de televisión analógica PAL y NTSC , reducen artefactos como el rastreo de puntos .
• Procesamiento de señales de audio , incluidos retardos , flanger , síntesis de modelado físico y síntesis de guías de ondas digitales . Si el retardo se establece en unos pocos milisegundos, un filtro de peine puede modelar el efecto de las ondas estacionarias acústicas en una cavidad cilíndrica o en una cuerda vibrante .
• En astronomía, el astro-peine promete aumentar la precisión de los espectrógrafos existentes en casi cien veces.

En acústica , el filtrado de peine puede surgir como un artefacto no deseado. Por ejemplo, dos altavoces que reproducen la misma señal a diferentes distancias del oyente crean un efecto de filtrado de peine en el audio. En cualquier espacio cerrado, los oyentes escuchan una mezcla de sonido directo y sonido reflejado. El sonido reflejado toma una ruta más larga y retardada en comparación con el sonido directo, y se crea un filtro de peine donde los dos se mezclan en el oyente.

Implementación

Los filtros de peine existen en dos formas, feedforward y feedback ; que se refieren a la dirección en la que se retrasan las señales antes de que se agreguen a la entrada.

Los filtros de peine se pueden implementar en formas de tiempo discreto o de tiempo continuo que son muy similares.

Forma de feedforward

La estructura general de un filtro de peine feedforward se describe mediante la ecuación de diferencias :

${\ Displaystyle y [n] = x [n] + \ alpha x [nK]}$

donde es la longitud del retardo (medida en muestras) y α es un factor de escala aplicado a la señal retardada. La transformada z de ambos lados de la ecuación produce: ${\ Displaystyle K}$

${\ Displaystyle Y (z) = \ left (1+ \ alpha z ^ {- K} \ right) X (z)}$

La función de transferencia se define como:

${\ Displaystyle H (z) = {\ frac {Y (z)} {X (z)}} = 1+ \ alpha z ^ {- K} = {\ frac {z ^ {K} + \ alpha} { z ^ {K}}}}$

Respuesta frecuente

La respuesta de frecuencia de un sistema de tiempo discreto expresada en el dominio z , se obtiene por sustitución z = e ^jΩ . Por lo tanto, para el filtro de peine feedforward:

${\ Displaystyle H \ left (e ^ {j \ Omega} \ right) = 1 + \ alpha e ^ {- j \ Omega K}}$

Usando la fórmula de Euler , la respuesta de frecuencia también viene dada por

${\ Displaystyle H \ left (e ^ {j \ Omega} \ right) = {\ bigl [} 1+ \ alpha \ cos (\ Omega K) {\ bigr]} - j \ alpha \ sin (\ Omega K) }$

A menudo, es de interés la respuesta de magnitud , que ignora la fase. Esto se define como:

${\ Displaystyle \ left | H \ left (e ^ {j \ Omega} \ right) \ right | = {\ sqrt {\ Re \ left \ {H \ left (e ^ {j \ Omega} \ right) \ right \} ^ {2} + \ Im \ left \ {H \ left (e ^ {j \ Omega} \ right) \ right \} ^ {2}}}}$

En el caso del filtro de peine feedforward, esto es:

${\ Displaystyle \ left | H \ left (e ^ {j \ Omega} \ right) \ right | = {\ sqrt {\ left (1+ \ alpha ^ {2} \ right) +2 \ alpha \ cos (\ Omega K)}}}$

El término (1 + α ² ) es constante, mientras que el término 2 α cos ( ΩK ) varía periódicamente . Por tanto, la respuesta de magnitud del filtro de peine es periódica.

Los gráficos muestran la respuesta de magnitud para varios valores de α , lo que demuestra esta periodicidad. Algunas propiedades importantes:

• La respuesta cae periódicamente a un mínimo local (a veces conocido como notch ) y periódicamente se eleva a un máximo local (a veces conocido como pico ).
• Para valores positivos de α , el primer mínimo se produce en la mitad del período de retardo y se repite en múltiplos pares de la frecuencia de retardo a partir de entonces:

${\ displaystyle f = {\ frac {1} {2K}}, {\ frac {3} {2K}}, {\ frac {5} {2K}} \ cdots}$.

• Los niveles de los máximos y mínimos son siempre equidistantes de 1.
• Cuando α = ± 1 , los mínimos tienen amplitud cero. En este caso, los mínimos a veces se conocen como nulos .
• Los máximos para valores positivos de α coinciden con los mínimos para valores negativos de y viceversa.${\ Displaystyle \ alpha}$

Respuesta impulsiva

El filtro de peine de avance es uno de los filtros de respuesta de impulso finito más simples . Su respuesta es simplemente el impulso inicial con un segundo impulso después del retraso.

Interpretación polo-cero

Mirando de nuevo a la función de transferencia de dominio z del filtro de peine de avance:

${\ Displaystyle H (z) = {\ frac {z ^ {K} + \ alpha} {z ^ {K}}}}$

el numerador es igual a cero siempre que z ^K = - α . Esto tiene K soluciones, igualmente espaciadas alrededor de un círculo en el plano complejo ; estos son los ceros de la función de transferencia. El denominador es cero en z ^K = 0 , lo que da K polos en z = 0 . Esto conduce a una gráfica de polo cero como las que se muestran.

Gráfico de polo cero del filtro de peine de avance con K = 8 y α = 0,5

Gráfico de polo cero del filtro de peine de avance con K = 8 y α = −0,5

Formulario de comentarios

De manera similar, la estructura general de un filtro de peine de retroalimentación se describe mediante la ecuación de diferencias :

${\ Displaystyle y [n] = x [n] + \ alpha y [nK]}$

Esta ecuación se puede reorganizar para que todos los términos de estén en el lado izquierdo y luego se tome la transformada z : ${\ Displaystyle y}$

${\ Displaystyle \ left (1- \ alpha z ^ {- K} \ right) Y (z) = X (z)}$

Por tanto, la función de transferencia es:

${\ Displaystyle H (z) = {\ frac {Y (z)} {X (z)}} = {\ frac {1} {1- \ alpha z ^ {- K}}} = {\ frac {z ^ {K}} {z ^ {K} - \ alpha}}}$

Respuesta frecuente

Sustituyendo z = e ^jΩ en la expresión de dominio z para el filtro de peine de retroalimentación:

${\ Displaystyle H \ left (e ^ {j \ Omega} \ right) = {\ frac {1} {1- \ alpha e ^ {- j \ Omega K}}}}$

La respuesta de magnitud es la siguiente:

${\ Displaystyle \ left | H \ left (e ^ {j \ Omega} \ right) \ right | = {\ frac {1} {\ sqrt {\ left (1+ \ alpha ^ {2} \ right) -2 \ alpha \ cos (\ Omega K)}}}}$

Nuevamente, la respuesta es periódica, como demuestran los gráficos. El filtro de peine de retroalimentación tiene algunas propiedades en común con la forma de retroalimentación:

• La respuesta cae periódicamente a un mínimo local y se eleva a un máximo local.
• Los máximos para valores positivos de α coinciden con los mínimos para valores negativos de y viceversa.${\ Displaystyle \ alpha}$
• Para valores positivos de α , el primer máximo se produce en 0 y se repite en múltiplos pares de la frecuencia de retardo a partir de entonces:

${\ displaystyle f = 0, {\ frac {1} {K}}, {\ frac {2} {K}}, {\ frac {3} {K}} \ cdots}$.

Sin embargo, también hay algunas diferencias importantes porque la respuesta de magnitud tiene un término en el denominador :

• Los niveles de los máximos y mínimos ya no son equidistantes de 1. Los máximos tienen una amplitud de 1/1 - α.
• El filtro solo es estable si | α | es estrictamente menor que 1. Como se puede ver en los gráficos, como | α | aumenta, la amplitud de los máximos aumenta cada vez más rápidamente.

Respuesta impulsiva

El filtro de peine de retroalimentación es un tipo simple de filtro de respuesta de impulso infinito . Si es estable, la respuesta consiste simplemente en una serie repetida de impulsos que disminuyen en amplitud con el tiempo.

Interpretación polo-cero

Mirando nuevamente la función de transferencia de dominio z del filtro de peine de retroalimentación:

${\ Displaystyle H (z) = {\ frac {z ^ {K}} {z ^ {K} - \ alpha}}}$

Esta vez, el numerador es cero en z ^K = 0 , lo que da K ceros en z = 0 . El denominador es igual a cero siempre que z ^K = α . Esto tiene K soluciones, igualmente espaciadas alrededor de un círculo en el plano complejo ; estos son los polos de la función de transferencia. Esto conduce a una gráfica de polo cero como las que se muestran a continuación.

Gráfico de polo cero del filtro de peine de retroalimentación con K = 8 y α = 0.5

Gráfico de polo cero del filtro de peine de retroalimentación con K = 8 y α = −0,5

Filtros de peine de tiempo continuo

Los filtros de peine también se pueden implementar en tiempo continuo . La forma feedforward puede describirse mediante la ecuación:

${\ Displaystyle y (t) = x (t) + \ alpha x (t- \ tau)}$

donde τ es el retraso (medido en segundos). Tiene la siguiente función de transferencia:

${\ Displaystyle H (s) = 1 + \ alpha e ^ {- s \ tau}}$

La forma feedforward consta de un número infinito de ceros espaciados a lo largo del eje jω.

El formulario de comentarios tiene la ecuación:

${\ Displaystyle y (t) = x (t) + \ alpha y (t- \ tau)}$

y la siguiente función de transferencia:

${\ Displaystyle H (s) = {\ frac {1} {1- \ alpha e ^ {- s \ tau}}}}$

La forma de retroalimentación consta de un número infinito de polos espaciados a lo largo del eje jω.

Las implementaciones en tiempo continuo comparten todas las propiedades de las respectivas implementaciones en tiempo discreto.

Ver también

• Interferómetro de Fabry-Pérot

Referencias

enlaces externos

• Medios relacionados con los filtros de peine en Wikimedia Commons