Utilidad cardinal - Cardinal utility

Un ejemplo simple de dos funciones de utilidad cardinales u (primera columna) yv (segunda columna) cuyos valores en todas las circunstancias están relacionados por

v = 2 u +3

En economía , una función o escala de utilidad cardinal es un índice de utilidad que conserva los ordenamientos de preferencia de forma única hasta las transformaciones afines positivas . Dos índices de utilidad están relacionados por una transformación afín si para el valor de un índice u , que ocurre en cualquier cantidad del paquete de bienes que se evalúa, el valor correspondiente del otro índice v satisface una relación de la forma ${\ Displaystyle u (x_ {i})}$ ${\ Displaystyle x_ {i}}$ ${\ Displaystyle v (x_ {i})}$

{\ Displaystyle v (x_ {i}) = au (x_ {i}) + b \!}

,

para las constantes fijas a y b . Así, las funciones de utilidad en sí mismas están relacionadas por

{\ Displaystyle v (x) = au (x) + b.}

Los dos índices difieren solo con respecto a la escala y el origen. Así, si uno es cóncavo, también lo es el otro, en cuyo caso a menudo se dice que hay una utilidad marginal decreciente .

Por tanto, el uso de la utilidad cardinal impone el supuesto de que existen niveles de satisfacción absoluta, de modo que las magnitudes de los incrementos hasta la satisfacción pueden compararse en diferentes situaciones.

En la teoría de la elección del consumidor , se prefiere la utilidad ordinal con sus supuestos más débiles porque se pueden obtener resultados que son igualmente sólidos.

Historia

El primero en teorizar sobre el valor marginal del dinero fue Daniel Bernoulli en 1738. Supuso que el valor de una cantidad adicional es inversamente proporcional a las posesiones pecuniarias que una persona ya posee. Dado que Bernoulli asumió tácitamente que se puede descubrir una medida interpersonal para la reacción de utilidad de diferentes personas, usó inadvertidamente una concepción temprana de cardinalidad.

La función de utilidad logarítmica imaginaria de Bernoulli y la función $U = W 1/2 de$ Gabriel Cramer fueron concebidas en ese momento no para una teoría de la demanda sino para resolver el juego de San Petersburgo . Bernoulli asumió que "un hombre pobre generalmente obtiene más utilidad que un hombre rico de una ganancia igual", un enfoque que es más profundo que la simple expectativa matemática del dinero, ya que involucra una ley de expectativa moral .

Los primeros teóricos de la utilidad consideraron que tenía atributos físicamente cuantificables. Pensaban que la utilidad se comportaba como las magnitudes de la distancia o el tiempo, en las que el simple uso de una regla o un cronómetro resultaba en una medida distinguible. "Utils" fue el nombre que se le dio a las unidades en una báscula de servicios públicos.

En la era victoriana, muchos aspectos de la vida sucumbían a la cuantificación. La teoría de la utilidad pronto comenzó a aplicarse a las discusiones de filosofía moral. La idea esencial en el utilitarismo es juzgar las decisiones de las personas al observar su cambio en las utilidades y medir si están mejor. El principal precursor de los principios utilitarios desde finales del siglo XVIII fue Jeremy Bentham , quien creía que la utilidad podía medirse mediante un examen introspectivo complejo y que debería guiar el diseño de políticas y leyes sociales. Para Bentham, una escala de placer tiene como unidad de intensidad "el grado de intensidad que posee ese placer, que es el más débil de todos los que pueden distinguirse como placer"; También afirmó que, a medida que estos placeres aumentan en intensidad, números cada vez más altos podrían representarlos. En los siglos XVIII y XIX, la mensurabilidad de la utilidad recibió mucha atención de las escuelas europeas de economía política, sobre todo a través del trabajo de los marginalistas (por ejemplo, William Stanley Jevons , Léon Walras , Alfred Marshall ). Sin embargo, ninguno de ellos ofreció argumentos sólidos para apoyar el supuesto de mensurabilidad. En el caso de Jevon, añadió a las últimas ediciones de su trabajo una nota sobre la dificultad de estimar la utilidad con precisión. Walras también luchó durante muchos años antes de que pudiera siquiera intentar formalizar el supuesto de mensurabilidad. Marshall fue ambiguo acerca de la mensurabilidad del hedonismo porque se adhirió a sus propiedades psicológicas-hedonistas, pero también argumentó que era "irreal" hacerlo.

Los partidarios de la teoría de la utilidad cardinal en el siglo XIX sugirieron que los precios de mercado reflejan la utilidad, aunque no dijeron mucho sobre su compatibilidad (es decir, los precios son objetivos mientras que la utilidad es subjetiva). Medir con precisión el placer (o el dolor ) subjetivo parecía incómodo, como seguramente lo sabían los pensadores de la época. Cambiaron el nombre de la utilidad de maneras imaginativas como riqueza subjetiva , felicidad general , valor moral , satisfacción psíquica u ophélimité . Durante la segunda mitad del siglo XIX se realizaron muchos estudios relacionados con esta magnitud ficticia, la utilidad, pero la conclusión fue siempre la misma: resultó imposible decir definitivamente si un bien vale 50, 75 o 125 utilidades para una persona. , oa dos personas diferentes. Además, la mera dependencia de la utilidad de las nociones de hedonismo llevó a los círculos académicos a ser escépticos de esta teoría.

Francis Edgeworth también era consciente de la necesidad de fundamentar la teoría de la utilidad en el mundo real. Discutió las estimaciones cuantitativas que una persona puede hacer de su propio placer o del placer de los demás, tomando prestados métodos desarrollados en psicología para estudiar la medición hedónica: la psicofísica . Este campo de la psicología se basó en el trabajo de Ernst H. Weber , pero en la época de la Primera Guerra Mundial, los psicólogos se desanimaron.

A finales del siglo XIX, Carl Menger y sus seguidores de la escuela austríaca de economía emprendieron la primera desviación exitosa de la utilidad mensurable, en la forma inteligente de una teoría de usos clasificados. A pesar de abandonar el pensamiento de la utilidad cuantificable (es decir, la satisfacción psicológica mapeada en el conjunto de números reales), Menger logró establecer un cuerpo de hipótesis sobre la toma de decisiones, apoyándose únicamente en unos pocos axiomas de preferencias clasificadas sobre los posibles usos de bienes y servicios. Sus ejemplos numéricos son "ilustrativos de relaciones ordinales, no cardinales".

A finales del siglo XIX, los economistas neoclásicos comenzaron a adoptar formas alternativas de abordar el problema de la mensurabilidad. Para 1900, Pareto dudaba en medir con precisión el placer o el dolor porque pensaba que tal magnitud subjetiva autoinformada carecía de validez científica. Quería encontrar una forma alternativa de tratar la utilidad que no se basara en percepciones erráticas de los sentidos. La principal contribución de Pareto a la utilidad ordinal fue suponer que las curvas de indiferencia más altas tienen mayor utilidad, pero no es necesario especificar cuánto mayor para obtener el resultado de tasas marginales de sustitución crecientes.

Las obras y manuales de Vilfredo Pareto, Francis Edgeworth, Irving Fischer y Eugene Slutsky se apartaron de la utilidad cardinal y sirvieron como ejes para que otros continuaran la tendencia de la ordinalidad. Según Viner, a estos pensadores económicos se les ocurrió una teoría que explica las pendientes negativas de las curvas de demanda. Su método evitó la mensurabilidad de la utilidad al construir un mapa abstracto de curvas de indiferencia .

Durante las primeras tres décadas del siglo XX, los economistas de Italia y Rusia se familiarizaron con la idea paretiana de que la utilidad no tiene por qué ser cardinal. Según Schultz, en 1931 los economistas estadounidenses aún no aceptaban la idea de la utilidad ordinal. El avance se produjo cuando John Hicks y Roy Allen elaboraron una teoría de la utilidad ordinal en 1934. De hecho, las páginas 54 a 55 de este artículo contienen el primer uso del término "utilidad cardinal". Sin embargo, el primer tratamiento de una clase de funciones de utilidad preservadas por transformaciones afines fue realizado en 1934 por Oskar Lange.

En 1944, Frank Knight defendió ampliamente la utilidad cardinal. En la década de 1960, Parducci estudió los juicios humanos de magnitudes y sugirió una teoría de frecuencia de rango. Desde finales del siglo XX, los economistas están teniendo un interés renovado en los problemas de medición de la felicidad . Este campo ha estado desarrollando métodos, encuestas e índices para medir la felicidad.

Se pueden derivar varias propiedades de las funciones de utilidad cardinales utilizando herramientas de la teoría de medidas y la teoría de conjuntos .

Mensurabilidad

Se considera que una función de utilidad es medible si la fuerza de preferencia o la intensidad del agrado de un bien o servicio se determina con precisión mediante el uso de algunos criterios objetivos. Por ejemplo, supongamos que comer una manzana le da a una persona exactamente la mitad del placer de comer una naranja. Esta sería una utilidad medible si y solo si la prueba empleada para su medición directa se basa en un criterio objetivo que podría permitir que cualquier observador externo repita los resultados con precisión. Una forma hipotética de lograrlo sería mediante el uso de un hedonómetro , que fue el instrumento sugerido por Edgeworth para ser capaz de registrar la altura del placer experimentado por las personas, divergiendo según una ley de errores.

Antes de la década de 1930, los economistas etiquetaron erróneamente la mensurabilidad de las funciones de utilidad como cardinalidad. Los economistas que siguieron la formulación de Hicks-Allen utilizaron un significado diferente de cardinalidad. Bajo este uso, la cardinalidad de una función de utilidad es simplemente la propiedad matemática de la unicidad hasta una transformación lineal. Hacia fines de la década de 1940, algunos economistas incluso se apresuraron a argumentar que la axiomatización de von Neumann-Morgenstern de la utilidad esperada había resucitado la mensurabilidad.

La confusión entre cardinalidad y mensurabilidad no se resolvió hasta las obras de Armen Alchian , William Baumol y John Chipman. El título del artículo de Baumol, "La utilidad cardinal que es ordinal", expresó bien el desorden semántico de la literatura en ese momento.

Es útil considerar el mismo problema que aparece en la construcción de escalas de medida en las ciencias naturales. En el caso de la temperatura, existen dos grados de libertad para su medición: la elección de la unidad y el cero. Las diferentes escalas de temperatura mapean su intensidad de diferentes maneras. En la escala celsius se elige el cero para que sea el punto donde el agua se congela, e igualmente, en la teoría de la utilidad cardinal uno estaría tentado a pensar que la elección de cero correspondería a un bien o servicio que aporta exactamente 0 utilidades. Sin embargo, esto no es necesariamente verdad. El índice matemático sigue siendo cardinal, incluso si el cero se mueve arbitrariamente a otro punto, o si se cambia la elección de la escala, o si se cambian tanto la escala como el cero. Cada entidad medible se asigna a una función cardinal, pero no todas las funciones cardinales son el resultado del mapeo de una entidad medible. El objetivo de este ejemplo se usó para demostrar que (como con la temperatura) todavía es posible predecir algo sobre la combinación de dos valores de alguna función de utilidad, incluso si las utilidades se transforman en números completamente diferentes, siempre que siga siendo un valor transformación lineal.

Von Neumann y Morgenstern afirmaron que la cuestión de la mensurabilidad de las cantidades físicas era dinámica. Por ejemplo, la temperatura era originalmente un número solo hasta cualquier transformación monótona, pero el desarrollo de la termometría de gas ideal condujo a transformaciones en las que faltaban el cero absoluto y la unidad absoluta. Los desarrollos posteriores de la termodinámica incluso fijaron el cero absoluto de modo que el sistema de transformación en termodinámica consiste únicamente en la multiplicación por constantes. Según Von Neumann y Morgenstern (1944, p. 23) "Para la utilidad, la situación parece ser de naturaleza similar [a la temperatura]".

La siguiente cita de Alchian sirvió para aclarar de una vez por todas la naturaleza real de las funciones de utilidad, enfatizando que ya no necesitan ser medibles:

¿Podemos asignar un conjunto de números (medidas) a las diversas entidades y predecir que se elegirá la entidad con el mayor número asignado (medida)? Si es así, podríamos bautizar esta medida como "utilidad" y luego afirmar que se toman decisiones para maximizar la utilidad. Es un paso fácil para la afirmación de que "está maximizando su utilidad", que no dice más que que su elección es predecible de acuerdo con el tamaño de algunos números asignados. Por conveniencia analítica, se acostumbra postular que un individuo busca maximizar algo sujeto a algunas limitaciones. La cosa -o medida numérica de la "cosa" - que busca maximizar se llama "utilidad". Si la utilidad es o no de algún tipo de brillo o calidez, o felicidad, es aquí irrelevante; todo lo que cuenta es que podemos asignar números a entidades o condiciones que una persona puede esforzarse por realizar. Entonces decimos que el individuo busca maximizar alguna función de esos números. Desafortunadamente, el término "utilidad" ha adquirido ahora tantas connotaciones, que es difícil darse cuenta de que, para los propósitos actuales, la utilidad no tiene más significado que este.

- Armen Alchian , El significado de la medición de la utilidad.

Orden de preferencia

En 1955, Patrick Suppes y Muriel Winet resolvieron el problema de la representabilidad de las preferencias mediante una función de utilidad cardinal y derivaron el conjunto de axiomas y características primitivas necesarios para que este índice de utilidad funcione.

Supongamos que se le pide a un agente para clasificar sus preferencias de $A con respecto a B$ y sus preferencias de $B con respecto a C$ . Si encuentra que puede afirmar, por ejemplo, que su grado de preferencia de $A a B$ excede su grado de preferencia de $B a C$ , podríamos resumir esta información por cualquier triplete de números que satisfaga las dos desigualdades: $U A > U B > T C$ y $T A - T B > T B - T C$ .

Si $A$ y $B$ fueran sumas de dinero, el agente podría variar la suma de dinero representada por $B$ hasta que pudiera decirnos que encontró su grado de preferencia de $A$ sobre la cantidad revisada $B '$ igual a su grado de preferencia de $B'$ sobre $C$ . Si encuentra tal $B '$ , entonces los resultados de esta última operación serían expresados por cualquier triplete de números que satisfagan las relaciones: (a) $U A > U B' > U C$ , y (b) $U A - U B '$ = $U B' - U C$ . Cualesquiera dos tripletes que obedezcan estas relaciones deben estar relacionados mediante una transformación lineal; representan índices de utilidad que se diferencian únicamente por la escala y el origen. En este caso, "cardinalidad" significa nada más poder dar respuestas consistentes a estas preguntas particulares. Tenga en cuenta que este experimento no requiere la mensurabilidad de la utilidad. Itzhak Gilboa da una explicación sólida de por qué la mensurabilidad nunca puede lograrse únicamente mediante la introspección :

Puede que te haya pasado que llevabas un montón de papeles o ropa y no te diste cuenta de que se te cayeron algunos. La disminución en el peso total que estaba cargando probablemente no fue lo suficientemente grande como para que lo notara. Dos objetos pueden estar demasiado cerca en términos de peso para que notemos la diferencia entre ellos. Este problema es común a la percepción en todos nuestros sentidos. Si le pregunto si dos varillas tienen la misma longitud o no, hay diferencias que serán demasiado pequeñas para que las note. Lo mismo se aplicaría a su percepción del sonido (volumen, tono), luz, temperatura, etc.

- Itzhak Gilboa, Teoría de la decisión bajo incertidumbre

Según este punto de vista, aquellas situaciones en las que una persona simplemente no puede distinguir la diferencia entre $A$ y $B$ conducirán a la indiferencia no debido a la coherencia de las preferencias, sino a una percepción errónea de los sentidos. Además, los sentidos humanos se adaptan a un nivel dado de estimulación y luego registran cambios desde esa línea de base.

Construcción

Supongamos que un determinado agente tiene un orden de preferencia sobre los resultados aleatorios (loterías). Si se puede preguntar al agente sobre sus preferencias, es posible construir una función de utilidad cardinal que represente estas preferencias. Este es el núcleo del teorema de la utilidad de Von Neumann-Morgenstern .

Construcción de funciones de utilidad cardinales a partir de datos cardinales y ordinales

Los fundamentos matemáticos de los tipos más comunes de funciones de utilidad (cuadráticas y aditivas) establecidos por Gérard Debreu permitieron a Andranik Tangian desarrollar métodos para su construcción a partir de datos ordinales. En particular, las funciones de utilidad cuadrática y aditiva en las variables se pueden construir a partir de entrevistas a los tomadores de decisiones, donde las preguntas están dirigidas a trazar curvas de indiferencia totalmente 2D en planos de coordenadas, y en el caso de la utilidad cuadrática especificando adicionalmente un punto de indiferencia en cada otro. Plano coordinado. Si lo desea, los responsables de la toma de decisiones pueden incluir también estimaciones de utilidades cardinales, haciendo que este enfoque sea universal con respecto a las utilidades cardinales y ordinales. ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle n-1}$

Aplicaciones

Economía del bienestar

Entre los economistas del bienestar de la escuela utilitarista ha existido la tendencia general a tomar la satisfacción (en algunos casos, el placer) como la unidad del bienestar. Si la función de la economía del bienestar es aportar datos que sirvan al filósofo social o al estadista en la elaboración de juicios sobre el bienestar, esta tendencia conduce quizás a una ética hedonista.

En este marco, las acciones (incluida la producción de bienes y la prestación de servicios) se juzgan por sus contribuciones a la riqueza subjetiva de las personas. En otras palabras, proporciona una forma de juzgar "el mayor bien para el mayor número de personas". Un acto que reduce la utilidad de una persona en 75 utilidades mientras aumenta la utilidad de otras dos en 50 utilidades cada uno ha aumentado la utilidad general en 25 utilidades y, por lo tanto, es una contribución positiva; uno que le cuesta a la primera persona 125 utilidades mientras que da los mismos 50 a otras dos personas ha resultado en una pérdida neta de 25 utilidades.

Si una clase de funciones de utilidad es cardinal, se permiten las comparaciones intrapersonales de las diferencias de utilidad. Si, además, algunas comparaciones de utilidad son significativas interpersonalmente, las transformaciones lineales utilizadas para producir la clase de funciones de utilidad deben restringirse entre las personas. Un ejemplo es la comparabilidad de unidades cardinales. En ese entorno de información, las transformaciones admisibles son funciones afines crecientes y, además, el factor de escala debe ser el mismo para todos. Esta suposición de información permite comparaciones interpersonales de las diferencias de utilidad, pero los niveles de utilidad no se pueden comparar interpersonalmente porque la intersección de las transformaciones afines puede diferir entre personas.

Marginalismo

Según la teoría de la utilidad cardinal, el signo de la utilidad marginal de un bien es el mismo para todas las representaciones numéricas de una estructura de preferencias particular.
La magnitud de la utilidad marginal no es la misma para todos los índices de utilidad cardinal que representan la misma estructura de preferencias específicas.
El signo de la segunda derivada de una función de utilidad diferenciable que es cardinal, es el mismo para todas las representaciones numéricas de una estructura de preferencia particular. Dado que este suele ser un signo negativo, hay lugar para una ley de utilidad marginal decreciente en la teoría de la utilidad cardinal.
La magnitud de la segunda derivada de una función de utilidad diferenciable no es la misma para todos los índices de utilidad cardinales que representan la misma estructura de preferencia específica.

Teoría de la utilidad esperada

Este tipo de índices implica elecciones bajo riesgo. En este caso, $A, B$ y $C$ son loterías asociadas con resultados. A diferencia de la teoría de la utilidad cardinal bajo certeza, en la que la posibilidad de pasar de las preferencias a la utilidad cuantificada era casi trivial, aquí es fundamental poder mapear las preferencias en el conjunto de números reales, de modo que se pueda ejecutar la operación de la expectativa matemática. Una vez que se realiza el mapeo, la introducción de supuestos adicionales daría como resultado un comportamiento consistente de las personas con respecto a las apuestas justas. Pero las apuestas justas son, por definición, el resultado de comparar una apuesta con un valor esperado de cero con alguna otra apuesta. Aunque es imposible modelar las actitudes hacia el riesgo si no se cuantifica la utilidad, la teoría no debe interpretarse como una medida de la fuerza de la preferencia bajo certeza.

Construcción de la función de utilidad

Suponga que ciertos resultados están asociados con tres estados de la naturaleza, de modo que se prefiere x ₃ sobre x _2, que a su vez se prefiere sobre x ₁ ; se puede suponer que este conjunto de resultados, $X$ , es un premio monetario calculable en un juego de azar controlado, único hasta un factor de proporcionalidad positivo dependiendo de la unidad monetaria.

Let $L 1$ y $L 2$ haber dos loterías con probabilidades p ₁ , p ₂ , y p ₃ de x ₁ , x ₂ , y x ₃ son respectivamente

{\ Displaystyle L_ {1} = (0.6,0,0.4),}

{\ Displaystyle L_ {2} = (0,1,0) \.}

Suponga que alguien tiene la siguiente estructura de preferencias en riesgo:

{\ Displaystyle L_ {1} \ succ L_ {2},}

lo que significa que se prefiere L ₁ sobre L ₂ . Modificando los valores de $p 1$ y $p 3$ en $L 1$ , eventualmente habrá algunos valores apropiados ( $L 1 '$ ) para los cuales se encuentra indiferente entre este y $L 2, por$ ejemplo

{\ Displaystyle L_ {1} '= (0.5,0,0.5).}

La teoría de la utilidad esperada nos dice que

{\ Displaystyle EU (L_ {1} ') = EU (L_ {2}) \!}

y entonces

{\ Displaystyle (0.5) * u (x_ {1}) + (0.5) * u (x_ {3}) = 1 * u (x_ {2}).}

En este ejemplo de Majumdar, al fijar el valor cero del índice de utilidad de manera que la utilidad de $x 1$ sea 0, y al elegir la escala de manera que la utilidad de $x 2 sea$ igual a 1, se obtiene

{\ Displaystyle (0.5) * u (x_ {3}) = 1.}

{\ Displaystyle u (x_ {3}) = 2.}

Utilidad intertemporal

Los modelos de utilidad con varios períodos, en los que las personas descuentan los valores futuros de utilidad, necesitan emplear el cardinalismo para tener funciones de utilidad que se comporten bien. Según Paul Samuelson, la maximización de la suma descontada de utilidades futuras implica que una persona puede clasificar las diferencias de utilidad.

Controversias

Algunos autores han comentado sobre la naturaleza engañosa de los términos "utilidad cardinal" y "utilidad ordinal", tal como se usan en la jerga económica:

Estos términos, que parecen haber sido introducidos por Hicks y Allen (1934), guardan escasa o ninguna relación con el concepto matemático de los números ordinales y cardinales; más bien son eufemismos para los conceptos de orden-homomorfismo a los números reales y grupo-homomorfismo a los números reales.

- John Chipman, Los fundamentos de la utilidad

Sigue habiendo economistas que creen que la utilidad, si no se puede medir, al menos se puede aproximar un poco para proporcionar alguna forma de medición, similar a cómo los precios, que no tienen una unidad uniforme para proporcionar un nivel de precios real, podrían indexarse para proporcionar una "tasa de inflación" (que en realidad es un nivel de cambio en los precios de los productos indexados ponderados). Estas medidas no son perfectas pero pueden actuar como un sustituto de la utilidad. El enfoque de las características de Lancaster para la demanda del consumidor ilustra este punto.

Comparación entre funciones de utilidad ordinales y cardinales

La siguiente tabla compara los dos tipos de funciones de utilidad comunes en economía:

	Nivel de medida	Representa preferencias en	Único hasta	Existencia probada por	Usado principalmente en
Utilidad ordinal	Escala ordinal	Resultados seguros	Aumento de la transformación monótona	Debreu (1954)	Teoría del consumidor bajo certeza
Utilidad cardinal	Escala de intervalo	Resultados aleatorios (loterías)	Aumento de la transformación lineal monótona	Von Neumann-Morgenstern (1947)	Teoría de juegos , elección en condiciones de incertidumbre

Ver también

Referencias

enlaces externos

Utilidad ordinal frente a utilidad cardinal
- Murray N. Rothbard , "Towards a Reconstruction of Utility and Welfare Economics"

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